Question
Download Solution PDFयदि सम्मिश्र मूल्यवान फलन f(z) = log z तो
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
w = f(z) = log z
w = ln z
u + iv = ln (reiθ)
u + iv = lnr + ln eiθ
u + iv = lnr + iθ
∴
हमारे पास w = u + iv है
w = log (x + iy) =
चूँकि कॉची-रीमैन (C-R) समीकरण विश्लेषणात्मक फलन से संतुष्ट हैं और आंशिक अवकलज (0,0) पर छोड़कर निरंतर हैं। इसलिए z = 0 को छोड़कर हर जगह w = विश्लेषणात्मक है।
।
Additional Information
विश्लेषणात्मक फलन
- एक फलन f(z) जो एकल-मूल्यवान है और क्षेत्र R के सभी बिंदुओं पर z के संबंध में एक अद्वितीय अवकलज रखता है, उसे उस फलन में z का विश्लेषणात्मक फलन कहा जाता है।
- एक विश्लेषणात्मक फलन को एक नियमित फलन यापूर्णसममितिक फलन भी कहा जाता है।
- एक फलन जो सम्मिश्र समतल में हर जगह विश्लेषणात्मक है, एक संपूर्ण फलन के रूप में जाना जाता है।
- जैसा कि हर बिंदु पर एक बहुपद का अवकलज होता है, किसी भी डिग्री का एक बहुपद एक संपूर्ण फलन है।
- एक बिंदु जिस पर एक विश्लेषणात्मक फलन का अवकलज होना बंद हो जाता है उसे फलन का एक विलक्षण बिंदु कहलाता है।
f(z) की निरंतरता
- एक फलन w = F(z) को z = z0 पर निरंतर कहा जाता है, अगर
- f(z) को z- समतल के किसी भी क्षेत्र R में निरंतर कहा जाता है यदि वह उस क्षेत्र के हर बिंदु पर निरंतर है तो है।
- यदि w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) z = z0 पर निरंतर है तो u(x, y) और v(x, y) भी z = z0 पर यानी x = x0 और y = y0 पर निरंतर हैं।
Important Points
- यदि कॉची-रीमैन (C-R) समीकरण विश्लेषणात्मक फलन से संतुष्ट हैं और आंशिक अवकलज (0,0) पर छोड़कर निरंतर हैं।
- इसलिए z = 0 को छोड़कर हर जगह w = विश्लेषणात्मक है।
Last updated on Jun 23, 2025
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