Question
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निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
माना कि फलन f(x) = x2 + 9 है।
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :
L f(x) एक वर्धमान फलन है।
II. f(x) का स्थानीय अधिकतम मान x = 0 पर है I
उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/से सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
दिया गया फलन \( f(x) = x^2 + 9 \) है।
कथन I: f(x) एक वर्धमान फलन है।
f(x) का अवकलज है:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 9) = 2x \)
जब \(( x > 0 )\), \(( f'(x) > 0 )\) है, इसलिए (f(x) वर्धमान है।
जब (x < 0), f'(x) < 0 ) है, इसलिए f(x) ह्रासमान है।
(x = 0) पर, ( f'(x) = 0 ), जिसका अर्थ है कि फलन इस बिंदु पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
इसलिए, f(x) पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह (x > 0) के लिए वर्धमान है और ( x < 0) के लिए ह्रासमान है।
कथन II: f(x) का स्थानीय उच्चिष्ठ x = 0 पर है।
चूँकि फलन \( f(x) = x^2 + 9 \) ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है (क्योंकि x2 का गुणांक धनात्मक है), इसका x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।
निष्कर्ष:
- कथन I गलत है क्योंकि फलन पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह x > 0 के लिए वर्धमान है और x < 0 के लिए ह्रासमान है।
- कथन II गलत है क्योंकि फलन का x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।
Last updated on Jul 8, 2025
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