Orthogonal Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Orthogonal Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह A को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि AA' = A'A = I जहाँ I इकाई आव्यूह है और A' A का परिवर्त है।

व्याख्या:

A एक 3 x 3 ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

इसलिए, AA' = I

(1): ∴ |AA'| = |I|

⇒ |A||A'| = 1 (चूँकि |AB| = |A||B|)

⇒ |A||A| = 1 (चूँकि |A'| = |A|)

⇒ |A|² = 1 ⇒ |A| = ± 1

इसलिए, A का सारणिक एक परिमेय संख्या है।

(1) सही है

(2): d(Ax, Ay) = = = = = d(x, y)

(2) सही है

(3): प्रति उदाहरण: A = \(\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\) एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक नहीं हैं।

(3) गलत है

(4): प्रति उदाहरण: A = \(\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\) एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A के सभी आइगेनमान ± i हैं जो वास्तविक नहीं हैं।

(4) गलत है

प्रयुक्त संकल्पना​:-

जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-

XY = YX = I

तब,

X = Y^-1

व्याख्या:-

दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि

A2 = I और B2 = I,  A-1 = A and B-1​ = B 

यहाँ, AB को B⁻¹A⁻¹ से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,

⇒ ABB⁻¹A⁻¹ = AB × B−1A−1

⇒ ABB−1A−1 = A(BB⁻¹)A⁻¹

⇒ ABB−1A−1 = AIA⁻¹            [ ∵ X(X⁻¹) = (X⁻¹)X = I ]

⇒ ABB−1A−1 = AA−1

⇒ ABB−1A−1 = I        ........(1)

अब, B⁻¹ A⁻¹ को AB से गुणा कीजिए,

⇒ B⁻¹ A⁻¹ AB = B−1A−1 × AB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹IB

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹B

⇒ B−1 A−1 AB = I       ........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

⇒ AB(B⁻¹A⁻¹) = (B⁻¹A⁻¹)AB = I

⇒ (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹= BA

इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA

इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।

अतः सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

लांबिक आव्यूह: 

जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और A^T या A', A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

दिया गया है: 

Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।

तब परिभाषा के अनुसार;

QQT = I

दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर

(Q- 1 Q)QT = Q- 1I

IQT = Q- 1

QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।

AA^T = A^TA = I

गणना:

दिया गया है:

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\)

\({M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right]\)

\(M{M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right] \)

\(MM^T=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right]\)

लांबिक आव्यूह के लिए, MM^T = I

\( ⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }} = 0\)

⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]

a² + b² = 1

\(⇒ b = \pm \sqrt {1 - {a^2}}\)

∴ \(b = \sqrt {1 - {a^2}}\) हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]

⇒ (a + b)² - 2ab = 1

\(⇒ ab = - \frac{1}{2}\) [∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]

संबंध का उपयोग करके,

a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है

\( ⇒ a\left( { - a} \right) = - \frac{1}{2} \)

\(⇒ a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

के लिए \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {I_2}\)

के लिए \(a = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] \ne {I_2}\)

इसलिए, M² = I₂ हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]

अवधारणा:

आव्यूह A = ǀ A¹²¹ - A¹²⁰ ǀ

A = ǀ A¹²⁰ (A – I) ǀ

अतः A = ǀ A¹²⁰ǀ ǀ A – I ǀ

गणना:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\)

अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right] - {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

अब (A – I) का सारणिक,

ǀ A – I ǀ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

ǀ A – I ǀ = 0              (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)

इसलिए, |A121 - A120| =  A120|A – I|  = 0

अवधारणा:

लांबिक आव्यूह के लिए: A × A^T = I ⇒ A^-1 = A^T

गणना:

दिए गए आव्यूह \(\left( Q \right) = \left[ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए

∴ Q × Q^T = 1 ⇒ Q^-1 = Q^T

^{\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = {{\rm{Q}}^{\rm{T}}} = \left[ {{\rm{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)}

वैकल्पिक विधि:

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {\rm{Q}} \right|}} \times {\rm{Adj\;}}\left[ {\rm{Q}} \right]\)

\({\rm{Adj\;Q\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 14}}{{49}}}&{\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{ - 42}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14{\rm{\;}}}}{{49}}}&{\frac{{21}}{{42}}} \end{array}} \right]\)

\(\left| {\rm{Q}} \right| = \frac{3}{7} \times \left( {\frac{{ - 9}}{{49}} - \frac{{12}}{{49}}} \right) - \frac{2}{7} \times \left( {\frac{{18}}{{49}} - \frac{4}{{49}}} \right) + \frac{6}{7} \times \left( {\frac{{ - 36}}{{49}} - \frac{6}{{49}}} \right) = {\rm{\;}} - 1\)

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)

संकल्पना:

लांबिक आव्यूह: 

जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और A^T या A', A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

दिया गया है: 

Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।

तब परिभाषा के अनुसार;

QQT = I

दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर

(Q- 1 Q)QT = Q- 1I

IQT = Q- 1

QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1

प्रयुक्त संकल्पना​:-

जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-

XY = YX = I

तब,

X = Y^-1

व्याख्या:-

दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि

A2 = I और B2 = I,  A-1 = A and B-1​ = B 

यहाँ, AB को B⁻¹A⁻¹ से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,

⇒ ABB⁻¹A⁻¹ = AB × B−1A−1

⇒ ABB−1A−1 = A(BB⁻¹)A⁻¹

⇒ ABB−1A−1 = AIA⁻¹            [ ∵ X(X⁻¹) = (X⁻¹)X = I ]

⇒ ABB−1A−1 = AA−1

⇒ ABB−1A−1 = I        ........(1)

अब, B⁻¹ A⁻¹ को AB से गुणा कीजिए,

⇒ B⁻¹ A⁻¹ AB = B−1A−1 × AB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹IB

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹B

⇒ B−1 A−1 AB = I       ........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

⇒ AB(B⁻¹A⁻¹) = (B⁻¹A⁻¹)AB = I

⇒ (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹= BA

इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA

इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।

अतः सही विकल्प 2 है।

अवधारणा:

आव्यूह A = ǀ A¹²¹ - A¹²⁰ ǀ

A = ǀ A¹²⁰ (A – I) ǀ

अतः A = ǀ A¹²⁰ǀ ǀ A – I ǀ

गणना:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\)

अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right] - {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

अब (A – I) का सारणिक,

ǀ A – I ǀ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

ǀ A – I ǀ = 0              (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)

इसलिए, |A121 - A120| =  A120|A – I|  = 0

संकल्पना:

एक लांबिक आव्यूह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:

\({A^{ - 1}} = {A^T}\)

गणना:

दिया गया आव्यूह एक लांबिक आव्यूह है, हम लिख सकते हैं:

\({A^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&c\\ b&0 \end{array}} \right] =A^{-1}\)

\({A^{ - 1}} = - \frac{1}{{bc}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - b}\\ { - c}&a \end{array}} \right]\)

चूँकि दो आव्यूह समान हैं, इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होंगे। अवयव A21 की तुलना करने पर:

\( \Rightarrow b = \frac{{ - c}}{{ - bc}}\)

\(\Rightarrow b^2=1\)

\(b = \pm 1\)

\(\left| b \right| = 1\)

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।

AA^T = A^TA = I

गणना:

दिया गया है:

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\)

\({M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right]\)

\(M{M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right] \)

\(MM^T=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right]\)

लांबिक आव्यूह के लिए, MM^T = I

\( ⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }} = 0\)

⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]

a² + b² = 1

\(⇒ b = \pm \sqrt {1 - {a^2}}\)

∴ \(b = \sqrt {1 - {a^2}}\) हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]

⇒ (a + b)² - 2ab = 1

\(⇒ ab = - \frac{1}{2}\) [∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]

संबंध का उपयोग करके,

a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है

\( ⇒ a\left( { - a} \right) = - \frac{1}{2} \)

\(⇒ a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

के लिए \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {I_2}\)

के लिए \(a = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] \ne {I_2}\)

इसलिए, M² = I₂ हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]

अवधारणा:

लांबिक आव्यूह के लिए: A × A^T = I ⇒ A^-1 = A^T

गणना:

दिए गए आव्यूह \(\left( Q \right) = \left[ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए

∴ Q × Q^T = 1 ⇒ Q^-1 = Q^T

^{\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = {{\rm{Q}}^{\rm{T}}} = \left[ {{\rm{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)}

वैकल्पिक विधि:

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {\rm{Q}} \right|}} \times {\rm{Adj\;}}\left[ {\rm{Q}} \right]\)

\({\rm{Adj\;Q\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 14}}{{49}}}&{\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{ - 42}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14{\rm{\;}}}}{{49}}}&{\frac{{21}}{{42}}} \end{array}} \right]\)

\(\left| {\rm{Q}} \right| = \frac{3}{7} \times \left( {\frac{{ - 9}}{{49}} - \frac{{12}}{{49}}} \right) - \frac{2}{7} \times \left( {\frac{{18}}{{49}} - \frac{4}{{49}}} \right) + \frac{6}{7} \times \left( {\frac{{ - 36}}{{49}} - \frac{6}{{49}}} \right) = {\rm{\;}} - 1\)

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)

व्याख्या:

जैसे कि A लांबिक है, AA^T = I

\(\Rightarrow \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&a\\ 2&1&b\\ 2&{ - 2}&c \end{array}} \right]\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ a&b&c \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 4 + {a^2}}&{2 + 2 + ab}&{2 - 4 + ac}\\ {2 + 2 + ab}&{4 + 1 + {b^2}}&{4 - 2 + bc}\\ {2 - 4 + ac}&{4 - 2 + bc}&{4 + 4 + {c^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 9&0&0\\ 0&9&0\\ 0&0&9 \end{array}} \right]\)

5 + a² = 9 ⇒ a = ±2

5 + b² = 9 ⇒ b = ±2

8 + c² = 9 ⇒ c = ±1

ab = -4, bc = -2, ac = 2

⇒ a = 2, b = -2, c = 1

चूँकि A लांबिक है, A^-1 = A^T

\(A = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)

\({A^{ - 1}} = {A^T} = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)