Solution of Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solution of Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 8, 2025
Latest Solution of Differential Equations MCQ Objective Questions
Solution of Differential Equations Question 1:
माना y = y(t) अवकल समीकरण \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\alpha \mathrm{y}=\gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{t}}\) का एक हल है, जहाँ α > 0, β > 0 और γ > 0. तब \( \rm \displaystyle {Lim}_{t \rightarrow \infty} y(t)\)
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 1 Detailed Solution
गणना:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\alpha \mathrm{y}=\gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{t}} \)
\(\text { समाकलन गुणांक }=\mathrm{e}^{\int \alpha \mathrm{dt}}=\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}} \)
\(\text { हल } \Rightarrow \mathrm{y} \cdot \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}}=\int \gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{T}} \cdot \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}} \mathrm{dt} \)
\(\Rightarrow \mathrm{ye}^{\alpha \mathrm{t}}=\gamma \frac{\mathrm{e}^{(\alpha-\beta) \mathrm{t}}}{(\alpha-\beta)}+\mathrm{c} \)
\(\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{\gamma}{\mathrm{e}^{\beta \mathrm{t}}(\alpha-\beta)}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}}}\)
इसलिए, \(\rm \displaystyle \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=\frac{\gamma}{\infty}+\frac{c}{\infty}=0\)
अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।
Solution of Differential Equations Question 2:
यदि \(\frac{d y}{d x}\) + 2y sec 2x = 2 sec 2x + 3 tan x sec 2x और f(0) = \(\frac{5}{4}\) है। तब 12\(\left(y\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{e^{2}}\right)\) का मान बराबर है
Answer (Detailed Solution Below) 21
Solution of Differential Equations Question 2 Detailed Solution
Explanation:
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y sec2x = 2sec2x + 3 tan x sec2x
I.F. = \(e^{\int 2 \sec ^{2} x d x}\)
I.F. = e2tanx
\(y \cdot e^{2 \tan x}=\int e^{2 \tan x}(2+3 \tan x) \sec ^{2} x d x\)
Put tan x = u
sec2xdx = du
\(y \cdot e^{2 u}=\int e^{2 u}(2+3 u) d u\)
\(y \cdot e^{2 u} \Rightarrow \frac{2 e^{2 u}}{2}+3 \int e^{2 u} \cdot u d u\)
\(y \cdot e^{2 u}=e^{2 u}+3\left[\frac{u e^{2 u}}{2}-\int \frac{e^{2 u}}{2}\right]\)
\(y e^{2 u}=e^{2 u}+3\left[\frac{u e^{2 u}}{2}-\frac{e^{2 u}}{4}\right]+C\)
\(y e^{2 \tan x}=e^{2 \tan x}+3\left[\frac{\tan x e^{2 \tan x}}{2}-\frac{e^{2 \tan x}}{4}\right]+C\)
F(0) = \(\frac{5}{4}\)
\(\frac{5}{4}=1-\frac{3}{4}+C\)
\(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=C\)
1 = C
\(y=1+3\left(\frac{\tan x}{2}-\frac{1}{4}\right)+1 \cdot e^{-2 \tan x}\)
\(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{e^{2}}\)
\(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{1}{e^{2}}\)
\(12\left(y\left(\frac{x}{4}\right)-\frac{1}{e^{2}}\right)=12\left(\frac{7}{4}+\frac{1}{e^{2}}-\frac{1}{e^{2}}\right)\) = 21
Solution of Differential Equations Question 3:
माना y = y(x) अवकल समीकरण \(\rm \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\left(1+x y^{2}\left(1+\log _{e} x\right)\right)\), x > 0, y(1) = 3 का हल वक्र है। तब \(\frac{\mathrm{y}^{2}(\mathrm{x})}{9}\) बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 3 Detailed Solution
गणना:
\(\rm \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=y^{3}\left(1+\log _{e} x\right)\)
⇒ \(\rm \frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x}-\frac{1}{x y^{2}}=1+\log _{e} x\)
माना \(-\frac{1}{\mathrm{y}^{2}}=\mathrm{t} \Rightarrow \frac{2}{\mathrm{y}^{3}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\)
∴ \(\rm \frac{d t}{d x}+\frac{2 t}{x}=2\left(1+\log _{e} x\right)\)
\(\text { I.F. }=\mathrm{e}^{\int \frac{2}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}}=\mathrm{x}^{2}\)
⇒ \(\rm \frac{-x^{2}}{y^{2}}=\frac{2}{3}\left(\left(1+\log _{e} x\right) x^{3}-\frac{x^{3}}{3}\right)+C \)
y(1) = 3
\(\rm \frac{y^{2}}{9}=\frac{x^{2}}{5-2 x^{3}\left(2+\log _{e} x^{3}\right)}\)
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।
Solution of Differential Equations Question 4:
अवकल समीकरण \( \cfrac { dx }{ dy } =\cos { \left( x+y \right) } \) का व्यापक हल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 4 Detailed Solution
गणना
\( \cfrac { dx }{ dy } =\cos { \left( x+y \right) } \)
मान लीजिए, \( x+y=v \implies \dfrac{dx}{dy}+1=\dfrac{dv}{dy} \)
⇒ \( \dfrac{dv}{dy}=1+\cos{v}=2\cos^2{\dfrac{v}{2}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{dv}{\cos^2{\dfrac{v}{2}}}=2dy \)
⇒ \( \sec^2{\dfrac{v}{2}}dv=2dy \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:-
⇒ \( 2\tan{\dfrac{v}{2}}=2y+k \)
⇒ \( \tan{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}=y+c \)
इसलिए, विकल्प 1 सही है।
Solution of Differential Equations Question 5:
अवकल समीकरण \(\dfrac {dy}{dx} = \tan \left (\dfrac {y}{x}\right ) + \dfrac {y}{x}\) का हल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 5 Detailed Solution
गणना
\(\dfrac {dy}{dx} = \tan \left (\dfrac {y}{x}\right ) + \left (\dfrac {y}{x}\right )\) ..... \((i)\)
मान लीजिए, \(\dfrac {y}{x} = v\)
\(\implies y = vx\)
\(\implies \dfrac {dy}{dx} = v + x\dfrac {dv}{dx}\)
\(\therefore\) दिया गया समीकरण \((i)\) बन जाता है
\(v + x\dfrac {dv}{dx} = \tan v + v\)
\(\implies \dfrac {1}{\tan v}dv = \dfrac {1}{x}dx\)
\(\implies \displaystyle \int \cot v\ dv = \int \dfrac {1}{x}dx\)
\(\implies \log |\sin v| = \log x + \log c=\log|xc|\)
\(\implies \sin v = xc\)
\(\therefore \sin \left (\dfrac {y}{x}\right ) = xc\)
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
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अवकल समीकरण dy = (1 + y2) dx का हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 6 Detailed Solution
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\(\rm \displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1} x + c\)
गणना:
दिया गया है: dy = (1 + y2) dx
\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{1+y^2}=dx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
\(\rm \Rightarrow \displaystyle \int \frac{dy}{1+y^2}=\displaystyle \int dx\\\rm \Rightarrow \tan^{-1} y = x + c \)
⇒ y = tan (x + c)
∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल y = tan (x + c) है।
यदि x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx और x = 1 है, तो \(\rm \frac{10x^4+5y^4+7z^4}{13x^2y^2+6y^2z^2+3z^2x^2}\) का मान ज्ञात कीजिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 7 Detailed Solution
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x = 1
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
गणना:
x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0
⇒(1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 0
⇒x = y , y = z और z = x
लेकिन x = y = z = 1
इसलिए, \(\rm \frac{10x^4+5y^4+7z^4}{13x^2y^2+6y^2z^2+3z^2x^2}\)
= {10(1)4 + 5(1)4 + 7(1)4}/{13(1)2(1)2+ 6(1)2(1)2 + 3(1)2(1)2}
= 22/22
= 1
इसलिए, अभीष्ट मान 1 है।
अवकल समीकरण \(\ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) - {\rm{a}} = 0?\) का हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 8 Detailed Solution
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दिया गया है: \(\ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) - {\rm{a}} = 0\)
\( \Rightarrow \ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) = {\rm{a}}\)
\(\Rightarrow \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)
\(\Rightarrow {\rm{\;}}\smallint \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \smallint {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)
दोनों पक्षों में समाकलन का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ y = xea + c
\(\rm\left( xy \frac {dy}{dx} -1 \right)= 0\) का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 9 Detailed Solution
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\(\rm \int \frac{1}{x}dx = \log x + c\)
\(\rm \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
गणना:
दिया गया है:\(\rm\left( xy \frac {dy}{dx} -1 \right)= 0\)
\(\Rightarrow \rm xy \frac {dy}{dx} =1 \)
\(\Rightarrow \rm y \;dy=\frac {dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
\(\rm \Rightarrow \frac{y^2}{2} = \log x + c\)
यदि x + \(\frac{1}{2x}\) = 3 है, तो 8x3 + \(\rm \frac{1}{x^3}\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 10 Detailed Solution
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x + \(\frac{1}{2x}\) = 3
प्रयुक्त अवधारणा:
सरल गणनाओं का प्रयोग किया जाता है
गणना:
⇒ x + \(\frac{1}{2x}\) = 3
दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒ 2x + \(\frac{1}{x}\) = 6 .................(1)
अब, दोनों पक्षों को घन करने पर,
⇒ \((2x + \frac{1}{x})^3 = 6^3\)
⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(4x^2)(\frac{1}{x})+3(2x)(\frac{1}{x^2})=216\)
⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 12x+\frac{6}{x}=216\)
⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216 - 6(2x+\frac{1}{x})\)
⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 6(6)\) ..............(1) से
⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 36\)
⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 180\)
⇒ इसलिए, उपरोक्त समीकरण का मान 180 है।
अवकल समीकरण \(\rm dy = \left ( 4 + y^{2} \right )dx\) का हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 11 Detailed Solution
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\(\rm \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx = \frac{1}{a}\tan ^{-1}\frac{x}{a}+ C\)
गणना:
दिया गया है : \(\rm dy = \left ( 4 + y^{2} \right )dx\)
⇒ \(\rm \frac{dy}{4+y^{2}}= dx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है
\(\rm \int \frac{dy}{2^{2}+y^{2}}= \int dx\)
⇒ \(\rm \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{y}{2}= x+c\)
⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ 2c\)
⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ C\) [∵ 2c = C]
⇒ \(\rm \frac{y}{2}= \tan(2x+ C)\)
\(\rm y = 2\tan \left ( 2x+C \right )\)
सही विकल्प 2 है।
\(\rm {dx\over dt}= 3x+8\) का हल क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 12 Detailed Solution
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कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:
\(\rm \int{dx\over ax}={1\over a}logx+c\)
यदि log x = z है, तो हम x = ez लिख सकते हैं
गणना:
\(\rm {dx\over dt}= 3x+8\)
उपरोक्त समीकरण को पुनःव्यवस्थित करने और समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,
⇒\(\rm \int{dx\over 3x+8}=\int dt\)
⇒\(\rm {1\over 3 }log({3x+8})=t+c\), c = समाकलन का स्थिरांक
⇒ log(3x + 8) = 3(t + c)
⇒ 3x + 8 = e3(t+c)
⇒ 3x = e3(t+c) - 8
∴ \(\rm x ={ 1\over 3}e^{3(t+c)}-{8\over 3}\)
अवकल समीकरण dy = \(\rm \sqrt{1-y^2}\) dx का हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 13 Detailed Solution
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\(\rm \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}= sin^{-1}\frac{x}{a}\)
गणना:
दिया गया है: dy = \(\rm \sqrt{1-y^2}\) dx
⇒ \(\rm \frac{dy}{\sqrt{1^{2}-y^{2}}} = dx\)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ \(\rm \int \frac{dy}{\sqrt{1^{2}-y^{2}}} =\int dx\)
⇒ \(\rm sin^{-1}\left ( y \right )\) = x + c
⇒ y = sin ( x + c ) .
सही विकल्प 2 है।
अवकल समीकरण \(\rm y \frac {dy}{dx} \) = x + 1 का समाधान _____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 14 Detailed Solution
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दिया गया है कि: \(\rm y \frac {dy}{dx} = x + 1\)
⇒ ydy = (x + 1) dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है
⇒ ∫ ydy = ∫ (x + 1) dx
⇒ \(\rm \frac {y^2}{2} = \rm \frac {x^2}{2} + x + c \)
⇒ y 2 = x 2 + 2x + 2c
∴ y2 - x2 - 2x - c = 0
\(\rm \frac{dx}{dy} = (1+x^2)(1+y^2)\) का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Differential Equations Question 15 Detailed Solution
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\(\rm \int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + c\)
\(\rm \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
गणना:
दिया गया है: \(\rm \frac{dx}{dy} = (1+x^2)(1+y^2)\)
\(\rm \Rightarrow \frac{dx}{(1+x^2)} = (1+y^2)dy\)
\(\rm \Rightarrow (1+y^2)dy=\frac{dx}{(1+x^2)} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
\(\rm \Rightarrow \int (1+y^2)dy=\int \frac{dx}{(1+x^2)} \)
\(\rm \Rightarrow y+\frac{y^3}{3} = \tan^{-1}x + c\)