चित्र में दिखाए अनुसार, समान स्प्रिंगों से जुड़े दो समान द्रव्यमानों की एक प्रणाली ऊर्ध्वाधर दिशा में दोलन करती है।

सामान्य विधाओं की आवृत्तियों का अनुपात ______ है।

संप्रत्यय:

हम पहले दी गई स्थिति के लिए लैग्रेंजियन लिखेंगे, फिर हम सामान्य नोड्स के लिए समीकरण का उपयोग करेंगे जो \(|\hat V-\omega^2\hat T|=0\) द्वारा दिया गया है।

व्याख्या:

दिया गया है m दो समान द्रव्यमान हैं, k स्प्रिंग नियतांक है और \(x_1\) और \(x_2\) क्रमशः पहले और दूसरे स्प्रिंग के विस्थापन हैं।

• \(T=\frac {1}{2}mx_1^2+\frac{1}{2}mx_2^2\)
• \(V=\frac {1}{2}k[x_1-0]^2+\frac{1}{2}[x_2-x_1]^2\)
• \(V=\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}kx_2^2-kx_1x_2\)
• \(V=kx_1^2+\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{kx_1x_2}{2}-\frac{kx_1 x_2}{2}\)
• आव्यूह का उपयोग करके हम \(V\) और \(T\) के संचालकों को इस प्रकार लिख सकते हैं,
• \(\hat T=\begin{bmatrix} \frac{m}{2} & 0 \\[0.3em] 0 & \frac{m}{2} \\[0.3em] \end{bmatrix} \) और \(\hat V=\begin{bmatrix} k & \frac{-k}{2} \\[0.3em] \frac{-k}{2} & \frac{k}{2} \\[0.3em] \end{bmatrix} \)
• सामान्य विधाओं की आवृत्तियों का अनुपात प्राप्त करने के लिए समीकरण-\(|\hat V-\omega^2\hat T|=0\) में ये मान रखें,
• \(|\hat V-\omega^2\hat T|=0\)
• \(k|\begin{bmatrix} (1-\frac{\omega^2}{2}) & \frac{-1}{2} \\[0.3em] \frac{-1}{2} &( \frac{1}{2}-\frac{\omega^2}{2}) \\[0.3em] \end{bmatrix} |=0\)
• \(\det \begin{bmatrix} (1-\frac{\omega^2}{2}) & \frac{-1}{2} \\[0.3em] \frac{-1}{2} & (\frac{1}{2}-\frac{\omega^2}{2}) \\[0.3em] \end{bmatrix} =0\)
• \((1-\frac{\omega ^2}{2})(\frac{1}{2}-\frac {\omega^2}{2})=0\)
• \(\frac{1}{2}-\frac{\omega^2}{2}-\frac {\omega^2}{4}+\frac{\omega^4}{4}-\frac{1}{4}=0\)
• \(2-2\omega^2-\omega^2+\omega^4-1=0 \)
• \(\omega^4-3\omega^2+1=0\)
• उपरोक्त समीकरण का हल \(\omega^2=\frac {3\pm \sqrt5}{2}\) है
• \(\therefore \omega_+=\sqrt \frac{3+\sqrt 5}{2}, \omega_-=\sqrt\frac{3-\sqrt {5}}{2}\)
• दोनों आवृत्तियों का अनुपात \(=\frac {\omega_-}{\omega_+}=\frac{\sqrt {3-\sqrt 5}}{\sqrt{3+\sqrt 5}}\)

इसलिए, सही उत्तर \(=\frac {\omega_-}{\omega_+}=\frac{\sqrt {3-\sqrt 5}}{\sqrt{3+\sqrt 5}}\) है।