किसी ईंजन के कार्य करने की गति निम्न सूत्र द्वारा दी गई है: f(v) = 15v + \(\frac{6000}{v}\), 0 ≤ v ≤ 30, जहाँ v इकाई ईंजन की गति है I तो कार्य करने की न्यूनतम दर के लिए v का मान होगा

दिया गया है 

f(v) = 15v + \(\frac{6000}{v}\)

संकल्पना:

उच्चिष्ठ  और निम्निष्ठ प्राप्त करने के लिए, \(\frac{dR}{dv} = 0\)

प्रयुक्त सूत्र 

\(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n - 1}\)

गणना:: 

हमारे पास है

f(v) = 15v + \(\frac{6000}{v}\)

⇒ R = 15v + \(\frac{6000}{v}\)

'v' के सापेक्ष अवकलन करने पर

⇒ \(\frac{dR}{dv} = 15 \ + \ \left[ \frac{6000}{v^2} \right] (-1)\)

⇒ \(\frac{dR}{dv} = 15 \ - \ \frac{6000}{v^2}\)    ----- समीकरण (1)

फिर से, 'v' के सापेक्ष अवकलन करने पर

⇒ \(\frac{d^2R}{dv^2} = \frac{12000}{v^3}\)     -समीकरण (2)

अधिकतम या न्यूनतम के लिए, \(\frac{dR}{dv} = 0\)

इन मानो को प्रतिस्थापित करके,

⇒ \(15 \ - \ \frac{6000}{v^2} = 0\)

⇒ \(15 = \frac{6000}{v^2}\)

⇒ v² = \(\frac{6000}{15}\)

⇒ v² = 400

⇒ v = 20 

⇒ \(\left(\frac{d^2R}{dv^2}\right)_{v =20} = \left[\frac{12000}{(20)^3}\right]\)

⇒ \(\left(\frac{d^2R}{dv^2}\right)_{v = 20} = \frac{12000}{20 \times 20 \times 20}\)

⇒ \(\frac{d^2R}{dv^2} = \frac{3}{2} \ > 0\)

⇒ v = 20 निम्निष्ठ बिंदु है।

∴ इंजन के कार्य करने की दर f(v) = 15v + \(\frac{6000}{v}\) द्वारा दी जाती है , 0 ≤ v ≤ 30, v इकाई इंजन की गति है। तब v का मान जिसके लिए कार्य करने की दर सबसे कम है, 20 इकाई है