मूल बिंदु पर केंद्रित r₀ त्रिज्या की एक अनंत लंबी परिनालिका, समय पर निर्भर चुंबकीय क्षेत्र \(\frac{α}{\pi r_0^2} \cos ω t\) (जहाँ α और ω स्थिरांक हैं) उत्पन्न करता है, जिसे z-अक्ष के अनुदिश रखा गया है। इकाई रेखीय आवेश घनत्व वाली R त्रिज्या का एक वृत्ताकार पाश, प्रारंभ में विराम अवस्था में, xy-तल पर रखा गया है जिसका केंद्र z-अक्ष पर है। यदि R > r₀ है, तो पाश के कोणीय संवेग का परिमाण है:

अवधारणा:

हमें परिनालिका का चुंबकीय क्षेत्र दिया गया है, चुंबकीय क्षेत्र का उपयोग करके हम प्रेरित विद्युत वाहक बल और फ्लक्स और विद्युत क्षेत्र ज्ञात करेंगे और बल आघूर्ण और कोणीय संवेग के सूत्र का उपयोग करके, हम कोणीय संवेग ज्ञात कर सकते हैं।

प्रयुक्त सूत्र-

• प्रेरित विद्युत वाहक बल \(e=\int \overrightarrow{E}.\overrightarrow{d}l=-\frac {d\phi}{dt}\)
• \(\phi=BAcos\theta\)
• \(F=qE\)
• बल आघूर्ण\(=\tau=r\times F \)
• \(\tau=\frac {dL}{dt}\)

व्याख्या:

• प्रेरित विद्युत वाहक बल दिया गया है: \(e=\int \overrightarrow{E}.\overrightarrow{d}l=-\frac {d\phi}{dt}\)
• \(\int \overrightarrow{E}.\overrightarrow{d}l=-\frac {d\phi}{dt}=\frac{-d}{dt}(BAcos\theta)\)
• अब, \(B=\)\(\frac{α}{\pi r_0^2} \cos ω t\) और \(A=\pi r_0^2\) उपरोक्त समीकरण में B का मान प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है
• \(E\times 2\pi R=-\pi r_0^2\times \frac{\alpha}{\pi r_0^2} \frac{d}{dt}(cos\omega t)\)
• \(E\times 2\pi R=\omega \alpha sin\omega t\)
• \(E=\frac {\omega\alpha sin\omega t} {2\pi R}\)
• \(F=qE=\lambda\times 2\pi R\times \frac{\alpha \omega sin\omega t}{2\pi R}\)(यहाँ-रेखीय आवेश घनत्व \(\lambda=\frac {q}{2\pi R}\))
• अब, \(\lambda=1 \)(दिया गया है)
• \(F=\alpha \omega sin\omega t\)
• बल आघूर्ण\(=\tau=R\times F \)\(=R(\alpha \omega sin\omega t).sin 90\)º
• \(\tau=\alpha \omega Rsin\omega t\)
• अब, \(\tau=\frac {dL}{dt}\)\(=\tau.dt=dL\)
• अब, उपरोक्त समीकरण में τ का मान प्रतिस्थापित करें और 0 से t तक सीमाएँ लेते हुए, हमें प्राप्त होता है,
• \(\int_0^t \tau.dt=\int_0^tdL\)
• \(L=\alpha \omega R\int_0^t sin\omega t dt=-\frac{\alpha \omega R [cos\omega t]_0^t}{\omega}\)
• \(L=-\alpha R [cos\omega t-cos0^0]\) अब \(cos0^0=1\)
• इसलिए, \(L=\alpha R [1-cos\omega t]\)

सही उत्तर \(L=\alpha R [1-cos\omega t]\) है।