Solution of Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solution of Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 8, 2025

पाईये Solution of Differential Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Solution of Differential Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Solution of Differential Equations MCQ Objective Questions

Solution of Differential Equations Question 1:

माना y = y(t) अवकल समीकरण \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\alpha \mathrm{y}=\gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{t}}\) का एक हल है, जहाँ α > 0, β > 0 और γ > 0. तब \( \rm \displaystyle {Lim}_{t \rightarrow \infty} y(t)\)

  1. 0 है
  2. अस्तित्व में नहीं है
  3. 1 है
  4. -1 है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0 है

Solution of Differential Equations Question 1 Detailed Solution

गणना:

\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\alpha \mathrm{y}=\gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{t}} \)

\(\text { समाकलन गुणांक }=\mathrm{e}^{\int \alpha \mathrm{dt}}=\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}} \)

\(\text { हल } \Rightarrow \mathrm{y} \cdot \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}}=\int \gamma \mathrm{e}^{-\beta \mathrm{T}} \cdot \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}} \mathrm{dt} \)

\(\Rightarrow \mathrm{ye}^{\alpha \mathrm{t}}=\gamma \frac{\mathrm{e}^{(\alpha-\beta) \mathrm{t}}}{(\alpha-\beta)}+\mathrm{c} \)

\(\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{\gamma}{\mathrm{e}^{\beta \mathrm{t}}(\alpha-\beta)}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{t}}}\)

इसलिए, \(\rm \displaystyle \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=\frac{\gamma}{\infty}+\frac{c}{\infty}=0\)

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Solution of Differential Equations Question 2:

यदि \(\frac{d y}{d x}\) + 2y sec 2x = 2 sec 2x + 3 tan x sec 2x और f(0) = \(\frac{5}{4}\) है। तब 12\(\left(y\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{e^{2}}\right)\) का मान बराबर है

Answer (Detailed Solution Below) 21

Solution of Differential Equations Question 2 Detailed Solution

Explanation:

\(\frac{d y}{d x}\) + 2y sec2x = 2sec2x + 3 tan x sec2

I.F. = \(e^{\int 2 \sec ^{2} x d x}\)

I.F. = e2tanx

\(y \cdot e^{2 \tan x}=\int e^{2 \tan x}(2+3 \tan x) \sec ^{2} x d x\)

Put tan x = u

sec2xdx = du 

\(y \cdot e^{2 u}=\int e^{2 u}(2+3 u) d u\)

\(y \cdot e^{2 u} \Rightarrow \frac{2 e^{2 u}}{2}+3 \int e^{2 u} \cdot u d u\)

\(y \cdot e^{2 u}=e^{2 u}+3\left[\frac{u e^{2 u}}{2}-\int \frac{e^{2 u}}{2}\right]\)

\(y e^{2 u}=e^{2 u}+3\left[\frac{u e^{2 u}}{2}-\frac{e^{2 u}}{4}\right]+C\)

\(y e^{2 \tan x}=e^{2 \tan x}+3\left[\frac{\tan x e^{2 \tan x}}{2}-\frac{e^{2 \tan x}}{4}\right]+C\)

F(0) = \(\frac{5}{4}\)

\(\frac{5}{4}=1-\frac{3}{4}+C\)

\(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=C\)

1 = C

\(y=1+3\left(\frac{\tan x}{2}-\frac{1}{4}\right)+1 \cdot e^{-2 \tan x}\)

\(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{e^{2}}\)

\(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{1}{e^{2}}\)

\(12\left(y\left(\frac{x}{4}\right)-\frac{1}{e^{2}}\right)=12\left(\frac{7}{4}+\frac{1}{e^{2}}-\frac{1}{e^{2}}\right)\) = 21

Solution of Differential Equations Question 3:

माना y = y(x) अवकल समीकरण \(\rm \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\left(1+x y^{2}\left(1+\log _{e} x\right)\right)\), x > 0, y(1) = 3 का हल वक्र है। तब \(\frac{\mathrm{y}^{2}(\mathrm{x})}{9}\) बराबर है:

  1. \(\rm \frac{x^{2}}{5-2 x^{3}\left(2+\log _{e} x^{3}\right)}\)
  2. \(\rm \frac{x^{2}}{2 x^{3}\left(2+\log _{e} x^{3}\right)-3}\)
  3. \(\rm \frac{x^{2}}{3 x^{3}\left(1+\log _{e} x^{2}\right)-2}\)
  4. \(\rm \frac{x^{2}}{7-3 x^{3}\left(2+\log _{e} x^{2}\right)}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\rm \frac{x^{2}}{5-2 x^{3}\left(2+\log _{e} x^{3}\right)}\)

Solution of Differential Equations Question 3 Detailed Solution

गणना:

\(\rm \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=y^{3}\left(1+\log _{e} x\right)\)

\(\rm \frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x}-\frac{1}{x y^{2}}=1+\log _{e} x\)

माना \(-\frac{1}{\mathrm{y}^{2}}=\mathrm{t} \Rightarrow \frac{2}{\mathrm{y}^{3}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\)

\(\rm \frac{d t}{d x}+\frac{2 t}{x}=2\left(1+\log _{e} x\right)\)

\(\text { I.F. }=\mathrm{e}^{\int \frac{2}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}}=\mathrm{x}^{2}\)

\(\rm \frac{-x^{2}}{y^{2}}=\frac{2}{3}\left(\left(1+\log _{e} x\right) x^{3}-\frac{x^{3}}{3}\right)+C \)

y(1) = 3

\(\rm \frac{y^{2}}{9}=\frac{x^{2}}{5-2 x^{3}\left(2+\log _{e} x^{3}\right)}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Solution of Differential Equations Question 4:

अवकल समीकरण \( \cfrac { dx }{ dy } =\cos { \left( x+y \right) } \) का व्यापक हल है:

  1. \( \tan { \left( \cfrac { x+y }{ 2 } \right) } =y+c \)
  2. \( \tan { \left( \cfrac { x+y }{ 2 } \right) } =x+c \)
  3. \( \cot { \left( \cfrac { x+y }{ 2 } \right) } =y+c \)
  4. \( \cot { \left( \cfrac { x+y }{ 2 } \right) } =x+c \quad \)
  5. \( \cos { \left( \cfrac { x+y }{ 2 } \right) } =x+c \quad \)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \( \tan { \left( \cfrac { x+y }{ 2 } \right) } =y+c \)

Solution of Differential Equations Question 4 Detailed Solution

गणना

\( \cfrac { dx }{ dy } =\cos { \left( x+y \right) } \)

मान लीजिए, \( x+y=v \implies \dfrac{dx}{dy}+1=\dfrac{dv}{dy} \)

\( \dfrac{dv}{dy}=1+\cos{v}=2\cos^2{\dfrac{v}{2}} \)

\(\Rightarrow \dfrac{dv}{\cos^2{\dfrac{v}{2}}}=2dy \)

\( \sec^2{\dfrac{v}{2}}dv=2dy \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:-

\( 2\tan{\dfrac{v}{2}}=2y+k \)

\( \tan{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}=y+c \)

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

Solution of Differential Equations Question 5:

अवकल समीकरण \(\dfrac {dy}{dx} = \tan \left (\dfrac {y}{x}\right ) + \dfrac {y}{x}\) का हल है:

  1. \(\cos \left (\dfrac {y}{x}\right ) = cx\)
  2. \(\sin \left (\dfrac {y}{x}\right ) = cx\)
  3. \(\cos \left (\dfrac {y}{x}\right ) = cy\)
  4. \(\sin \left (\dfrac {y}{x}\right ) = cy\)
  5. \(\tan \left (\dfrac {y}{x}\right ) = cy\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\sin \left (\dfrac {y}{x}\right ) = cx\)

Solution of Differential Equations Question 5 Detailed Solution

गणना

\(\dfrac {dy}{dx} = \tan \left (\dfrac {y}{x}\right ) + \left (\dfrac {y}{x}\right )\) ..... \((i)\)

मान लीजिए, \(\dfrac {y}{x} = v\)

\(\implies y = vx\)

\(\implies \dfrac {dy}{dx} = v + x\dfrac {dv}{dx}\)

\(\therefore\) दिया गया समीकरण \((i)\) बन जाता है

\(v + x\dfrac {dv}{dx} = \tan v + v\)

\(\implies \dfrac {1}{\tan v}dv = \dfrac {1}{x}dx\)

\(\implies \displaystyle \int \cot v\ dv = \int \dfrac {1}{x}dx\)

\(\implies \log |\sin v| = \log x + \log c=\log|xc|\)

\(\implies \sin v = xc\)

\(\therefore \sin \left (\dfrac {y}{x}\right ) = xc\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Top Solution of Differential Equations MCQ Objective Questions

अवकल समीकरण dy = (1 + y2) dx का हल क्या है?

  1. y = tan x + c
  2. y = tan (x + c)
  3. tan-1 (y + c) = x
  4. tan-1 (y + c) = 2x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : y = tan (x + c)

Solution of Differential Equations Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm \displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1} x + c\)

गणना:

दिया गया है: dy = (1 + y2) dx

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{1+y^2}=dx\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \displaystyle \int \frac{dy}{1+y^2}=\displaystyle \int dx\\\rm \Rightarrow \tan^{-1} y = x + c \)

⇒ y = tan (x + c)

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल y = tan (x + c) है।

यदि x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx और x = 1 है, तो \(\rm \frac{10x^4+5y^4+7z^4}{13x^2y^2+6y^2z^2+3z^2x^2}\) का मान ज्ञात कीजिए?

  1. 2
  2. 0
  3. -1
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1

Solution of Differential Equations Question 7 Detailed Solution

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दिया गया:

x = 1

x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

गणना:

x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0

⇒(1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 0

⇒x = y , y = z और z = x

लेकिन x = y = z = 1

इसलिए, \(\rm \frac{10x^4+5y^4+7z^4}{13x^2y^2+6y^2z^2+3z^2x^2}\)

{10(1)4 + 5(1)4 + 7(1)4}/{13(1)2(1)2+ 6(1)2(1)2 + 3(1)2(1)2}

= 22/22

= 1

इसलिए, अभीष्ट मान 1 है।

अवकल समीकरण \(\ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) - {\rm{a}} = 0?\) का हल क्या है?

  1. y = xea + c
  2. x = yea + c
  3. y = In x + c
  4. x = In y + c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : y = xea + c

Solution of Differential Equations Question 8 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया है: \(\ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) - {\rm{a}} = 0\)

\( \Rightarrow \ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) = {\rm{a}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{\;}}\smallint \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \smallint {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)

दोनों पक्षों में समाकलन का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ y = xea + c

\(\rm\left( xy \frac {dy}{dx} -1 \right)= 0\) का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। 

  1. xy = log x + c
  2. \(\rm \frac{x^2}{2} = \log y + c\)
  3. \(\rm \frac{y^2}{2} = \log x + c\)
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\rm \frac{y^2}{2} = \log x + c\)

Solution of Differential Equations Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{x}dx = \log x + c\)

\(\rm \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)

 

गणना:

दिया गया है:\(\rm\left( xy \frac {dy}{dx} -1 \right)= 0\)

\(\Rightarrow \rm xy \frac {dy}{dx} =1 \)

\(\Rightarrow \rm y \;dy=\frac {dx}{x} \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \frac{y^2}{2} = \log x + c\)

यदि x + \(\frac{1}{2x}\) = 3 है, तो 8x3\(\rm \frac{1}{x^3}\) का मान क्या है?

  1. 212
  2. 216
  3. 180
  4. 196

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 180

Solution of Differential Equations Question 10 Detailed Solution

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दिया गया:

x + \(\frac{1}{2x}\) = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

सरल गणनाओं का प्रयोग किया जाता है

गणना:

⇒ x + \(\frac{1}{2x}\) = 3

दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 2x + \(\frac{1}{x}\) = 6  .................(1)

अब, दोनों पक्षों को घन करने पर,

⇒ \((2x + \frac{1}{x})^3 = 6^3\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(4x^2)(\frac{1}{x})+3(2x)(\frac{1}{x^2})=216\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 12x+\frac{6}{x}=216\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216 - 6(2x+\frac{1}{x})\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 6(6)\)  ..............(1) से 

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 36\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 180\)

इसलिए, उपरोक्त समीकरण का मान 180 है।

अवकल समीकरण \(\rm dy = \left ( 4 + y^{2} \right )dx\) का हल क्या है?

  1. \(\rm y = 2\tan \left ( x+C \right )\)
  2. \(\rm y = 2\tan \left ( 2x+C \right )\)
  3. \(\rm 2y = \tan \left ( 2x+C \right )\)
  4. \(\rm2 y = 2\tan \left ( x+C \right )\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm y = 2\tan \left ( 2x+C \right )\)

Solution of Differential Equations Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\rm \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx = \frac{1}{a}\tan ^{-1}\frac{x}{a}+ C\) 

गणना:

दिया गया है : \(\rm dy = \left ( 4 + y^{2} \right )dx\) 

⇒ \(\rm \frac{dy}{4+y^{2}}= dx\) 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

\(\rm \int \frac{dy}{2^{2}+y^{2}}= \int dx\)

⇒ \(\rm \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{y}{2}= x+c\) 

⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ 2c\)

⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ C\) [∵ 2c = C]

⇒ \(\rm \frac{y}{2}= \tan(2x+ C)\)

 \(\rm y = 2\tan \left ( 2x+C \right )\) 

सही विकल्प 2 है।

\(\rm {dx\over dt}= 3x+8\) का हल क्या होगा?

  1. \(\rm x ={ 1\over 3}e^{(t+c)}-{3\over 8}\)
  2. \(\rm x ={ 1\over 3}e^{3(t+c)}-{8\over 3}\)
  3. \(\rm x ={ 1\over 3}e^{(t+c)}+{3\over 8}\)
  4. \(\rm x ={ 1\over 3}e^{(t+c)}+{8\over 3} \)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm x ={ 1\over 3}e^{3(t+c)}-{8\over 3}\)

Solution of Differential Equations Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{dx\over ax}={1\over a}logx+c\)

यदि log x = z है, तो हम x = ez लिख सकते हैं

गणना:

\(\rm {dx\over dt}= 3x+8\)

उपरोक्त समीकरण को पुनःव्यवस्थित करने और समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm \int{dx\over 3x+8}=\int dt\)

\(\rm {1\over 3 }log({3x+8})=t+c\), c = समाकलन का स्थिरांक 

⇒ log(3x + 8) = 3(t + c)

⇒ 3x + 8 = e3(t+c) 

⇒ 3x = e3(t+c) - 8

∴ \(\rm x ={ 1\over 3}e^{3(t+c)}-{8\over 3}\)

अवकल समीकरण dy = \(\rm \sqrt{1-y^2}\) dx का हल क्या है?

  1. y = sin x + c
  2. y = sin (x + c)
  3. sin-1 (y + x) = c
  4. sin-1 (y + c) = x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : y = sin (x + c)

Solution of Differential Equations Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}= sin^{-1}\frac{x}{a}\) 

गणना:

दिया गया है: dy = \(\rm \sqrt{1-y^2}\) dx 

⇒ \(\rm \frac{dy}{\sqrt{1^{2}-y^{2}}} = dx\) 

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ \(\rm \int \frac{dy}{\sqrt{1^{2}-y^{2}}} =\int dx\) 

⇒ \(\rm sin^{-1}\left ( y \right )\) = x + c 

⇒ y = sin ( x + c ) . 

सही विकल्प 2 है। 

अवकल समीकरण \(\rm y \frac {dy}{dx} \) = x + 1 का समाधान _____ है। 

  1. y2 - x2 + 2x - c = 0
  2. y2 + x2 - 2x - c = 0
  3. y2 - x2 - 2x - c = 0
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : y2 - x2 - 2x - c = 0

Solution of Differential Equations Question 14 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया है कि: \(\rm y \frac {dy}{dx} = x + 1\)

⇒ ydy = (x + 1) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ ∫ ydy = ∫ (x + 1) dx

\(\rm \frac {y^2}{2} = \rm \frac {x^2}{2} + x + c \)

⇒ y 2 = x 2 + 2x + 2c

∴ y2 - x2 - 2x - c = 0

\(\rm \frac{dx}{dy} = (1+x^2)(1+y^2)\) का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। 

  1. \(\rm \tan^{-1}y = x+\frac{x^3}{3} + c\)
  2. \(\rm y+\frac{y^3}{3} = \tan^{-1}x + c\)
  3. \(\rm \tan^{-1}y =\tan^{-1}x+ c\)
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm y+\frac{y^3}{3} = \tan^{-1}x + c\)

Solution of Differential Equations Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + c\)

\(\rm \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)

 

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{dx}{dy} = (1+x^2)(1+y^2)\)

\(\rm \Rightarrow \frac{dx}{(1+x^2)} = (1+y^2)dy\)

\(\rm \Rightarrow (1+y^2)dy=\frac{dx}{(1+x^2)} \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \int (1+y^2)dy=\int \frac{dx}{(1+x^2)} \)

\(\rm \Rightarrow y+\frac{y^3}{3} = \tan^{-1}x + c\)

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