Properties of Fourier Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Fourier Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अर्ध-तरंग सम सममिति:

\(f\left( t \right) = f\left( {t \pm \frac{T}{2}} \right)\)

जहां T आवधिक तरंग की अवधि है

अर्ध-तरंग विषम सममिति:

\(f\left( t \right) = \; - f\left( {t \pm \frac{T}{2}} \right)\)

इसलिए दिए गए आवर्त फलन में अर्ध-तरंग सममिति होनी चाहिए।

सम फलन सममिति

f(t) = f(-t)

चित्रमय रूप से, तरंगरूप ऊर्ध्वाधर अक्ष (आश्रित अक्ष) के बारे में सममित है जैसा कि दिखाया गया है:

विषम फलन सममिति:

f(t) = -f(-t)

या

f(-t) = -f(t)

ग्राफिक रूप से, तरंग मूल के बारे में सममित है।

Important Points

• सममिति वाले संकेतों में इसके फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व में कोसाइन शब्द होते हैं। इसमें D.C पद हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन साइन पद हमेशा शून्य रहेगा।
• विषम फलन सममिति में केवल साइन पद होते हैं
• Half-wave symmetry contains odd harmonics only.

दिया गया सिग्नल

\(\rm x(t)=\left\{\begin{matrix}1,&-1

h(t) = δ(t + 1) + 2δ(t + 2)

आवेग के कनवल्शन गुण के अनुसार

x(t) ⋆ δ(t - t₀) = x(t - t₀)

∴ x(t) ⋆ h(t) = x(t) ⋆ [δ(t + 1) + 2δ(t + 2)]

= x(t + 1) + 2x(t + 2)

इसलिए, सही विकल्प (3) है

स्पष्टीकरण:

x(t) = \(\begin{cases} 1, \frac{-T}{4} < t \leq \frac{3T}{4}& \quad \\ -1, \frac{3T}{4} < t < \frac{7T}{4} & \quad \\ -x(t +T) \end{cases} \)

इसलिए x(t) का आलेख नीचे दिए गए अनुसार होगा,

अतः x(t) का आवर्त है,

T₀ = \({7T\over 4}-(-\frac T4)=\frac{8T}{4}\) = 2T

तो, मूलभूत कोणीय आवृत्ति,

ω₀ = \({2\pi\over T_0}={2\pi\over 2T}={\pi\over T}\)....(i)

अब, 

C₁ = k = 1 के लिए घातांकीय शृंखला गुणांक,

     = \({1\over T_0}\displaystyle\int_{T_0}x(t)e^{-jω_0t}dt\)

    = \({T\over \pi}\left[\displaystyle\int_{-\frac T4}^{{3T\over 4}}e^{-jω_0t}dt-\displaystyle\int_{\frac {3T}4}^{{7T\over 4}}e^{-jω_0t}dt\right]\)

   = \({T\over \pi}\left\{ \left[{e^{-jω_0t}\over -jω_0}\right]_{-\frac T4}^{{3T\over 4}}-\left[{e^{-jω_0t}\over -jω_0}\right]_{\frac {3T}4}^{{7T\over 4}}\right\}\)         

  = \({-T\over \pi j ω_0}\left\{ e^{-{jω_03T\over 4}}-e^{{jω_0T\over 4}}-e^{-{jω_07T\over 4}}+e^{-{jω_03T\over 4}}\right\}\)

  = \(-{1\over 2\pi j}\left\{e^{-{3\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{-{7\pi j\over4}}+e^{-{3\pi j\over4}}\right\}\) ((i) के प्रयोग से)

  = \(-{1\over 2\pi j}\left\{-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}\right\}\) 

   = \({2\over \pi j}e^{{\pi j\over4}}\) 

  = \({-2j\over \pi }(\cos{\pi\over 4}+j \sin{\pi\over 4})\) (as j² =- 1)

  = \({-2j\over \pi }({1\over \sqrt2}+j {1\over \sqrt2})\)

C1 = \({2\over \pi\sqrt2 }-j {2\over\pi \sqrt2}\)

उपरोक्त की C1 = \({a_1\over 2}+{b_1\over 2}\) से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

a₁ = \(4\over \pi\sqrt2\) , b₁ = - \(4\over \pi\sqrt2\)

अतः मूलभूत फूरियर पद 

= a₁cos(ω₀t) + b1sin(ω0t)

= \({4\over \pi\sqrt2}\cos({\pi t\over T})-{4\over \pi\sqrt2}\sin({\pi t\over T})\)

= \({4\over \pi}(\sin{\pi\over 4}\cos({\pi t\over T})-\cos {\pi \over 4}\sin({\pi t\over T}))\)

= \(\frac{4}{\pi} \sin (\frac{\pi t}{T} - \frac{\pi}{4})\) (चूँकि sin a cos b - cos a sin b = sin(a - b))

विकल्प (2) सत्य है। 

सिग्नल इस प्रकार दिया गया है:

\(y\left( t \right)\; = \;\frac{{{d^2}x\left( t \right)}}{{d{t^2}}}\)

⇒ y(jω) = jω(jω X(ω))

= - ω2 X(ω)

परसेवल के संबंध के अनुसार

\(\begin{array}{l} \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\left( {y\left( t \right)} \right)^2}dt\; = \;\frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty |(y\left( \omega \right){|^2}d\omega \\ = \;\frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\left| {{\omega ^2}X\left( \omega \right)} \right|^2}d\omega \\ = \;\frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {\omega ^4}d\omega \\ = \;\left. {\frac{1}{{2\pi }}\frac{{{\omega ^5}}}{5}} \right|_{ - 1}^1\\ = \;\frac{1}{{2\pi }} \times \frac{2}{5}\\ \end{array}\)

= 1/5π

= 0.0636

अवधारणा:

संकेत की ऊर्जा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(E={\int \limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt}\)

एक ऊर्जा संकेत के लिए शून्य औसत शक्ति की आवश्यकता होती है।

पारसेवल की प्रमेय

यह प्रमेय बताती है कि वर्णक्रमीय घनत्व के अंतर्गत क्षेत्र संकेत की ऊर्जा/शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है।

\({\int \limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt} = \frac{1}{2\pi} \int \limits_{-\infty}^\infty |X(ω)|^2 dω \)

\({\int \limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt} = \int \limits_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 df \)

RHS शब्द को ESD या PSD कहा जाता है।

ESD आवृत्ति पर संकेत ऊर्जा के वितरण को मापता है।

X(ω), X(f): संकेत का फूरियर रूपांतरण।

गणना:

दिया गया है कि ऊर्जा संकेत में s(f) = 19 है।

ESD होगा:

\(ESD = \int \limits_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 df = 19^2 = 361\)

अतिरिक्त अवधारणा:

पारसेवल की प्रमेय

मान लीजिए Cn संकेत x(t) के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक है।

यह प्रमेय बताती है कि आवधिक संकेत में शक्ति प्रत्येक हार्मोनिक के वर्ग आयामों के योग के बराबर होती है।

\(\frac{1}{T} \int \limits_{0}^T |x(t)|^2 dt = \sum \limits_{n= - \infty}^\infty|C_n|^2\)

पारसेवल की प्रमेय:

निरंतर-समय, आवर्ती संकेत के लिए, ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

\(\frac{1}{T}\int\limits_T {{{\left| {x(t)} \right|}^2}dt = {{\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\left| {{a_k}} \right|} }^2}} \)

जहां ak, x(t) का फूरियर श्रृंखला गुणांक है, और T संकेत की अवधि है।

आवर्ती संकेत x(t) की एक अवधि में औसत शक्ति के लिए, हम लिखते हैं:

\(\frac{1}{T}\int\limits_T {{{\left| {{a_k}{e^{jk{\omega _o}t}}} \right|}^2}dt = \frac{1}{T}{{\int\limits_T {\left| {{a_k}} \right|} }^2}} dt = {\left| {{a_k}} \right|^2}\)

∴ \({\left| {{a_k}} \right|^2}\), x(t) के kth हार्मोनिक में औसत शक्ति है।

∴ पारसेवल के संबंध में कहा गया है कि एक आवर्ती संकेत में कुल औसत शक्ति अपने सभी हार्मोनिक घटकों में औसत शक्तियों के योग के बराबर होती है।

अर्ध-तरंग सम सममिति:

\(f\left( t \right) = f\left( {t \pm \frac{T}{2}} \right)\)

जहां T आवधिक तरंग की अवधि है

अर्ध-तरंग विषम सममिति:

\(f\left( t \right) = \; - f\left( {t \pm \frac{T}{2}} \right)\)

इसलिए दिए गए आवर्त फलन में अर्ध-तरंग सममिति होनी चाहिए।

सम फलन सममिति

f(t) = f(-t)

चित्रमय रूप से, तरंगरूप ऊर्ध्वाधर अक्ष (आश्रित अक्ष) के बारे में सममित है जैसा कि दिखाया गया है:

विषम फलन सममिति:

f(t) = -f(-t)

या

f(-t) = -f(t)

ग्राफिक रूप से, तरंग मूल के बारे में सममित है।

Important Points

• सममिति वाले संकेतों में इसके फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व में कोसाइन शब्द होते हैं। इसमें D.C पद हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन साइन पद हमेशा शून्य रहेगा।
• विषम फलन सममिति में केवल साइन पद होते हैं
• Half-wave symmetry contains odd harmonics only.

पारसेवल की प्रमेय:

निरंतर-समय, आवधिक संकेत के लिए, ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

\(\frac{1}{T}\int\limits_T {{{\left| {x(t)} \right|}^2}dt = {{\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\left| {{a_k}} \right|} }^2}} \)

जहाँ ak, x(t) का फूरियर श्रंखला गुणांक है, और T संकेत की अवधि है।

आवधिक संकेत x(t) की एक अवधि में औसत शक्ति के लिए, हम लिखते हैं:

\(\frac{1}{T}\int\limits_T {{{\left| {{a_k}{e^{jk{\omega _o}t}}} \right|}^2}dt = \frac{1}{T}{{\int\limits_T {\left| {{a_k}} \right|} }^2}} dt = {\left| {{a_k}} \right|^2}\)

∴ \({\left| {{a_k}} \right|^2}\) x(t) के k^वें हार्मोनिक में औसत शक्ति है।

∴ पारसेवल के संबंध में कहा गया है कि एक आवधिक संकेत में कुल औसत शक्ति अपने सभी हार्मोनिक घटकों में औसत शक्तियों के योग के बराबर होती है।

Important Points

किरचॉफ का प्रथम नियम :

इस नियम को जंक्शन नियम या धारा नियम (KCL) के रूप में भी जाना जाता है। इसके अनुसार एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य अर्थात् Σ i = 0 होता है।  

• एक परिपथ में किसी जंक्शन पर जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए अर्थात् i1 + i3 = i2 + i4
• यह नियम साधारण रूप से "आवेश के संरक्षण" का एक कथन है चूँकि यदि जंक्शन पर पहुंचने वाली धारा जंक्शन से निकलने वाली धारा के बराबर नहीं है, तो आवेश संरक्षित नहीं होगा। 

किरचॉफ का दूसरा नियम :

• इस नियम को लूप नियम या वोल्टेज नियम (KVL) के रूप में भी जाना जाता है और इसके अनुसार "एक जालिका (संवृत लूप) के पूर्ण चक्रमण में विभव में परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य है, अर्थात = Σ V = 0
• यह नियम "ऊर्जा के संरक्षण" का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि यदि एक संवृत लूप के आसपास विभव परिवर्तनों का योग शून्य नहीं है तो एक लूप के चारों ओर बार-बार आवेशित करके असीमित ऊर्जा प्राप्त की जा सकती है।
• किरचॉफ का लूप नियम भी विद्युत क्षेत्र की संरक्षण प्रकृति का अनुसरण करता है।
• यदि एक परिपथ में n जालिका हैं, तो लूप नियम के अनुसार स्वतंत्र समीकरणों की संख्या (n - 1) होगी

मैक्सवेल का प्रमेय:

मैक्सवेल के समीकरण चार अवकल समीकरणों का एक समूह है जो शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व का वर्णन करने के लिए सैद्धांतिक आधार बनाते हैं।

समय-भिन्न क्षेत्रों के लिए मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार हैं:

फूरियर रूपांतरण:

फूरियर रूपांतरण निरंतर-समय के साथ-साथ असतत-समय संकेतों के विश्लेषण के लिए आवृत्ति-डोमेन विधियों की नींव बनाता है।

निरंतर समय संकेत के लिए:

\(X(j\omega ) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t){e^{ - j\omega t}}} dt\)

असतत समय संकेतों के लिए:

\(X\left( {{e^{j\omega }}} \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x(n){e^{ - j\omega n}}} \)

दिया गया सिग्नल

\(\rm x(t)=\left\{\begin{matrix}1,&-1

h(t) = δ(t + 1) + 2δ(t + 2)

आवेग के कनवल्शन गुण के अनुसार

x(t) ⋆ δ(t - t₀) = x(t - t₀)

∴ x(t) ⋆ h(t) = x(t) ⋆ [δ(t + 1) + 2δ(t + 2)]

= x(t + 1) + 2x(t + 2)

इसलिए, सही विकल्प (3) है

अर्ध-तरंग समरूपता:

एक फलन को अर्ध-तरंग समरूपता कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है::

\(f\left( t \right) = - f\left( {t - \frac{T}{2}} \right)\)

प्रेक्षण:

a0 = 0

सम ‘n’ के लिए, an = bn = 0

\({a_n} = \frac{4}{T}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{T}{2}} f\left( t \right)cosn{\omega _0}t\;dt\)

\({b_n} = \frac{4}{T}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{T}{2}} f\left( t \right)sin{\omega _0}t\;dt\)

निष्कर्ष: अर्ध-तरंग समरूपता के लिए, केवल विषम संनादी उपस्थित हैं और शेष सभी फूरिये गुणांक शून्य होंगे।

x(t – t0) का आवर्त काल T भी होगा।

माना x(t – t0) का फूरियर श्रेणी गुणांक x1(k) है

\( {X_1}\left[ k \right] = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_T x\left( {t - {t_0}} \right){e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

\(= \frac{{{e^{ - je\omega {t_0}}}}}{T}\mathop \smallint \nolimits^ x\left( τ \right){e^{ - jk{\omega _0}τ }}dτ \)

 t - t0 = τ लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

\( = {e^{-{\rm{jk\omega }}{{\rm{t}}_0}}}X\left[ k \right] \)

अब, यदि x(t + t0) का फूरियर श्रेणी गुणांक X2 [k] हो, तो हम लिख सकते हैं:

\({X_2}\left[ k \right] = {e^{jk\omega {t_0}}}X\left[ k \right]\)

अब X1 [k] + X2 [k]

\(= \left( {{e^{ - jk\omega {t_0}}} + {e^{ - jk\omega {t_0}}}} \right)X\left[ k \right]\)

\(= 2\cos k\omega {t_0}X\left[ k \right]\)

\(= 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}k{t_0}} \right)X\left[ k \right]\)

अवधारणा:

संकेत की ऊर्जा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(E={\int \limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt}\)

एक ऊर्जा संकेत के लिए शून्य औसत शक्ति की आवश्यकता होती है।

पारसेवल की प्रमेय

यह प्रमेय बताती है कि वर्णक्रमीय घनत्व के अंतर्गत क्षेत्र संकेत की ऊर्जा/शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है।

\({\int \limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt} = \frac{1}{2\pi} \int \limits_{-\infty}^\infty |X(ω)|^2 dω \)

\({\int \limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt} = \int \limits_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 df \)

RHS शब्द को ESD या PSD कहा जाता है।

ESD आवृत्ति पर संकेत ऊर्जा के वितरण को मापता है।

X(ω), X(f): संकेत का फूरियर रूपांतरण।

गणना:

दिया गया है कि ऊर्जा संकेत में s(f) = 19 है।

ESD होगा:

\(ESD = \int \limits_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 df = 19^2 = 361\)

अतिरिक्त अवधारणा:

पारसेवल की प्रमेय

मान लीजिए Cn संकेत x(t) के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक है।

यह प्रमेय बताती है कि आवधिक संकेत में शक्ति प्रत्येक हार्मोनिक के वर्ग आयामों के योग के बराबर होती है।

\(\frac{1}{T} \int \limits_{0}^T |x(t)|^2 dt = \sum \limits_{n= - \infty}^\infty|C_n|^2\)

संकल्पना:

हिल्बर्ट ट्रांसफॉमर इनपुट सिग्नल को निम्न रूप में परिवर्तित करती है:

1) प्रणाली के माध्यम से गुजरने पर भी x(t) में मौजूद आवृत्ति घटक का परिमाण अपरिवर्तित ही रहता है।

2) धनात्मक आवृत्ति घटकों के चरण को -π/2 से स्थानांतरित किया जाता है, और ऋणात्मक आवृत्ति घटकों के चरण को +π/2 से स्थानांतरित किया जाता है।

अनुप्रयोग:

दिया गया है, x(t) = cos (2πf_ot)

जब दिया गया सिग्नल हिल्बर्ट ट्रांसफार्मर के माध्यम से गुजरता है, तो आउटपुट निम्न है,

फूरियर श्रेणी केवल आवर्तिक सिग्नलों के लिए मौजूद होती है।

किसी सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी होना आवश्यक है, “ऑर्थोगोनालिटी का सिद्धांत” का पालन करना आवश्यक है, यह बताता है कि सिग्नल x(t) और g(t) ऑर्थोगोनल हैं यदि \(\mathop \smallint \limits_{{t_1}}^{{t_2}} x\left( t \right)g\left( t \right) = 0\)

समय प्रवर्धन फूरियर श्रृंखला गुणांक को प्रभावी नहीं करेगा।

x (0.5t) → C_k

\(x\left( {t - 0.5} \right) \to {e^{ - j{\omega _0}0.5k}}{C_k}\)

x (2t) → C_k

∴ दिए गए सिग्नल का फूरियर श्रृंखला गुणांक निम्न है