Question
Download Solution PDFमान लीजिए कि एक शहर में रहने वाले सभी व्यक्तियों का समुच्चय X है। X के व्यक्ति x, y सम्बन्ध x < y द्वारा सम्बन्धित कहे जाते हैं, यदि y, x से कम-से-कम 5 वर्ष बड़ा है। निम्नलिखित में से कौन-सा एक सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि R समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध है।
1. प्रतिक्षेपी: प्रत्येक संबंध स्वयं से संबंधित है।
- यदि सभी x ∈ A के लिए, xRx है, तो R प्रतिक्षेपी है।
2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित है।
- यदि सभी x के लिए y ∈ A है, तो R सममित है, यदि xRy है, तो yRx है।
3. संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित है और वह दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है।
- यदि सभी x के लिए z ∈ A है, तो R संक्रामक है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है।
4. यदि A गैर-रिक्त है और R प्रतिक्षेपी, सममित और संक्रामक है, तो R एक समानक संबंध है।
गणना:
दिया गया है: यदि y, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है, तो x < y है।
⇒ y ≥ x + 5
प्रतिक्षेपी के लिए: (x, x) को सभी x ∈ X के लिए ∈R होना चाहिए।
अब, x स्वयं से 5 वर्ष वयस्क नहीं हो सकता है। इसलिए संबंध प्रतिक्षेपी नहीं है।
सममित के लिए: यदि (x, y) ∈ R ⇒(y, x) ∈ R है।
(x, y) ∈ R ⇒ y, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
(y, x) ∈ R ⇒ x, y से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है। यह उपरोक्त कथन का खंडन करता है। इसलिए संबंध सममित नहीं है।
संक्रामक के लिए: यदि (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R है।
(x, y) ∈ R ⇒ y, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
(y, z) ∈ R ⇒ z, y से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
तो, (x, z) ∈ R ⇒ z, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
चूँकि, z, x से कम से कम 10 वर्ष वयस्क है। संबंध संक्रामक है।
Last updated on Jun 18, 2025
->UPSC has extended the UPSC NDA 2 Registration Date till 20th June 2025.
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->The NDA exam date 2025 has been announced. The written examination will be held on 14th September 2025.
-> The selection process for the NDA exam includes a Written Exam and SSB Interview.
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