ধরা যাক T : R² - R³ হল রৈখিক রূপান্তর যার ম্যাট্রিক্স R³ এর প্রমাণ ভিত্তি {e₁, e₂, e₃) এর সাপেক্ষে \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) তাহলে T

ধারণা:

রৈখিক রূপান্তর: রৈখিক রূপান্তর T : V → W হল এমন যে V-তে যেকোনো ভেক্টর v1 এবং v2 এবং অন্তর্নিহিত ক্ষেত্রের স্কেলার a এবং b-এর জন্য, এটি নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করে:

T(av1 + bv2) = a T(v1) + b T(v2)।

গণনা:

T = \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

| T - λI | = 0

⇒ \(\begin{bmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\\ 0 & 1-\lambda & 0 \\\ 1 & 0 & -\lambda\end{bmatrix}=0\)

⇒ λ²(1 - λ) + 1(λ - 1) = 0

⇒ (λ - 1)(1 - λ²) = 0

⇒ λ = 1, 1, -1।

⇒ T-এর কেবল শূন্য নাল স্পেস আছে।

| T - I | = 0

⇒ \(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

⇒ - x + z = 0

তাহলে আইগেন ভেক্টর [0, 1, 0] এবং [1, 0, 1]

| T+ I | = 0

⇒ \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\\ 0 & 2 & 0 \\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

⇒ x + z = 0 এবং y = 0

⇒ তাহলে আইগেন ভেক্টর [1, 0, -1]।

স্পষ্টতই সবাই স্বাধীন।

সুতরাং এটি R³ কে বিস্তৃত করে।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3)