Classical Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Classical Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

F₃ = F₃(p, Q, t)

∂F₃/∂p = -q, ∂F₃/∂Q = -P

⇒ Q = log(1 + q^1/2 cos p) ⇒ e^Q = 1 + q^1/2 cos p

⇒ (e^Q - 1) / cos p = q^1/2 ⇒ q = ((e^Q - 1)²) / cos² p

⇒ P = 2(1 + q^1/2 cos p) q^1/2 sin p ⇒ P = 2e^Q q^1/2 sin p ⇒ 2e^Q(e^Q - 1) tan p

⇒ ∂F₃/∂p = -q = -((e^Q - 1)² / cos² p) ⇒ F₃ = -∫(e^Q - 1)² sec²p dp

⇒ F₃ = - (e^Q - 1)² tan p + f₁(Q) ........A

∂F₃/∂Q = -P = -2(e^2Q - e^Q) tan p

F₃ = -2 ∫ (e^2Q - e^Q) tan p + f₂(p)

= - (e^Q - 1)² tan p + tan p + f₂(p) ....(B)

A और B की तुलना करने पर: f₁(Q) = 0, f₂(p) = -tan p

इसलिए F₃ = - (e^Q - 1)² tan p

हल:

H = (p - qA)² / 2m + qφ

⇒ H = |p|² / 2m + q² |A|² / 2m - (q / m) p ⋅ A

p = p_xi + p_yj + p_zk प्रयोग करें

और A = A_xi + A_yj + A_zk

∂H/∂p_x = (p_x - qA_x) / m = ẋ

∂H/∂p_y = (p_y - qA_y) / m = ẏ

∂H/∂p_z = (p_z - qA_z) / m = ż

आइए {x, ẏ} ज्ञात करें:

{x, ẏ} = ∂x/∂x ∂ẏ/∂p_x - ∂x/∂p_x ∂ẏ/∂x + ∂x/∂y ∂ẏ/∂p_y - ∂x/∂p_y ∂ẏ/∂y

0 = - (1/m)(q) (∂A_y/∂x - ∂A_x/∂y) = (q/m²)(∇ x A)_z = (q/m²) B_k

⇒ {v_i, v_j} = (q/m²) B_k ε_ij ⇒ ε_ijk {v_i, v_j} = (q/m²) B_l ε_ijk ε_ij

= (q/m²) B_l 2δ_kl = 2qB_k / m²

हल:

L = (15/2) m x² + 6mxẏ + 3my² − mg(x + 2y)

⇒ (∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0 ⇔ 15mẍ + 6mÿ + mg = 0 ........(1)

⇒ (∂L/∂ẏ) − ∂L/∂y = 0 ⇔ 6mẍ + 6mÿ + 2mg = 0 .......(2)

समीकरण 2(1) − (2) का प्रयोग करें

24mẍ + 6ẏ = 0 ⇒ d/dt (4x + y) = 0 ⇒ 4ẋ + ẏ = 0 ⇒ 12ẋ + 3ẏ = c

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points

• जब कोई वस्तु त्वरण से गुजरती है, तब इसका अर्थ है कि उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन गति, दिशा या दोनों के संदर्भ में हो सकता है।
• इस पर हमेशा एक बल कार्य करता है:
  • यह कथन सामान्यतः सत्य है।
  • न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान (F = ma) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
  • इसलिए, यदि त्वरण है, तंब वस्तु पर कोई बल अवश्य कार्य करेगा।

Additional Information

• त्वरण भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो समय के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करती है।
• वेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण (गति) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए, गति, दिशा या दोनों में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है।
• त्वरण (a) का सूत्र a = F/m है जहां a त्वरण है। F किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल है और m वस्तु का द्रव्यमान है।
• यह सूत्र बताता है कि किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सरल शब्दों में, यदि आप किसी वस्तु पर बल लगाते हैं, तब उसमें तेजी आएगी, और यदि बल अधिक मजबूत है या वस्तु का द्रव्यमान कम है तब त्वरण ज्यादा होगा।
• त्वरण विभिन्न रूपों में हो सकता है:
  • रैखिक त्वरण: एक सीधी रेखा में गति में परिवर्तन।
  • कोणीय त्वरण: घूर्णी गति या दिशा में परिवर्तन।
  • अभिकेंद्रीय त्वरण: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण।
• त्वरण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है:
  • सकारात्मक त्वरण: सकारात्मक दिशा में गति बढ़ाना।
  • नकारात्मक त्वरण (मंदन): धीमा होना या विपरीत दिशा में चलना।
• गुरुत्वाकर्षण एक सामान्य बल है जो त्वरण उत्पन्न करता है। पृथ्वी की सतह के निकट, मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का अनुभव करती हैं, जिसे g (लगभग 9.8 m/s²) के रूप में दर्शाया जाता है।

Concept:

Projectile motion is the motion of an object thrown or projected into the air, subject to only the acceleration of gravity. The object is called a projectile, and its path is called its trajectory.

Calculation:

v = $\sqrt{2gh}$ and v = e$\sqrt{2gh}$

0 = (ev)² - 2gh₁

h₁ = $\frac{e^2\times 2gh}{2g}$ = e²h

Similarly, h₂ = e⁴h

H = h + 2h₁ + 2h₂ +...∞ 

= h + 2(e²h + e⁴h + ... ∞)

= h + 2e²h($\frac{1}{1-e^2}$)

= h × ($\frac{1+e^2}{1-e^2}$)

The coefficient of restitution between the ball and the floor is 0.5.

e = 0.5

H = 5h/3

The correct answer is option (2).

संप्रत्यय:

हम यहाँ केप्लर के नियम का उपयोग कर रहे हैं जो बताता है कि सूर्य से ग्रह तक खींचा गया त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रों को प्रसर्प करता है।

• $\frac{dA}{dT}=\frac{L}{2m}=\frac{A}{T}=constant$

व्याख्या:

केप्लर के दूसरे नियम का उपयोग करने पर,

• $\frac{dA}{dT}=\frac{L}{2m}=\frac{A}{T}=constant$
• $A_1=\frac{\pi ab}{2}+2\times \frac{1}{2}\times b\times c$

उत्केन्द्रता(e)$=\frac{c}{a}$=>$c=ea$

• $A_1=\frac{\pi ab}{2}+eba=ab(\frac{\pi }{2}+e)$
• $A_2=\pi ab-ab(\frac{\pi }{2}+e)=ab(\frac{\pi }{2}-e)$

अब,

• $\frac{T_1}{T_2}=\frac{A_1}{A_2}$
• $\frac{T_1}{T_2}=\frac{ab(\frac{\pi }{2}+e)}{ab(\frac{\pi }{2}-e)}=\frac{(\frac{\pi }{2}+e)}{(\frac{\pi }{2}-e)}$
• $T_1=\frac{\frac{\pi }{2}+e}{\pi },T_2=\frac{\frac{\pi }{2}-e}{\pi }$
• $T_1-T_2=\frac{2e}{\pi }=\frac{2\times 0.0167\times 365}{3.14}\approx 3.9days.$

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,$̇x$,$̇y$)

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-\frac{\partial L}{\partial y}=0$

L^' = L(x,y,$\dot{x}$,$\dot{y}$)

$\frac{d^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\frac{\partial L^{\prime }}{\partial x}-\frac{\partial L^{\prime }}{\partial x}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial x}+\ddot{y}=0$

⇒$\dot{y}=c_1$

Similarly $\dot{x}=c_2$

The correct answer is option (2).

Consider:

Let us consider the potential be V and distance be x.

If V ∝ xn

∴ T ∝ E1/n - 1/2 

Calculation:

V = A|x|

V ∝ x1 

∴ n = 1

∴ T ∝ E1-1/2

∝ E1/2 

Total energy = Eα

α = 1/2

The correct answer is option (2).

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points

• जब कोई वस्तु त्वरण से गुजरती है, तब इसका अर्थ है कि उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन गति, दिशा या दोनों के संदर्भ में हो सकता है।
• इस पर हमेशा एक बल कार्य करता है:
  • यह कथन सामान्यतः सत्य है।
  • न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान (F = ma) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
  • इसलिए, यदि त्वरण है, तंब वस्तु पर कोई बल अवश्य कार्य करेगा।

Additional Information

• त्वरण भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो समय के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करती है।
• वेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण (गति) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए, गति, दिशा या दोनों में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है।
• त्वरण (a) का सूत्र a = F/m है जहां a त्वरण है। F किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल है और m वस्तु का द्रव्यमान है।
• यह सूत्र बताता है कि किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सरल शब्दों में, यदि आप किसी वस्तु पर बल लगाते हैं, तब उसमें तेजी आएगी, और यदि बल अधिक मजबूत है या वस्तु का द्रव्यमान कम है तब त्वरण ज्यादा होगा।
• त्वरण विभिन्न रूपों में हो सकता है:
  • रैखिक त्वरण: एक सीधी रेखा में गति में परिवर्तन।
  • कोणीय त्वरण: घूर्णी गति या दिशा में परिवर्तन।
  • अभिकेंद्रीय त्वरण: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण।
• त्वरण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है:
  • सकारात्मक त्वरण: सकारात्मक दिशा में गति बढ़ाना।
  • नकारात्मक त्वरण (मंदन): धीमा होना या विपरीत दिशा में चलना।
• गुरुत्वाकर्षण एक सामान्य बल है जो त्वरण उत्पन्न करता है। पृथ्वी की सतह के निकट, मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का अनुभव करती हैं, जिसे g (लगभग 9.8 m/s²) के रूप में दर्शाया जाता है।

Concept:

Projectile motion is the motion of an object thrown or projected into the air, subject to only the acceleration of gravity. The object is called a projectile, and its path is called its trajectory.

Calculation:

v = $\sqrt{2gh}$ and v = e$\sqrt{2gh}$

0 = (ev)² - 2gh₁

h₁ = $\frac{e^2\times 2gh}{2g}$ = e²h

Similarly, h₂ = e⁴h

H = h + 2h₁ + 2h₂ +...∞ 

= h + 2(e²h + e⁴h + ... ∞)

= h + 2e²h($\frac{1}{1-e^2}$)

= h × ($\frac{1+e^2}{1-e^2}$)

The coefficient of restitution between the ball and the floor is 0.5.

e = 0.5

H = 5h/3

The correct answer is option (2).