दो कणों की प्रणाली का हैमिल्टोनियन H = p₁p₂ + q₁q₂ है, जहाँ q₁ और q₂ सामान्यीकृत निर्देशांक हैं और p₁ और p₂ संबंधित विहित संवेग हैं। इस प्रणाली का लैग्रेंजियन है:

अवधारणा:

हम हैमिल्टोनियन और लैग्रेंजियन के संबंध का उपयोग करेंगे जो निम्न द्वारा दिया गया है

• \(H=\sum p_i \dot{q_i}-L\)
• दो-कण प्रणाली के लिए, हम उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं \(H=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-L\)

व्याख्या:

दिया गया है, \(H=p_1p_2+q_1q_2\)

• \(H=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-L\)
• \(H=p_1p_2+q_1q_2\) (दिया गया है)

H का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है,

• \(L=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-p_1p_2-q_1q_2\)--------------------------------1
• हैमिल्टन समीकरणों का उपयोग करते हुए, \(\dot p=\frac{-\partial H}{\partial q}, \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}\)
• \(\dot q_1=\frac {\partial H}{\partial p_1}=p_2\) और \(\dot q_2=\frac {\partial H}{\partial p_2}=p_1\)
• लैग्रेंजियन का मान प्राप्त करने के लिए समीकरण 1 में \(p_1\) और \(p_2\) का मान रखें
• \(L=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-p_1p_2-q_1q_2\) \(=\)\(L=\dot q_2\dot{q_1}+\dot q_1\dot {q_2}-\dot q_1\dot q_2-q_1q_2\)
• \(L=\dot q_2 \dot q_1-q_1q_2\)

इसलिए, सही उत्तर \(L=\dot q_2 \dot q_1-q_1q_2\) है।