उन वृत्तों के परिवार का समीकरण ज्ञात करें जो दो वृत्तों S1: x2 + y2 - 4 = 0 और S2: x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन से गुजर रहे हैं।

अवधारणा :

x और y में सामान्य द्वितीय डिग्री समीकरण, ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 केंद्र (-g, -f) और त्रिज्या \(r = \sqrt {{g^2} + {f^2} - c} \) के साथ एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है , जब a = b और h = 0।

दो वृत्तों S1 और S2 के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: S1 + λS2 = 0 जहाँ λ ≠ 1।

नोट: यदि λ = 1 है तो समीकरण S1 + λS2 दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण का प्रतिनिधित्व करेगा।

गणना:

दिया गया:

S1: x2 + y2 - 4 = 0 और S2: x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0 दो वृत्त हैं।

यहां, हमें उस वृत्त के समीकरण का पता लगाना है जो दिए गए वृत्त S1 और S2 के प्रतिच्छेदन से गुजरता है

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो वृत्तों S1 और S2 के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: 

S1 + λS2 = 0 जहाँ λ ≠ 1।

S1 + λ ⋅ S2 = 0 को ज्ञात करें

⇒ (x2 + y2 - 4) + λ(x2 + y2 - 2x - 4y + 4) = 0

⇒ (1 + λ) x2 + (1 + λ) y2 - 2λx - 4λy + (4λ - 4) = 0

तो, वृत्तों के परिवार का समीकरण है:

(1 + λ) x2 + (1 + λ) y2 - 2λx - 4λy + (4λ - 4) = 0

इसलिए विकल्प D सही उत्तर है।