Differentiability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 17, 2025
Latest Differentiability MCQ Objective Questions
Differentiability Question 1:
वक्र p = f(r) के त्रिज्या सदिश के लंबवत वक्रता जीवा की लंबाई है:
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
वक्र का समीकरण p = f(r)
वक्रता जीवा की लंबाई
= 2ρ cos ϕ
= \(2{r\over f'(r)}\sqrt{1-\sin^2ϕ}\)
= \(2{r\over f'(r)}\sqrt{1-{p^2\over r^2}}\) (p = r sin ϕ)
= \( \frac{2}{f'(r)}\sqrt{r^2-p^2}\)
= \(\rm \frac{2}{f'(r)}\sqrt{r^2-[f(r)]^2}\)
विकल्प (2) सही है।
Differentiability Question 2:
यदि x = x2 - x y + y3, x = rcosθ, y = rsinθ है, तब \(\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)_{x=1, y=1}\) बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
x = x2 - x y + y3,
x = rcosθ, y = rsinθ
शृंखला नियम लागू करें:
(dz/dr) = (dz/dx) (dx/dr) + (dz/dy) (dy/dr)
dz/dx = 2x - y
dz/dy = -x + 3y²
dx/dr = cos(θ)
dy/dr = sin(θ)
अब, (dz/dr) = (2x - y) cos(θ) + (-x + 3y²) sin(θ)
चूँकि x = r cos(θ) और y = r sin(θ) है, हम x = 1 और y = 1 पर r और θ ज्ञात कर सकते हैं:
r = √(x² + y²) = √(1² + 1²) = √2
θ = tan⁻¹(y/x) = tan⁻¹(1/1) = π/4
अब, (dz/dr) के व्यंजक में x = 1, y = 1, r = √2, और θ = π/4 प्रतिस्थापित करें:
(dz/dr) = (2(1) - 1) cos(π/4) + (-1 + 3(1)²) sin(π/4)
(dz/dr) = 1 (√2/2) + 2 (√2/2)
(dz/dr) = 3√2/2
इसलिए, x = 1 और y = 1 पर (dz/dr) 3/√2 है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।
Differentiability Question 3:
निम्नलिखित में कौन सा, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
विकल्प 1: f(x) = |x - 1|
|x - 1| फलन एक निरपेक्ष मान फलन है। इसमें x = 1 पर एक तीव्र कोना है, इसलिए यह फलन इस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।
विकल्प 2: f(x) = [x] (महत्तम पूर्णांक फलन)
महत्तम पूर्णांक फलन (सोपान फलन) पूर्णांक मानों पर सतत नहीं है, और असंतता का अर्थ है कि फलन x = 1 (या किसी पूर्णांक मान) पर अवकलनीय नहीं है।
विकल्प 3: f(x) = \(1 + (1 - x)^{1/3}\)
फलन f(x) = \(1 + (1 - x)^{1/3}\) x = 1 पर अवकलनीय है क्योंकि घनमूल फलन x = 1 पर सतत और चिकना (कोई तीव्र कोने या असंतताएँ नहीं) है।
निरपेक्ष मान फलन |x - 1| और महत्तम पूर्णांक फलन [x] दोनों ही x = 1 पर अवकलनीय नहीं हैं।
इसलिए विकल्प 4 सही है।
Differentiability Question 4:
उन सभी बिंदुओं का समुच्चय कौन सा है, जहाँ फलन \(\rm f(x)=\frac{x}{(1+|x|)}\) अवकलनीय है:
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
पर, में एक विकुंच (अवकलनीयता नहीं) है।
आइए हम पर LHD और RHD की गणना करें:
के लिए:
\(f(x)= \frac{x}{1+x} ⟹f ′ (x)= -\frac{1}{(1+x) ^ 2} .\)
\(f _ + ′ (0)= \frac{1}{(1+0)^2} =1. \)
के लिए
\(f(x)= \frac{x}{1-x} ⟹f ′ (x)= \frac{1}{(1-x) ^ 2}\)
पर, LHD है:
\(f _ − ′ (0)= \frac{1}{(1-0)^2} =1\)
फलन सभी के लिए अवकलनीय है।
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
Differentiability Question 5:
\(\rm\frac{X}{(X+2)(X−3)}\) =
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 5 Detailed Solution
आइए इसे आंशिक विवर्तन का उपयोग करके हल करें:
\(\rm\frac{X}{(X+2)(X−3)}= \rm\frac{A}{(X+2)}+\rm\frac{B}{(X−3)} ~~~~~---- Eq(i) \\ \therefore \rm\frac{X}{(X+2)(X−3)}= \rm\frac{A(x-3)+B(x+2)}{(x +2)(X-3)} \\ \Rightarrow \rm\frac{X}{(X+2)(X−3)}= \rm\frac{x(A+B)+2B-3A}{(x +2)(X-3)} \)
अब दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
A + B = 1 ----- ---समीकरण(ii)
-3A + 2B = 0 ----समीकरण(iiI)
उपरोक्त समीकरणों को हल करने के बाद, हमें मिलता है:
\(\rm{A = \frac{2}{5}\ \& ~ B = \frac{3}{5}} \)
इन मानों को समीकरण(i) में रखने के बाद, हम प्राप्त करेंगे:
\(\rm\frac{X}{(X+2)(X−3)} = \rm\frac{2}{5(X+2)}+\frac{3}{5(X−3)}\)
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यदि फलन \(u = \ln \left( {\frac{{{x^3} + {x^2}y - {y^3}}}{{x - y}}} \right)\) है, तो \(x\frac{{\delta u}}{{\delta x}} + y\frac{{\delta u}}{{\delta y}}\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक फलन f(x, y) को x और y में डिग्री n का समरूप फलन तब कहा जाता है, यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है
f(λx, λy) = λn f(x, y)
यूलर का प्रमेय:
यदि f(x, y), x और y में डिग्री n का एक समरूप फलन है और इसमें निरंतर पहली और द्वितीय-कोटि वाले आंशिक अवकलज है, तो
\(x\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = nf\)
\({x^2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{\partial ^2f}}{{\partial y^2}} = n\left( {n - 1} \right)f\)
यदि x डिग्री n और z = f(u) के x और y का समरूप फलन है, तो
\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = n\frac{{f\left( u \right)}}{{f'\left( u \right)}}\)
गणना:
दिया गया है, \(u = \ln \left( {\frac{{{x^3} + {x^2}y - {y^3}}}{{x - y}}} \right)\)
\(z = {\frac{{{x^3} + {x^2}y - {y^3}}}{{x - y}}}\)
z डिग्री 2 के साथ x और y का एक समरूप फलन है।
अब, z = eu
अतः यूलर प्रमेय से:
\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} =2 \frac{{{e^u}}}{{{e^u}}}\)
\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2\)
यदि y = log sin x, तब \(\frac{dy}{dx}\) _______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
अवकलजों का श्रृंखला नियम बताता है कि, यदि y = f(u) और u = g(x) दोनों अवकलनीय फलन हैं तो
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)
\(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)
\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; cosx\)
गणना:
दिया गया है y = log sinx
माना sin x = u
⇒ y = log u
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{u}}\frac{d}{{dx}}\left( {u} \right) \)
\(= \frac{1}{{\sin x}}\left( { cos x} \right) \)
इसलिए, \(\frac{dy}{dx}\) का मान \(\frac{1}{sin~x} cos~x\) होगा।
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{{b^x} - {x^b}}}{{{x^x} - {b^b}}} = -1,\) है, तो b का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFL hospitals नियम को लागु करने पर
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{{b^x}\log b - b{x^{b - 1}}}}{{{x^x}\left( {1\; + \;\log x} \right)}} = - 1\\ \Rightarrow \frac{{{b^b}\log b - b.{b^{b - 1}}}}{{{b^b}\left( {1\; + \;\log b} \right)}} = \frac{{{b^b}\left( {\log b - 1} \right)}}{{{b^b}\left( {1\; + \;\log b} \right)}} = - 1 \end{array}\)
⇒ log b - 1 = -1 - log b
⇒ 2 log b = 0
⇒ b = 1निम्न फलन पर विचार कीजिए।
I. e-x
II. x2 – sin x
III. \(\sqrt {{x^3} + 1} \)
उपरोक्त फलन में से कौन-सा/कौन-से [0, 1] में प्रत्येक स्थान पर बढ़ता/बढ़ते है/हैं?Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
फलन f(x) को दिए गए अंतराल में वर्धमान फलन तब कहा जाता है यदि इसके पहली कोटि का अवकलन \(f'\left( x \right) \ge 0\) दिए गए अंतराल में प्रत्येक बिंदु के लिए सत्य होता है।
गणना:
फलन I:
\(f\left( x \right) = {e^{ - x}}\therefore f'\left( x \right) = \; - {e^{ - x}}\)
\(\because {f'}\left( 0 \right) = - 1 < 0\)
इसलिए, फलन गैर-वर्धमान फलन है।
फलन II:
\(f\left( x \right) = \;{x^2} - \sin x,\;f'\left( x \right) = 2x - \cos x\)
\(f'\left( 0 \right) = \;0 - \cos 0 = - 1 < 0\)
इसलिए, यह फलन गैर-वर्धमान फलन भी है।
आगे, चूँकि cosine फलन एक आवधिक फलन है, इसलिए यह दी गयी सीमा में निरंतर वर्धमान फलन नहीं हो सकता है।
फलन III:
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^3} + 1} \)
\({\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^3} + 1} }}\)
\(f'\left( 0 \right) = 0,\;f'\left( 1 \right) > 0\)
इसलिए, फलन दिए गए अंतराल में वर्धमान फलन है।
अतः \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^3} + 1} \) फलन [0, 1] में प्रत्येक स्थान पर केवल वर्धमान फलन है।
बिंदु 'a' से बिंदु 'b' तक फलन f(x) का माध्य मान किसके द्वारा दिया जाता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
माध्य मान ज्ञात करने के लिए, किसी को कलन के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके फलन को समाकलित करना चाहिए और अंतराल की दी गई लंबाई से उत्तर को विभाजित करना चाहिए।
तो, [a, b] पर f (x) का औसत (या माध्य) मान द्वारा परिभाषित किया गया है
\(f = \frac{1}{{b - a}}\mathop \smallint \limits_a^b f\;\left( x \right)\;dx\)
निश्चित अभिन्न के लिए माध्य मान प्रमेय:
मान लीजिए y = f (x) बंद अंतराल [a, b] पर एक सतत फलन है।
अभिन्न के लिए माध्य मान प्रमेय बताता है कि अंतराल में एक बिंदु c मौजूद है जैसे कि \(f (c) = \frac{1}{{b - a}}\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)\;dx\).
दूसरे शब्दों में, अभिन्न के लिए माध्य मान प्रमेय बताता है कि अंतराल [a, b] में कम से कम एक बिंदु c है जहां f (x) अपना माध्य मान \(\bar f\) प्राप्त करता है: :
\(f (c) = \bar f = \frac{1}{{b - a}}\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)\;dx\)
ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि यह एक आयत है जिसका क्षेत्रफल वक्र y = f (x) के अंतर्गत क्षेत्र के क्षेत्र का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करता है। f (c) का मान आयत की ऊँचाई को दर्शाता है और अंतर (b - a) चौड़ाई को दर्शाता है।
यदि f(x) = 3x4 - 4x2 + 5, तो अन्तराल जिसमें f(x) रोली प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है, होगा
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
रोली प्रमेय: यदि कोई फलन f(x) [a, b] पर इस प्रकार परिभाषित है कि
1. f(x) बंद अंतराल [a, b] में निरंतर है
2. f(x) खुले अंतराल (a, b) पर अलग-अलग है
3. f(a) = f(b) या एक विशेष f(a) = f(b) के रूप में हो तो (a, b) में कम से कम एक बिंदु x = C मौजूद है जैसे कि f'(c) = 0 जहां a < c ।
गणना:
हमारे पास है,
⇒ f(x) = 3x4 - 4x2 + 5
अंतराल [0, -2] पर जाँच करें
⇒ f(0) = 3 × 0 - 4 × 0 + 5
⇒ f(0) = 5
⇒ f(-2) = 3 × (-2)4 - 4(-2)2 + 5
⇒ f(-2) = 3 × 16 - 4 × 4 + 5
⇒ f(-2) = 37
⇒ f(0) ≠ f(-2)
अंतराल [-1, 1] पर जाँच करें
⇒ f(-1) = 3 × (-1)4 - 4 × (-1)2 + 5
⇒ f(-1) = 3 - 4 + 5
⇒ f(-1) = 4
⇒ f(1) = 3(1)4 - 4 × (1)2 + 5
⇒ f(1) = 3 - 4 + 5
⇒ f(1) = 4
⇒ f(-1) = f(1)
अंतराल [-1, 0] पर जाँच करें
⇒ f(-1) = 4
⇒ f(0) = 5
⇒ f(-1) ≠ f(0)
अंतराल [1, 2] पर जाँच करें
⇒ f(1) = 4
⇒ f(2) = 3 × (2)4 - 4 × (2)2 + 5
⇒ f(2) = 48 - 16 + 5
⇒ f(2) = 37
⇒ f(1) ≠ f(2)
∴ यदि f(x) = 3x4 - 4x2 + 5, तो अंतराल [-1, 1] रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को पूरा करता है।
दो फलनों f (x, y) = x3 – 3xy2 और g(x,y) = 3x2y – y3 के लिए निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
आंशिक अवकलज: कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के सापेक्ष में इसका अवकलज है, जबकि अन्य को स्थिर रखा गया हो।
गणना:
दिया गया है:
f (x, y) = x3 – 3xy2 और g(x,y) = 3x2y – y3
\(\frac {\partial f}{\partial x} = \frac {\partial}{\partial x} (x^3 - 3xy^2) = \) 3x2 - 3y2
\(\frac {\partial g}{\partial x} = \frac {\partial}{\partial x} (3x^2y - y^3) = \) 6xy
\(\frac {\partial f}{\partial y} = \frac {\partial}{\partial y} (x^3 - 3xy^2) = \) -6xy
\(\frac {\partial g}{\partial y} = \frac {\partial}{\partial y} (3x^2y \ -\ y^3 ) = \) 3x2 - 3y2
उपरोक्त मानों में से केवल विकल्प (3) सही है अर्थात
\(\frac {\partial f}{\partial y} = - \frac {\partial g}{\partial x}\)
माना कि f = yx। x = 2, y = 1 पर \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDF\(f = {y^x}\)
ln f = x lny
⇒ \(\frac{1}{f}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{x}{y}\)
⇒ \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {y^x}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {y^{x - 1}}.x\)
⇒ \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\;\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^{x - 1}}.x} \right)\)
\( = {y^{x - 1}} + x{y^{x - 1}}lny\)
\(= {1^{\left( {2 - 1} \right)}} + \left[ {2 \times {1^{\left( {2 - 1} \right)}}\ln \left( 1 \right)} \right] = 1\)
यदि f(x, y) = xy है तो अवकल df किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि z = f(x, y)
तो z में परिवर्तन (कुल अंतर) निम्न होता है
\(dz = \;\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial z}}{{\partial y}}dy\)
गणना:
दिया हुआ:
z = xy
फिर कुल अंतर है
\(dz = \;\frac{{\partial (xy)}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial (xy)}}{{\partial y}}dy\)
z = ydx + xdy
यदि 7x3 + 3y3 + 4x2 + 6x = 100 तो (dy/dx)(2, 4) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
हमारे पास निम्नप्रकार अभिव्यक्ति है,
7x3 + 3y3 + 4x2 + 6x = 100
दोनों पक्षों को अवकलित करने पर x, हम निम्न प्राप्त करते हैं
21x2 + 9y2\(\frac{dy}{dx}\) + 8x + 6 = 0
\(\frac{{dy}}{{dx}} = -({ \frac{{21{x^2} + 8x + 6}}{{9{y^2}}}})\)
\(\frac{{dy}}{{dx}} = -({ \frac{{21{(2)^2} + 8(2) + 6}}{{9{(4)^2}}}})\)
इसलिए x = 2 और y = 4 पर \(\frac{{dy}}{{dx}}\) का आवश्यक मान, हमारे पास है
\({\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{(2,4)}} = - \frac{{53}}{{72}}\)