Pure Rolling MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Pure Rolling - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

कण के लिए,

Nsinθ + ma =ma'      (2)   जहाँ a बेलन का त्वरण है तथा a' बेलन के सापेक्ष कण का त्वरण है।

बेलन के लिए,

Nsinθ -f =Ma         (3)

f⋅ R = (MR2/2) ⋅ a / R

⇒ f = Ma/2

(3) से, हमें मिलता है

Nsinθ = 3Ma/2  (4)

छोटे θ के लिए,

(1) से, N = mg प्राप्त होता है
(4) से, Nθ = 3Ma/2 प्राप्त होता है

⇒ mgθ =3Ma/2

⇒ a = (2mgθ )/(3M)

(2) में रखने पर,

(3Ma)/2 +ma =ma'

a = ma' / ( m+ 3M/2)

⇒ y = m x / ( m+ 3M/2)

जहाँ m / (m+ 3M/2), m =2M के लिए सिलेंडर के केंद्र के दोलन का आयाम है

m=2M के लिए,

y= 0.4 x

कण के लिए,

Nsinθ + ma =ma'      (2)   जहाँ a बेलन का त्वरण है तथा a' बेलन के सापेक्ष कण का त्वरण है।

बेलन के लिए,

Nsinθ -f =Ma         (3)

f⋅ R = (MR2/2) ⋅ a / R

⇒ f = Ma/2

(3) से, हमें मिलता है

Nsinθ = 3Ma/2  (4)

छोटे θ के लिए,

(1) से, N = mg प्राप्त होता है
(4) से, Nθ = 3Ma/2 प्राप्त होता है

⇒ mgθ =3Ma/2

⇒ a = (2mgθ )/(3M)

(2) में रखने पर,

(3Ma)/2 +ma =ma'

a'=  (2g)/(3M) (m+ 3M/2) θ 

a' =g/R(1+ (2m)/(3M) x

m=M/2 और R=3/4 के लिए,

a'= gx

और ω =√g

इस प्रकार, β =1 है। 

अवधारणा:

लुढ़कने वाले ठोस बेलन का रेखीय त्वरण:

झुके हुए तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए, स्थानांतरीय और घूर्णी गति दोनों पर विचार करके त्वरण ज्ञात किया जा सकता है।

प्रयुक्त बल हैं:

तल के अनुदिश कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल: mgsin(θ)

घर्षण बल जो फिसलने को रोकता है, घूर्णी गति के लिए बल आघूर्ण प्रदान करता है।

लुढ़कने वाली वस्तु के रैखिक त्वरण a के लिए समीकरण है:

a = (gsin(θ)) / (1 + k² / r²), जहाँ:

g: गुरुत्वीय त्वरण (m/s²)

θ: तल का आनत कोण

k² / r²: वस्तु के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात (एक ठोस बेलन के लिए, k² / r² = 1/2)

गणना:

दिया गया है:

आनत कोण: θ = 45°

एक ठोस बेलन के लिए, जड़त्व आघूर्ण I = (1/2)mr² है, इसलिए k² / r² = 1/2.

रैखिक त्वरण का सूत्र है:

⇒ a = (gsin(θ)) / (1 + 1/2)

⇒ a = (gsin(45°)) / (1 + 1/2)

⇒ a = (g/√2) / (3/2)

⇒ a = (√2g) / 3

∴ बेलन के अक्ष का रैखिक त्वरण: √2g / 3 है। 

यह विकल्प 3 से मेल खाता है, जो सही उत्तर है।

परिणाम:

𝜃_max के लिए,

फ़ुटबॉल लुढ़कने वाला है, तब N₂ = 0 और

सभी बल (Mg और N₁) संपर्क बिंदु से गुजरना चाहिए

\(\therefore \cos \left(90^{\circ}-\theta_{\max }\right)=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}} \Rightarrow \sin \theta_{\max }=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\)

दिया गया है:

एक ठोस बेलन 30° के कोण पर आनत तल पर बिना फिसले लुढ़क रहा है। हमें बेलन का त्वरण ज्ञात करना है।

अवधारणा:

• बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस बेलन के लिए, त्वरण को स्थानांतरीय गति और घूर्णन गति दोनों को ध्यान में रखकर ज्ञात किया जा सकता है।
• गुरुत्वाकर्षण बल mg के दो घटक हैं: एक तल के अनुदिश (\(mg \sin \theta\)) और एक तल के लंबवत (\(mg \cos \theta\)).
• बिना फिसले लुढ़कने के लिए, रेखीय त्वरण a और कोणीय त्वरण α के बीच संबंध दिया गया है: \(a = r\alpha\), जहाँ r बेलन की त्रिज्या है।
• लुढ़कने वाली वस्तु के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए, कुल त्वरण है:
• \( a = \frac{g \sin \theta}{1 + k} \) जहाँ k ठोस बेलन के लिए जड़त्व आघूर्ण स्थिरांक है (\(k = \frac{1}{2}\) ठोस बेलन के लिए)।

गणना:

ठोस बेलन के लिए, \(k = \frac{1}{2}\), इसलिए त्वरण का सूत्र बन जाता है:

\(⇒ a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} . \\ ⇒ a = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} . \\ ⇒ a = \frac{2g \sin \theta}{3} .\)

\(\theta = 30^\circ \) के लिए, हम जानते हैं कि \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), इसलिए:

\(⇒ a = \frac{2g \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{g}{3} \).

इसलिए, त्वरण \(\frac{g}{3}\) है।

सही विकल्प 1) है।

अवधारणा:

• लोटनिक गति: लोटनिक गति निवल घूर्णन एवं निवल स्थानांतरण का संयोजन है

• निवल लोटनिक गति में संपर्क बिंदु (सबसे नीचे का बिंदु) निम्न वेग के साथ गति करता है। V_p = बिंदु P का वेग = V

• V_p = (V’ - ωR) = V

• V’ = V_p – ωR

जहां V’ = ठोस गोले का रैखिक वेग

• जब कोई निकाय फिसलन के बिना किसी तल पर लुढ़क रहा हो, तो तल के साथ निकाय का संपर्क बिन्दु गति नही करता है।
• शुद्ध लोटनिक गति में, निकाय और फर्श के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है, जिस पर यह लुढ़कता है (सर्पी नहीं)।

V_{bottom point} = V_linear + (- V_rotational) = 0

• इसलिए, शुद्ध लोटनिक में सबसे निम्नतम बिंदु के लिए शुद्ध रैखिक वेग शून्य है। इसलिए विकल्प 4 सही है।

नोट:

यदि कोई शुद्ध लोटनिक नहीं है, तो दो प्रकार की सर्पी होगी-

1. अग्र सर्पी

2. पश्च सर्पी

1. अग्र सर्पी

रैखिक वेग ˃रैखिक वेग (घूर्णन)

तो, V_net = V – (Rꙍ)_rotation

2. पश्च सर्पी

रैखिक वेग ˂ lरैखिक वेग (घूर्णन)

तो,V_net = (Rꙍ)_rotation – V 

अवधारणा:

• जब भी कोई खंड सतह पर लुढ़कता है तो सतह के संबंध में निकाय के संपर्क बिंदु के सापेक्ष कोई गति नहीं होती है। फिर इस प्रकार की गति को निवल लोटनिक गति या लोटनिक गति कहते हैं।

जहां V निकाय के द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग है, ω निकाय का कोणीय वेग है और r त्रिज्या है।

निवल लोटनिक गति: V = ω r

व्याख्या:

दिया गया है:

कोणीय वेग (ω) = 12 rad/s

त्रिज्या (r) = 2 m

जैसा कि वलय निवल लोटनिक गति में है, इसलिए V = ω r = 12 × 2 = 24 m/s

अवधारणा:

गतिज ऊर्जा (K.E): 

• निकाय द्वारा अपनी गति के कारण धारण की जाने वाली ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।
• गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति है

\(KE = \frac{1}{2}m{v^2}\)

जहां m =निकाय का द्रव्यमान और v = निकाय

घूर्णी गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा, जो निकाय में इसकी घूर्णी गति के कारण होती हैं, घूर्णी गतिज ऊर्जा कहलाती है।
• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप घूमने वाले निकाय मे गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय अपने स्थान पर रहता है।
• गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

\(KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

गणना:

• L दूरी तक आनत पर बिना फिसलन के लुढ़कन मे, लुढ़कन निकाय की ऊंचाई 'h' तक बदल जाती है।
•  इसलिए  गुरुत्व स्थितिज ऊर्जा में mgh का परिवर्तन होता है।

⇒ P.E = K.E_translation + KE_rotational

\(\Rightarrow mgh = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}I{\omega ^2} = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}I{\left( {\frac{v}{r}} \right)^2}\)

\(\Rightarrow 2mgh = m{v^2}\left( {1 + \frac{I}{{m{r^2}}}} \right)\)

\( ⇒ v = \sqrt {\frac{{2gh}}{{\left( {1 + \frac{I}{{m{r^2}}}} \right)}}}\)

जैसा कि हम जानते हैं कि ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण है-

\(\Rightarrow I = \frac{2}{5}m{r^2}\)

∴ ठोस गोले का वेग है-

\(\Rightarrow v_{solid sphere} = \sqrt {\frac{10}{7}gh}\)         ------------ (1)

खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण-

\(\Rightarrow I = \frac{2}{3}m{r^2}\)

∴ खोखले गोले का वेग है

\(\Rightarrow v_{hollow sphere} = \sqrt {\frac{6}{5}gh}\)         ------------ (2)

समीकरण 1 और 2 को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow \frac{{{v_{solid}}}}{{{v_{hollow}}}} = \sqrt {\frac{{25}}{{21}}}\)

अवधारणा:

• लोटनिक एक प्रकार की गति है जो सतह के संबंध में वस्तु की शुद्ध घूर्णन गति और स्थानांतरण गति को जोड़ती है।
• लोटनिक गति में एक साथ दो गतियाँ होती हैं:
  • स्थानांतरण गति
  • घूर्णी गति

व्याख्या:

• लोटनिक गति को शुद्ध घूर्णी और शुद्ध स्थानांतरण के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
• मेज पर लुढ़कती बिलियर्ड बॉल शुद्ध लोटनिक गति का एक उदाहरण है।
• अतः विकल्प 1 सही है।

v_rot = rω  (ω को कोणीय वेग कहा जाता है)

• इसलिए बिलियर्ड में स्थानांतरण गति और घूर्णी गति दोनों होती हैं, इसलिए वे लोटनिक गति प्रदर्शित करेंगे।

अवधारणा:

• लुढ़कनी घर्षण: जब एक पहिया (डिस्क या वलय), गोला, या एक बेलन सतह पर लुढ़कता है, इस समय कार्यरत बल लुढ़कनी घर्षण कहलाता है।
• रोलिंग घर्षण लम्बवत प्रतिगमन (R) के समान आनुपातिक है और वेलित बेलन या पहिये की त्रिज्या (r) के विलोम आनुपातिक है।

\({F_{rolling}} = \frac{{{\mu _r}R}}{r}\)

जहां μ_r =लुढ़कनी घर्षण का गुणांक

व्याख्या:

• शुद्ध लुढ़कन द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
• यह इसलिए है क्योंकि निकाय और सतह के संपर्क बिंदु के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है अर्थात निकाय के संपर्क बिंदु का विस्थापन शून्य है।
• जैसा कि हम जानते हैं कि W = बल × विस्थापन = Fs

क्योंकि s = 0

∴ W = 0

•      केवल विसर्पण के साथ लुढ़कन के मामले में, घर्षण कार्य करता है।

विकल्प (3)

अवधारणा:

• वेल्लन एक प्रकार की गति है जो सतह के सापेक्ष किसी निकाय की शुद्ध घूर्णन गति और स्थानांतरण गति का संयोजन करती है।
• वेल्लन गति में एक साथ दो गतियाँ होती हैं:
  • शुद्ध स्थानांतरण गति
  • शुद्ध घूर्णी गति

त्वरण जिसके साथ निकाय लुढ़कता है (a) =\(\frac{gsinθ}{1+\frac{I}{MR^2}}\) 

जहां g गुरुत्वीय त्वरण है, M पिंड का द्रव्यमान है और R त्रिज्या है, और θ आनत कोण है।

व्याख्या:

• मान लीजिये एक ठोस बेलन, ठोस गोला, और खोखला गोला, द्रव्यमान M और त्रिज्या R के साथ एक तल पर लुढक रहे है जो क्षैतिज पर कोण θ से झुका हुआ है।

त्वरण जिसके साथ निकाय लुढ़कता है

a = \(\frac{gsinθ}{1+\frac{I}{MR^2}}\)

उपरोक्त से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्वरण अधिकतम होता है यदि I (जड़त्व आघूर्ण) न्यूनतम होगा।

ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण  I = \(\frac{2}{5}MR^2\)

ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण  I = \(\frac{1}{2}MR^2\)

एक खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण = \(\frac{2}{3}MR^2\)

• इसलिए ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण अन्य की तुलना में कम होता है इसलिए यह पिंड अधिकतम त्वरण प्राप्त करेगा।
• अतः विकल्प 3 सही है।

Additional Information

• ऐसा करने के लिए पर्याप्त घर्षण होने पर ठोस बेलन लुढ़क जाएगा।
• यदि हम बेलन और तल के बीच घर्षण के गुणांक को तब तक कम करते हैं जब तक कि बेलन फिसलना शुरू न हो जाए (न कि लुढ़कना),
•      तब फिसलना शुरू हो जाएगा,

f = μN 

• चूंकि आनत तल के लिए लम्बवत दिशा में कोई गति नहीं है।

N = Mgcosθ

• न्यूटन के द्वितीय नियम को द्रव्यमान केंद्र की रैखिक गति पर लागू करने पर, बेलन पर आनत तल को लुढ़कने वाला कुल बल इस प्रकार है

F = Ma = Mg sinθ - f ...............(i)

• यह केवल घर्षण बल है जो बेलन बलाघूर्ण 𝜏 लगाता है और इसे कोणीय त्वरण के साथ घुमाता है। यह संपर्क बिंदु P पर स्पर्शरेखा रूप से कार्य करता है और इसका उत्तोलक भुजा R के बराबर होता है।

𝜏 = बल× उत्तोलक भुजा = f. R............(ii)

𝜏 = M.I  ×  कोणीय त्वरण = Iα ..............(iii)

 f R = Iα समीकरण (ii) और (iii) से

f = \(\frac{Iα}{R^2}\)

समीकरण (i) में f का मान रखने पर

Ma = Mg sinθ - \(\frac{Iα}{R^2}\)

a = g sinθ  - \(\frac{Iα}{MR^2}\)

a + \(\frac{Iα}{MR^2}\)= g sinθ

a =  \(\frac{gsinθ}{1+\frac{I}{MR^2}}\)

अवधारणा:

• कोणीय त्वरण (α): किसी कण के कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को उसका कोणीय त्वरण कहा जाता है। यदि Δ ω समय Δ t में कोणीय वेग में परिवर्तन है, तो औसत कोणीय त्वरण है:

\(\alpha = \frac{{{\rm{\Delta }}\omega }}{{{\rm{\Delta }}t}}or\frac{{d\omega }}{{dt}}\)

इसी तरह,

किसी कण के रैखिक वेग के परिवर्तन की दर को उसका रैखिक त्वरण कहा जाता है। यदि Δ t समय में Δv कोणीय वेग में परिवर्तन है, तो औसत कोणीय त्वरण है:

\(\alpha = \frac{{{\rm{\Delta }}\omega }}{{{\rm{\Delta }}t}}or\frac{{d\omega }}{{dt}}\)

अब रैखिक और कोणीय वेग के संबंध के अनुसार, v = ω × r 

उपरोक्त आकृति में कोणीय वेग और कोणीय त्वरण की दिशा एक ही दिशा में है

इसलिए दोनों तरफ समीकरणों को अवकलित करने पर हमे प्राप्त होगा-

\(\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d\omega }}{{dt}} \times r + \omega \times \frac{{dr}}{{dt}}\)

यदि त्रिज्या को स्थिर रखा जाता है, \(\frac{{dr}}{{dt}}\; = \;0\)

इस प्रकार, a = α × r + 0

∴ a = α × r

गणना:

दिया हुआ है कि,

कोणीय त्वरण, α = 10 rad/s²

गोले की त्रिज्या, r = 10 cm = 10/100 =0.1 m

केंद्र से दूरी, r’ = r/3 = 0.1/3

इसलिए, कोणीय और रैखिक त्वरण के संबंध के अनुसार

 त्वरण = केंद्र से दूरी × कोणीय त्वरण

अर्थात \(a = \alpha \times r'\)

∴ \(a = \frac{{0.1}}{3} \times 10 = \frac{1}{3}\;m/{s^2}\)

विकल्प(3)

अवधारणा :

• वेल्लन एक प्रकार की गति है जो सतह के संबंध में उस वस्तु की शुद्ध घूर्णन गति और स्थानांतरण गति को जोड़ती है।
• वेल्लन गति में एक साथ दो गतियाँ होती हैं:
  • शुद्ध स्थानांतरण गति
  • शुद्ध घूर्णी गति

व्याख्या :

• वेल्लन गति को शुद्ध घूर्णन और शुद्ध स्थानांतरण के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
• सड़क पर चलने वाले सभी वाहनों के पहिये में एक वेल्लन गति होती है। त्रिज्या R की एक डिस्क पर विचार करें, जो बिना फिसले एक समतल सतह पर वेल्लन करती है। इसका मतलब यह है कि किसी भी समय डिस्क का निचला भाग जो सतह के संपर्क में होता है, विरामावस्था में होता है

Additional Information

• रेखीय गति को सरल रेखीय गति के रूप में भी जाना जाता है, जो एक निकाय को सीधे रास्ते में ले जाने की प्रवृत्ति है, उदाहरण के लिए जब एक लड़की साइकिल की सवारी करती है।

.

• वृत्तीय गति एक निकाय को एक वृत्ताकार पथ में ले जाने की प्रवृत्ति है जिसे वृत्तीय गति कहा जाता है, वृत्तीय गति का उदाहरण निम्न है:

जब एक निकाय एक वृत्ताकार पथ में स्थिर गति में है, तो इसका त्वरण इस प्रकार से दिया गया है :

\(a = \frac{{{v^2}}}{R}\)

अब हमारे पास है, \({a_1} = \frac{{{v^2}}}{R}\)

जब गति को दोगुना कर दिया जाता है, तो त्वरण इस प्रकार से दिया जाएगा :

\({a_2} = \frac{{{{\left( {2v} \right)}^2}}}{R} = \frac{{4{v^2}}}{R}\)

अब, अंतिम और शुरुआती त्वरण का अनुपात इस प्रकार होगा

\(\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} = \frac{{\frac{{4{v^2}}}{R}}}{{\frac{{{v^2}}}{R}}}\)

अतः त्वरण का अनुपात

संकल्पना -

• किसी सतह का वह गुण जो दो सतहों के बीच सापेक्षिक गति का विरोध करता है, घर्षण कहलाता है।

घर्षण (f) = μ N

जहाँ μ घर्षण का गुणांक है और N लंब बल है।

घर्षण के तीन प्रकार होते हैं:

1. स्थैतिक घर्षण:

• विरामावस्था पर वस्तु और एक खुरदरी सतह जिस पर इसे रखा जाता है इनके बीच मौजूद घर्षण, इस तरह के घर्षण को स्थैतिक घर्षण कहा जाता है।
• इस घर्षण के कारण घर्षण का गुणांक स्थैतिक घर्षण गुणांक कहलाता है।

2. गतिज घर्षण:

• दो सतहों के बीच घर्षण गतिज घर्षण कहा जाता है जब सतहों के बीच सापेक्षिक गति होती है।

3. घूर्णी घर्षण:

• जब एक ब्लॉक सतह पर रोल करता है तो कार्य करने वाला घर्षण घूर्णी घर्षण कहलाता है।

वर्णन -

• जब एक ब्लॉक किसी सतह पर रोल करता है, तो घर्षण को पर्याप्त होना चाहिए जिससे ब्लॉक सतह पर रोल कर सकता है। यही कारण है कि घूर्णी घर्षण स्थैतिक घर्षण से कम होता है। अतः कथन 1 सही है।

घर्षण (f) = μ N

• उपरोक्त दिए गए सूत्र के अनुसार परिसीमा घर्षण ब्लॉक पर लंब बल के समानुपाती होता है। अतः कथन 2 सही है।
• घर्षण की परिभाषा के अनुसार यह दो सतहों के बीच सापेक्षिक गति का विरोध करता है। अतः कथन 3 सही है।
• चूँकि घर्षण का गुणांक एक स्थिर पद है जो केवल सतह पर निर्भर करता है यह एक आयामहीन राशि है। इसलिए कथन 4 गलत है। अतः विकल्प 4 सही है।