Vector Spaces MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Vector Spaces - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Vector Spaces MCQ Objective Questions
Vector Spaces Question 1:
ধরা যাক T : R2 - R3 হল রৈখিক রূপান্তর যার ম্যাট্রিক্স R3 এর প্রমাণ ভিত্তি {e1, e2, e3) এর সাপেক্ষে \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) তাহলে T
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
রৈখিক রূপান্তর: রৈখিক রূপান্তর T : V → W হল এমন যে V-তে যেকোনো ভেক্টর v1 এবং v2 এবং অন্তর্নিহিত ক্ষেত্রের স্কেলার a এবং b-এর জন্য, এটি নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করে:
T(av1 + bv2) = a T(v1) + b T(v2)।
গণনা:
T = \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
| T - λI | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\\ 0 & 1-\lambda & 0 \\\ 1 & 0 & -\lambda\end{bmatrix}=0\)
⇒ λ2(1 - λ) + 1(λ - 1) = 0
⇒ (λ - 1)(1 - λ2) = 0
⇒ λ = 1, 1, -1।
⇒ T-এর কেবল শূন্য নাল স্পেস আছে।
| T - I | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
⇒ - x + z = 0
তাহলে আইগেন ভেক্টর [0, 1, 0] এবং [1, 0, 1]
| T+ I | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\\ 0 & 2 & 0 \\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
⇒ x + z = 0 এবং y = 0
⇒ তাহলে আইগেন ভেক্টর [1, 0, -1]।
স্পষ্টতই সবাই স্বাধীন।
সুতরাং এটি R3 কে বিস্তৃত করে।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3)
Vector Spaces Question 2:
ধরা যাক T : IR2 → IR3 একটি রৈখিক রূপান্তর, যা T(x, y) = (x + y, x - y, y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। তাহলে T-এর ক্রম হল
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 2 Detailed Solution
ধারণা:
শূণ্য ক্রম উপপাদ্য: এটি একটি রৈখিক ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রের মাত্রা তার ক্রমের (তার চিত্রের মাত্রা) এবং তার শূণ্যতার (তার কার্নেলের মাত্রা) যোগফল বলে নিশ্চিত করে।
অর্থাৎ,
ধরা যাক V, W ভেক্টর স্পেস, যেখানে V সসীম মাত্রার। ধরা যাক T : V→ W একটি রৈখিক রূপান্তর।
তাহলে ক্রম (T) + শূন্যতা(T) = dim(V)
যেখানে, ক্রম (T) = dim(image(T)) এবং শূন্যতা (T) = dim(Ker(T))।
গণনা:
দেওয়া আছে, T : IR2 → IR3 একটি রৈখিক রূপান্তর, যা T(x, y) = (x + y, x - y, y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
তাহলে, {(1, 0), (0, 1)} হল IR2 এর একটি ভিত্তি।
সুতরাং, T(1, 0) = (1 + 0, 1 - 0, 0) = (1, 1, 0)
এবং T(0, 1) = (0 + 1, 0 - 1, 1) = (1, -1, 0)
সুতরাং T(1, 0) এবং T(0, 1) ভেক্টরগুলি T-এর পরিসরকে বিস্তৃত করে।
এবং (1, 1, 0) এবং (1, -1, 0) ভেক্টরগুলি IR3 -এ রৈখিকভাবে স্বাধীন।
কারণ যদি x, y ∈ R হয়, তাহলে x(1, 1, 0) + y(1, -1, 0) = (0, 0, 0)
⇒ (x + y, x - y, y) = (0, 0, 0)
⇒ x = 0 এবং y = 0
সুতরাং এই ভেক্টরগুলি (1, 1, 0) এবং (1, -1, 0) T-এর পরিসরের জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করে।
অতএব, আমরা বলতে পারি যে ক্রম (T) = dim(image(T)) বা dim(range(T)) = 2।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2)
Top Vector Spaces MCQ Objective Questions
ধরা যাক T : R2 - R3 হল রৈখিক রূপান্তর যার ম্যাট্রিক্স R3 এর প্রমাণ ভিত্তি {e1, e2, e3) এর সাপেক্ষে \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) তাহলে T
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
রৈখিক রূপান্তর: রৈখিক রূপান্তর T : V → W হল এমন যে V-তে যেকোনো ভেক্টর v1 এবং v2 এবং অন্তর্নিহিত ক্ষেত্রের স্কেলার a এবং b-এর জন্য, এটি নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করে:
T(av1 + bv2) = a T(v1) + b T(v2)।
গণনা:
T = \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
| T - λI | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\\ 0 & 1-\lambda & 0 \\\ 1 & 0 & -\lambda\end{bmatrix}=0\)
⇒ λ2(1 - λ) + 1(λ - 1) = 0
⇒ (λ - 1)(1 - λ2) = 0
⇒ λ = 1, 1, -1।
⇒ T-এর কেবল শূন্য নাল স্পেস আছে।
| T - I | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
⇒ - x + z = 0
তাহলে আইগেন ভেক্টর [0, 1, 0] এবং [1, 0, 1]
| T+ I | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\\ 0 & 2 & 0 \\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
⇒ x + z = 0 এবং y = 0
⇒ তাহলে আইগেন ভেক্টর [1, 0, -1]।
স্পষ্টতই সবাই স্বাধীন।
সুতরাং এটি R3 কে বিস্তৃত করে।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3)
ধরা যাক T : IR2 → IR3 একটি রৈখিক রূপান্তর, যা T(x, y) = (x + y, x - y, y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। তাহলে T-এর ক্রম হল
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
শূণ্য ক্রম উপপাদ্য: এটি একটি রৈখিক ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রের মাত্রা তার ক্রমের (তার চিত্রের মাত্রা) এবং তার শূণ্যতার (তার কার্নেলের মাত্রা) যোগফল বলে নিশ্চিত করে।
অর্থাৎ,
ধরা যাক V, W ভেক্টর স্পেস, যেখানে V সসীম মাত্রার। ধরা যাক T : V→ W একটি রৈখিক রূপান্তর।
তাহলে ক্রম (T) + শূন্যতা(T) = dim(V)
যেখানে, ক্রম (T) = dim(image(T)) এবং শূন্যতা (T) = dim(Ker(T))।
গণনা:
দেওয়া আছে, T : IR2 → IR3 একটি রৈখিক রূপান্তর, যা T(x, y) = (x + y, x - y, y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
তাহলে, {(1, 0), (0, 1)} হল IR2 এর একটি ভিত্তি।
সুতরাং, T(1, 0) = (1 + 0, 1 - 0, 0) = (1, 1, 0)
এবং T(0, 1) = (0 + 1, 0 - 1, 1) = (1, -1, 0)
সুতরাং T(1, 0) এবং T(0, 1) ভেক্টরগুলি T-এর পরিসরকে বিস্তৃত করে।
এবং (1, 1, 0) এবং (1, -1, 0) ভেক্টরগুলি IR3 -এ রৈখিকভাবে স্বাধীন।
কারণ যদি x, y ∈ R হয়, তাহলে x(1, 1, 0) + y(1, -1, 0) = (0, 0, 0)
⇒ (x + y, x - y, y) = (0, 0, 0)
⇒ x = 0 এবং y = 0
সুতরাং এই ভেক্টরগুলি (1, 1, 0) এবং (1, -1, 0) T-এর পরিসরের জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করে।
অতএব, আমরা বলতে পারি যে ক্রম (T) = dim(image(T)) বা dim(range(T)) = 2।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2)
Vector Spaces Question 5:
ধরা যাক T : R2 - R3 হল রৈখিক রূপান্তর যার ম্যাট্রিক্স R3 এর প্রমাণ ভিত্তি {e1, e2, e3) এর সাপেক্ষে \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) তাহলে T
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 5 Detailed Solution
ধারণা:
রৈখিক রূপান্তর: রৈখিক রূপান্তর T : V → W হল এমন যে V-তে যেকোনো ভেক্টর v1 এবং v2 এবং অন্তর্নিহিত ক্ষেত্রের স্কেলার a এবং b-এর জন্য, এটি নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করে:
T(av1 + bv2) = a T(v1) + b T(v2)।
গণনা:
T = \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
| T - λI | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\\ 0 & 1-\lambda & 0 \\\ 1 & 0 & -\lambda\end{bmatrix}=0\)
⇒ λ2(1 - λ) + 1(λ - 1) = 0
⇒ (λ - 1)(1 - λ2) = 0
⇒ λ = 1, 1, -1।
⇒ T-এর কেবল শূন্য নাল স্পেস আছে।
| T - I | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
⇒ - x + z = 0
তাহলে আইগেন ভেক্টর [0, 1, 0] এবং [1, 0, 1]
| T+ I | = 0
⇒ \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\\ 0 & 2 & 0 \\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
⇒ x + z = 0 এবং y = 0
⇒ তাহলে আইগেন ভেক্টর [1, 0, -1]।
স্পষ্টতই সবাই স্বাধীন।
সুতরাং এটি R3 কে বিস্তৃত করে।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3)
Vector Spaces Question 6:
ধরা যাক T : IR2 → IR3 একটি রৈখিক রূপান্তর, যা T(x, y) = (x + y, x - y, y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। তাহলে T-এর ক্রম হল
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 6 Detailed Solution
ধারণা:
শূণ্য ক্রম উপপাদ্য: এটি একটি রৈখিক ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রের মাত্রা তার ক্রমের (তার চিত্রের মাত্রা) এবং তার শূণ্যতার (তার কার্নেলের মাত্রা) যোগফল বলে নিশ্চিত করে।
অর্থাৎ,
ধরা যাক V, W ভেক্টর স্পেস, যেখানে V সসীম মাত্রার। ধরা যাক T : V→ W একটি রৈখিক রূপান্তর।
তাহলে ক্রম (T) + শূন্যতা(T) = dim(V)
যেখানে, ক্রম (T) = dim(image(T)) এবং শূন্যতা (T) = dim(Ker(T))।
গণনা:
দেওয়া আছে, T : IR2 → IR3 একটি রৈখিক রূপান্তর, যা T(x, y) = (x + y, x - y, y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
তাহলে, {(1, 0), (0, 1)} হল IR2 এর একটি ভিত্তি।
সুতরাং, T(1, 0) = (1 + 0, 1 - 0, 0) = (1, 1, 0)
এবং T(0, 1) = (0 + 1, 0 - 1, 1) = (1, -1, 0)
সুতরাং T(1, 0) এবং T(0, 1) ভেক্টরগুলি T-এর পরিসরকে বিস্তৃত করে।
এবং (1, 1, 0) এবং (1, -1, 0) ভেক্টরগুলি IR3 -এ রৈখিকভাবে স্বাধীন।
কারণ যদি x, y ∈ R হয়, তাহলে x(1, 1, 0) + y(1, -1, 0) = (0, 0, 0)
⇒ (x + y, x - y, y) = (0, 0, 0)
⇒ x = 0 এবং y = 0
সুতরাং এই ভেক্টরগুলি (1, 1, 0) এবং (1, -1, 0) T-এর পরিসরের জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করে।
অতএব, আমরা বলতে পারি যে ক্রম (T) = dim(image(T)) বা dim(range(T)) = 2।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2)