सभी x ∈ R के समुच्चय जिसके लिए सदिश (2, A, 0), (0, A2, 2) और (2, 0, A) रैखिकतः निर्भर हैं यदि ________।

दिया गया है:

सदिशों के तीन समुच्चय (2, A, 0), (0, A², 2) और (2, 0, A) हैं।

अवधारणा:

आव्यूह की कोटि: एक आव्यूह की रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तम्भों (या पंक्तियों) की अधिकतम संख्या को आव्यूह की कोटि कहा जाता है।

रैखिक रूप से निर्भर या रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश की जाँच करने की विधियां:

माना x1, x2, x3 ….. xr n-सदिश हैं।

माना X = [x1, x2, x3…. xr]n × r

सामान्य विधि:

• यदि X की कोटि = सदिश की संख्या, तो रैखिक रूप से स्वतंत्र।
• यदि X की कोटि < सदिश की संख्या, तो रैखिक रूप से निर्भर।

आव्यूह विधि: यदि A एक वर्ग आव्यूह है,

• यदि |X| ≠ 0, सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
• यदि |X| = 0, सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं।

गणना:

दिया गया है सदिशों का एक समुच्चय (2, A, 0), (0, A², 2) और (2, 0, A)हैं।

\(⇒ {\rm{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&A&0\\ 0&{{A^2}}&2\\ 2&0&A \end{array}} \right]\)

उपरोक्त शर्त के अनुसार, यदि |X| ≠ 0, सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं। इसलिए

\(⇒ {\rm{X}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&A&0\\ 0&{{A^2}}&2\\ 2&0&A \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 2(A².A - 0) - A(0.A - 2.2) + 0(0.A - 0.0) = 0

⇒ 2A³ + 4A = 0 

⇒ A² = - 2

 \(\implies A \notin R\) इसलिए A = 0

अतः सदिश (2, A, 0), (0, A², 2) और (2, 0, A) रैखिक रूप से निर्भर हैं यदि {A ∈ R : A² = - 2};