Singular Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Singular Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

$A=\left[\begin{array}{ccc}8& x& 0\\ 4& 0& 2\\ 12& 6& 0\end{array}\right]$ और A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है।

संकल्पना:

यदि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब |A| = 0

गणना:

$A=\left[\begin{array}{ccc}8& x& 0\\ 4& 0& 2\\ 12& 6& 0\end{array}\right]$

A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब |A| = 0

तब

8(0 - 12) - x(0 - 24) = 0

24x = 96

x = 4

अतः विकल्प (2) सही है।

दिया गया है:

आव्यूह $A=\left(\begin{array}{ccc}8& x& 0\\ 4& 0& 2\\ 12& 6& 0\end{array}\right)$ है,

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है, तब $det(A)=0$ होता है। 

गणना:

⇒ $det(A)=8(0-2\times 6)+x(12\times 2-4\times 0)+0(4\times 6-0\times 12)=0$

⇒ $det(A)=8(-12)+24x=0$

इसलिए   $x={\displaystyle \frac{96}{24}}$

$x=4$

अत: सही उत्तर 4 है।

दिया गया है:

आव्यूह $A=\left(\begin{array}{ccc}8& x& 0\\ 4& 0& 2\\ 12& 6& 0\end{array}\right)$ है,

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है, तब $det(A)=0$ होता है। 

गणना:

⇒ $det(A)=8(0-2\times 6)+x(12\times 2-4\times 0)+0(4\times 6-0\times 12)=0$

⇒ $det(A)=8(-12)+24x=0$

इसलिए   $x={\displaystyle \frac{96}{24}}$

$x=4$

अत: सही उत्तर 4 है।

संकल्पना:

सारणिकों के गुण द्वारा,

|A|² = |A||A| 

गणना

दिया है:

$Let|A{|}^2={\left|\begin{array}{ccc}{a}_{{}_1}& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|}^2$

∵ |A| = |A^T|

$\Rightarrow |A{|}^2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|$

$\Rightarrow |A{|}^2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$

पंक्ति और स्तंभ गुणन विधि का उपयोग करके दो सारणिकों को गुणा करने के बाद हम विकर्ण अवयवों को $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1,(i=1,2,3)$ के रूप में प्राप्त करेंगे और गैर-विकर्ण तत्वों को $a_i{a}_j+b_i{b}_j+c_i{c}_j=0,(i\ne j,i,j=1,2,3)$ के रूप में                                                          

$\Rightarrow |A{|}^2=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$

⇒ |A|2 = 1

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।​

संकल्पना:

यदि एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है तो इसका सारणिक शून्य है ($\left|A\right|=0$)

गणना:

दिया हुआ:

आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है

$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& \lambda +2\\ 2& 4& 8\\ 3& 5& 10\end{array}\right|=0$

1 (40 - 40) - 3(20 - 24) + (λ + 2)(10 - 12) = 0

-3(-4) + (λ + 2)(-2) = 0

12 - 2λ - 4 = 0

8 = 2λ 

∴ λ = 4

अवधारणा:

प्रिंसिपल डायगोनल (principle diagonal) के साथ तत्वों का योग = ट्रेस = ∑ आइगेन मान

आइगेन मानों का गुणनफल = सारणिक = det (A)

एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है जब आव्यूह का सारणिक 0 होता है।

विश्लेषण:

एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह दिया गया है, इसलिए सारणिक = 0

आइगेन मानों का गुणनफल = आव्यूह का सारणिक = 0

∴ आव्यूह का आइगेन मान शून्य है।

संकल्पना:

यदि एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है तो इसका सारणिक शून्य है ($\left|A\right|=0$)

गणना:

दिया हुआ:

आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है

$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& \lambda +2\\ 2& 4& 8\\ 3& 5& 10\end{array}\right|=0$

1 (40 - 40) - 3(20 - 24) + (λ + 2)(10 - 12) = 0

-3(-4) + (λ + 2)(-2) = 0

12 - 2λ - 4 = 0

8 = 2λ 

∴ λ = 4

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह: 

• एक वर्गाकार आव्यूह वह है जो प्रतीप्य नहीं है, उसे अव्युत्क्रमणीय आव्यूह कहा जाता है। 
• एक वर्गाकार आव्यूह अव्युत्क्रमणीय केवल तब होता है यदि इसकी सारणिक 0 होती है। 
• वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर।
• एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है यदि इसका det = 0 है
• यदि आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है तो आव्यूह को एक गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह कहा जाता है। अर्थात, det ≠ 0।
• det(AB) = det(A) × det(B)
• det(A) × det(B) = det(B) × det(A)
• $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathrm{A}}^{-1}\right)=\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{A}}\Rightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathrm{A}}^{-1}\right)\times \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\mathrm{A}\right)=1$

अवधारणा:

प्रिंसिपल डायगोनल (principle diagonal) के साथ तत्वों का योग = ट्रेस = ∑ आइगेन मान

आइगेन मानों का गुणनफल = सारणिक = det (A)

एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है जब आव्यूह का सारणिक 0 होता है।

विश्लेषण:

एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह दिया गया है, इसलिए सारणिक = 0

आइगेन मानों का गुणनफल = आव्यूह का सारणिक = 0

∴ आव्यूह का आइगेन मान शून्य है।

संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह: यदि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है, तो यह सारणिक = 0 है, और इसलिए व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

दिया है:

A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है

जैसा कि हम जानते है, AA-1 = I

$\Rightarrow \mathrm{A}\times \left(\frac{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{A}}{det\mathrm{A}}\right)=\mathrm{I}$

A (Adj A) = det A × I 

= 0

A (Adj A) एक शून्य आव्यूह है 

अगर A एक n x n व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो |Adj A|   |A|n-1 है|

दिया गया है:

आव्यूह $A=\left(\begin{array}{ccc}8& x& 0\\ 4& 0& 2\\ 12& 6& 0\end{array}\right)$ है,

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है, तब $det(A)=0$ होता है। 

गणना:

⇒ $det(A)=8(0-2\times 6)+x(12\times 2-4\times 0)+0(4\times 6-0\times 12)=0$

⇒ $det(A)=8(-12)+24x=0$

इसलिए   $x={\displaystyle \frac{96}{24}}$

$x=4$

अत: सही उत्तर 4 है।

संकल्पना:

सारणिकों के गुण द्वारा,

|A|² = |A||A| 

गणना

दिया है:

$Let|A{|}^2={\left|\begin{array}{ccc}{a}_{{}_1}& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|}^2$

∵ |A| = |A^T|

$\Rightarrow |A{|}^2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|$

$\Rightarrow |A{|}^2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$

पंक्ति और स्तंभ गुणन विधि का उपयोग करके दो सारणिकों को गुणा करने के बाद हम विकर्ण अवयवों को $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1,(i=1,2,3)$ के रूप में प्राप्त करेंगे और गैर-विकर्ण तत्वों को $a_i{a}_j+b_i{b}_j+c_i{c}_j=0,(i\ne j,i,j=1,2,3)$ के रूप में                                                          

$\Rightarrow |A{|}^2=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$

⇒ |A|2 = 1

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।​

संकल्पना: 

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह के गुणधर्म:

• अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का सारणिक शून्य होता है।
• यदि |A | की प्रत्येक पंक्ति में अवयवों का योग शून्य है तो [A] एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
• अव्युत्क्रमणीय आव्यूह में शून्य के रूप में कम से कम एक आइगन मान​​​​है।
• अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।
• दो अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का गुणनफल भी एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह होता है

​प्रयुक्त सूत्र:

यदि 1, ω, और ω² इकाई के घनमूल हैं, तब

1 + ω + ω² = 0 और ω³ = 1

गणना:

दिया गया है कि,

$A=\left[\begin{array}{ccc}{\omega }^6& {\omega }^8& {\omega }^4\\ {\omega }^5& {\omega }^7& {\omega }^9\\ {\omega }^4& {\omega }^5& {\omega }^6\end{array}\right]$

$\Rightarrow A=\left[\begin{array}{ccc}1& {\omega }^2& \omega \\ {\omega }^2& \omega & 1\\ \omega & {\omega }^2& 1\end{array}\right]$               (∵  ω3 = 1)

हम देख सकते हैं कि,

प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग = 1 + ω + ω2 = 0

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, यदि |A | की प्रत्येक पंक्ति में अवयवों का योग शून्य है तो [A] एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है।

साथ ही, हम जानते हैं कि अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

अत: केवल विकल्प 2 गलत है।