\(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy = } }\)

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

\(\int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} \int\limits_{z_1}^{z_2} f(x, y, x)dzdydx\)

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy } }\)

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ + zy\right]_{x-z}^{z +z}dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ x(x + z - x + z) \ + \ \frac{1}{2} ((x + z)^2 - (x - z)^2 ) + z (x + z - x + z)\right] dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (2xz + 2xz + 2x^2)dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (4xz + 2z^2) dxdz\)

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ \frac{4x^2z}{2} + 2z^2x \right]_0^z dx\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ 2x^2z + 2z^2x\right]_0^z dz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 4z^3 dz\)

⇒ \(4 \left[ \frac{z^4}{4 }\right]_{-1}^1\)

⇒ \(\frac{4}{4}[(1)^4 - (-1)^4 ]\)

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy = 0} } \)