Differentiability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

वक्र का समीकरण p = f(r)

वक्रता जीवा की लंबाई

= 2ρ cos ϕ

= \(2{r\over f'(r)}\sqrt{1-\sin^2ϕ}\)

= \(2{r\over f'(r)}\sqrt{1-{p^2\over r^2}}\) (p = r sin ϕ)

= \( \frac{2}{f'(r)}\sqrt{r^2-p^2}\)

= \(\rm \frac{2}{f'(r)}\sqrt{r^2-[f(r)]^2}\)

विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

x = x2 - x y + y3,

x = rcosθ, y = rsinθ

शृंखला नियम लागू करें:

(dz/dr) = (dz/dx) (dx/dr) + (dz/dy) (dy/dr)

dz/dx = 2x - y

dz/dy = -x + 3y²

dx/dr = cos(θ)

dy/dr = sin(θ)

अब, (dz/dr) = (2x - y) cos(θ) + (-x + 3y²) sin(θ)

चूँकि x = r cos(θ) और y = r sin(θ) है, हम x = 1 और y = 1 पर r और θ ज्ञात कर सकते हैं:

r = √(x² + y²) = √(1² + 1²) = √2

θ = tan⁻¹(y/x) = tan⁻¹(1/1) = π/4

अब, (dz/dr) के व्यंजक में x = 1, y = 1, r = √2, और θ = π/4 प्रतिस्थापित करें:

(dz/dr) = (2(1) - 1) cos(π/4) + (-1 + 3(1)²) sin(π/4)

(dz/dr) = 1 (√2/2) + 2 (√2/2)

(dz/dr) = 3√2/2

इसलिए, x = 1 और y = 1 पर (dz/dr) 3/√2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

विकल्प 1: f(x) = |x - 1|

|x - 1| फलन एक निरपेक्ष मान फलन है। इसमें x = 1 पर एक तीव्र कोना है, इसलिए यह फलन इस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।

विकल्प 2: f(x) = [x] (महत्तम पूर्णांक फलन)

महत्तम पूर्णांक फलन (सोपान फलन) पूर्णांक मानों पर सतत नहीं है, और असंतता का अर्थ है कि फलन x = 1 (या किसी पूर्णांक मान) पर अवकलनीय नहीं है।

विकल्प 3: f(x) = \(1 + (1 - x)^{1/3}\)

फलन f(x) = \(1 + (1 - x)^{1/3}\) x = 1 पर अवकलनीय है क्योंकि घनमूल फलन x = 1 पर सतत और चिकना (कोई तीव्र कोने या असंतताएँ नहीं) है।

निरपेक्ष मान फलन |x - 1| और महत्तम पूर्णांक फलन [x] दोनों ही x = 1 पर अवकलनीय नहीं हैं।

इसलिए विकल्प 4 सही है।

व्याख्या:

$x=0$पर, $|x|$ में एक विकुंच (अवकलनीयता नहीं) है।

आइए हम $x=0$ पर LHD और RHD की गणना करें:

$x>0$के लिए:

\(f(x)= \frac{x}{1+x} ​ ⟹f ′ (x)= -\frac{1}{(1+x) ^ 2} ​ .\)" id="MathJax-Element-1072-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">

\(f _ + ′ ​ (0)= \frac{1}{(1+0)^2} ​ =1. \)

$x<0$के लिए$:$

\(f(x)= \frac{x}{1-x} ​ ⟹f ′ (x)= \frac{1}{(1-x) ^ 2}\)

$x=0$पर, LHD है:

\(f _ − ′ ​ (0)= \frac{1}{(1-0)^2} ​ =1\)

फलन सभी $x\in (-\infty ,\infty )$ के लिए अवकलनीय है।

इसलिए, विकल्प 2 सही है।

आइए इसे आंशिक विवर्तन का उपयोग करके हल करें:

\(\rm\frac{X}{(X+2)(X−3)}= \rm\frac{A}{(X+2)}+\rm\frac{B}{(X−3)} ~~~~~---- Eq(i) \\ \therefore \rm\frac{X}{(X+2)(X−3)}= \rm\frac{A(x-3)+B(x+2)}{(x +2)(X-3)} \\ \Rightarrow \rm\frac{X}{(X+2)(X−3)}= \rm\frac{x(A+B)+2B-3A}{(x +2)(X-3)} \)

अब दोनों पक्षों की तुलना करने पर:

A + B = 1  ----- ---समीकरण(ii)

-3A + 2B = 0  ----समीकरण(iiI)

उपरोक्त समीकरणों को हल करने के बाद, हमें मिलता है:

\(\rm{A = \frac{2}{5}\ \& ~ B = \frac{3}{5}} \)

इन मानों को समीकरण(i) में रखने के बाद, हम प्राप्त करेंगे:

\(\rm\frac{X}{(X+2)(X−3)} = \rm\frac{2}{5(X+2)}+\frac{3}{5(X−3)}\)

संकल्पना:

एक फलन f(x, y) को x और y में डिग्री n का समरूप फलन तब कहा जाता है, यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है

f(λx, λy) = λn f(x, y)

यूलर का प्रमेय:

यदि f(x, y), x और y में डिग्री n का एक समरूप फलन है और इसमें निरंतर पहली और द्वितीय-कोटि वाले आंशिक अवकलज है, तो 

\(x\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = nf\)

\({x^2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{\partial ^2f}}{{\partial y^2}} = n\left( {n - 1} \right)f\)

यदि x डिग्री n और z = f(u) के x और y का समरूप फलन है, तो 

\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = n\frac{{f\left( u \right)}}{{f'\left( u \right)}}\)

गणना:

दिया गया है, \(u = \ln \left( {\frac{{{x^3} + {x^2}y - {y^3}}}{{x - y}}} \right)\)

\(z = {\frac{{{x^3} + {x^2}y - {y^3}}}{{x - y}}}\)

z डिग्री 2 के साथ x और y का एक समरूप फलन है। 

अब, z = eu

अतः यूलर प्रमेय से:

\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} =2 \frac{{{e^u}}}{{{e^u}}}\)

\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2\)

अवधारणा:

अवकलजों का श्रृंखला नियम बताता है कि, यदि y = f(u) और u = g(x) दोनों अवकलनीय फलन हैं तो

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)

\(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)

\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; cosx\)

गणना:

दिया गया है y = log sinx

माना sin x = u

⇒ y = log u

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{u}}\frac{d}{{dx}}\left( {u} \right) \)

\(= \frac{1}{{\sin x}}\left( { cos x} \right) \)

इसलिए, \(\frac{dy}{dx}\) का मान \(\frac{1}{sin~x} cos~x\) होगा।

L hospitals नियम को लागु करने पर

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{{b^x}\log b - b{x^{b - 1}}}}{{{x^x}\left( {1\; + \;\log x} \right)}} = - 1\\ \Rightarrow \frac{{{b^b}\log b - b.{b^{b - 1}}}}{{{b^b}\left( {1\; + \;\log b} \right)}} = \frac{{{b^b}\left( {\log b - 1} \right)}}{{{b^b}\left( {1\; + \;\log b} \right)}} = - 1 \end{array}\)

⇒ log b - 1 = -1 - log b

⇒ 2 log b = 0

संकल्पना:

फलन f(x) को दिए गए अंतराल में वर्धमान फलन तब कहा जाता है यदि इसके पहली कोटि का अवकलन \(f'\left( x \right) \ge 0\) दिए गए अंतराल में प्रत्येक बिंदु के लिए सत्य होता है।

गणना:

फलन I:

\(f\left( x \right) = {e^{ - x}}\therefore f'\left( x \right) = \; - {e^{ - x}}\)

\(\because {f'}\left( 0 \right) = - 1 < 0\)

इसलिए, फलन गैर-वर्धमान फलन है।  

फलन II:

\(f\left( x \right) = \;{x^2} - \sin x,\;f'\left( x \right) = 2x - \cos x\)

\(f'\left( 0 \right) = \;0 - \cos 0 = - 1 < 0\)

इसलिए, यह फलन गैर-वर्धमान फलन भी है।

आगे, चूँकि cosine फलन एक आवधिक फलन है, इसलिए यह दी गयी सीमा में निरंतर वर्धमान फलन नहीं हो सकता है।

फलन III:

\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^3} + 1} \)

\({\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^3} + 1} }}\)

\(f'\left( 0 \right) = 0,\;f'\left( 1 \right) > 0\)

इसलिए, फलन दिए गए अंतराल में वर्धमान फलन है।

अतः \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^3} + 1} \) फलन [0, 1] में प्रत्येक स्थान पर केवल वर्धमान फलन है। 

व्याख्या:

माध्य मान ज्ञात करने के लिए, किसी को कलन के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके फलन को समाकलित करना चाहिए और अंतराल की दी गई लंबाई से उत्तर को विभाजित करना चाहिए।

तो, [a, b] पर f (x) का औसत (या माध्य) मान द्वारा परिभाषित किया गया है

\(f = \frac{1}{{b - a}}\mathop \smallint \limits_a^b f\;\left( x \right)\;dx\)

निश्चित अभिन्न के लिए माध्य मान प्रमेय:

मान लीजिए y = f (x) बंद अंतराल [a, b] पर एक सतत फलन है।

अभिन्न के लिए माध्य मान प्रमेय बताता है कि अंतराल में एक बिंदु c मौजूद है जैसे कि \(f (c) = \frac{1}{{b - a}}\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)\;dx\).

दूसरे शब्दों में, अभिन्न के लिए माध्य मान प्रमेय बताता है कि अंतराल [a, b] में कम से कम एक बिंदु c है जहां f (x) अपना माध्य मान \(\bar f\) प्राप्त करता है: :

\(f (c) = \bar f = \frac{1}{{b - a}}\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)\;dx\)

ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि यह एक आयत है जिसका क्षेत्रफल वक्र y = f (x) के अंतर्गत क्षेत्र के क्षेत्र का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करता है। f (c) का मान आयत की ऊँचाई को दर्शाता है और अंतर (b - a) चौड़ाई को दर्शाता है।

संकल्पना:

रोली प्रमेय: यदि कोई फलन f(x) [a, b] पर इस प्रकार परिभाषित है कि

1.  f(x) बंद अंतराल [a, b] में निरंतर है

2.  f(x) खुले अंतराल (a, b) पर अलग-अलग है

3. f(a) = f(b) या एक विशेष  f(a) = f(b) के रूप में हो तो (a, b) में कम से कम एक बिंदु x = C मौजूद है जैसे कि f'(c) = 0 जहां a < c ।

गणना:

हमारे पास है,

⇒ f(x) = 3x⁴ - 4x² + 5

अंतराल [0, -2] पर जाँच करें 

⇒ f(0) = 3 × 0 - 4 × 0 + 5

⇒ f(0) = 5

⇒ f(-2) = 3 × (-2)⁴ - 4(-2)² + 5

⇒ f(-2) = 3 × 16 - 4 × 4 + 5

⇒ f(-2) = 37

⇒ f(0) ≠ f(-2)

अंतराल [-1, 1] पर जाँच करें 

⇒ f(-1) = 3 × (-1)⁴ - 4 × (-1)² + 5

⇒ f(-1) = 3 - 4 + 5

⇒ f(-1) = 4

⇒ f(1) = 3(1)⁴ - 4 × (1)² + 5

⇒ f(1) = 3 - 4 + 5

⇒ f(1) = 4

⇒ f(-1) = f(1)

अंतराल [-1, 0] पर जाँच करें 

⇒ f(-1) = 4

⇒ f(0) = 5

⇒ f(-1) ≠ f(0)

अंतराल [1, 2] पर जाँच करें 

⇒ f(1) = 4

⇒ f(2) = 3 × (2)⁴ - 4 × (2)² + 5

⇒ f(2) = 48 - 16 + 5

⇒ f(2) = 37

⇒ f(1) ≠ f(2)

∴ यदि f(x) = 3x4 - 4x2 + 5, तो अंतराल [-1, 1] रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को पूरा करता है।

संकल्पना:

आंशिक अवकलज: कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के सापेक्ष में इसका अवकलज है, जबकि अन्य को स्थिर रखा गया हो।

गणना:

दिया गया है:

f (x, y) = x3 – 3xy2 और g(x,y) = 3x2y – y3 

\(\frac {\partial f}{\partial x} = \frac {\partial}{\partial x} (x^3 - 3xy^2) = \) 3x² - 3y²

\(\frac {\partial g}{\partial x} = \frac {\partial}{\partial x} (3x^2y - y^3) = \) 6xy

\(\frac {\partial f}{\partial y} = \frac {\partial}{\partial y} (x^3 - 3xy^2) = \) -6xy

\(\frac {\partial g}{\partial y} = \frac {\partial}{\partial y} (3x^2y \ -\ y^3 ) = \) 3x² - 3y²

उपरोक्त मानों में से केवल विकल्प (3) सही है अर्थात

\(\frac {\partial f}{\partial y} = - \frac {\partial g}{\partial x}\)

\(f = {y^x}\)

ln f = x lny

⇒ \(\frac{1}{f}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{x}{y}\)

⇒ \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {y^x}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {y^{x - 1}}.x\)

⇒ \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\;\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^{x - 1}}.x} \right)\)

\( = {y^{x - 1}} + x{y^{x - 1}}lny\)

\(= {1^{\left( {2 - 1} \right)}} + \left[ {2 \times {1^{\left( {2 - 1} \right)}}\ln \left( 1 \right)} \right] = 1\)

संकल्पना:

यदि z = f(x, y)

तो z में परिवर्तन (कुल अंतर) निम्न होता है

\(dz = \;\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial z}}{{\partial y}}dy\)

गणना:

दिया हुआ:

z = xy
फिर कुल अंतर है

\(dz = \;\frac{{\partial (xy)}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial (xy)}}{{\partial y}}dy\)

z = ydx + xdy

स्पष्टीकरण:

हमारे पास निम्नप्रकार अभिव्यक्ति है,

7x3 + 3y3 + 4x2 + 6x = 100

दोनों पक्षों को अवकलित करने पर x, हम निम्न प्राप्त करते हैं

21x2 + 9y2\(\frac{dy}{dx}\) + 8x + 6 = 0

\(\frac{{dy}}{{dx}} = -({ \frac{{21{x^2} + 8x + 6}}{{9{y^2}}}})\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = -({ \frac{{21{(2)^2} + 8(2) + 6}}{{9{(4)^2}}}})\)

इसलिए x = 2 और y = 4 पर \(\frac{{dy}}{{dx}}\) का आवश्यक मान, हमारे पास है

\({\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{(2,4)}} = - \frac{{53}}{{72}}\)