Orthogonal Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Orthogonal Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Orthogonal Matrix MCQ Objective Questions
Orthogonal Matrix Question 1:
माना A एक वास्तविक प्रविष्टियों वाला 3 x 3 ऑर्थोगोनल आव्यूह है। सही कथनों का चयन करें:
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एक वर्ग आव्यूह A को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि AA' = A'A = I जहाँ I इकाई आव्यूह है और A' A का परिवर्त है।
व्याख्या:
A एक 3 x 3 ऑर्थोगोनल आव्यूह है।
इसलिए, AA' = I
(1): ∴ |AA'| = |I|
⇒ |A||A'| = 1 (चूँकि |AB| = |A||B|)
⇒ |A||A| = 1 (चूँकि |A'| = |A|)
⇒ |A|2 = 1 ⇒ |A| = ± 1
इसलिए, A का सारणिक एक परिमेय संख्या है।
(1) सही है
(2): d(Ax, Ay) =
(2) सही है
(3): प्रति उदाहरण: A = \(\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\) एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक नहीं हैं।
(3) गलत है
(4): प्रति उदाहरण: A = \(\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\) एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A के सभी आइगेनमान ± i हैं जो वास्तविक नहीं हैं।
(4) गलत है
Orthogonal Matrix Question 2:
यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह इस प्रकार हैं कि A2 = I और B2 = I हैं, तब (AB)−1 है:
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त संकल्पना:-
जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-
XY = YX = I
तब,
X = Y-1
व्याख्या:-
दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि
A2 = I और B2 = I, A-1 = A and B-1 = B
यहाँ, AB को B−1A−1 से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,
⇒ ABB−1A−1 = AB × B−1A−1
⇒ ABB−1A−1 = A(BB−1)A−1
⇒ ABB−1A−1 = AIA−1 [ ∵ X(X−1) = (X−1)X = I ]
⇒ ABB−1A−1 = AA−1
⇒ ABB−1A−1 = I ........(1)
अब, B−1 A−1 को AB से गुणा कीजिए,
⇒ B−1 A−1 AB = B−1A−1 × AB
⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B
⇒ B−1 A−1 AB = B−1IB
⇒ B−1 A−1 AB = B−1B
⇒ B−1 A−1 AB = I ........(2)
समीकरण (1) और (2) से,
⇒ AB(B−1A−1) = (B−1A−1)AB = I
⇒ (AB)−1 = B−1A−1= BA
इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA
इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।
अतः सही विकल्प 2 है।
Orthogonal Matrix Question 3:
यदि क्रम 3 का एक वर्ग आव्यूह A इस प्रकार है कि |A| = 3 है, तब adj(adj A) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 3 Detailed Solution
Orthogonal Matrix Question 4:
एक लांबिक आव्यूह Q के लिए, वैध समानता ___ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
लांबिक आव्यूह:
जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।
मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और AT या A', A का परिवर्त है।
AAT = I
गणना:
दिया गया है:
Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।
तब परिभाषा के अनुसार;
QQT = I
दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर
(Q- 1 Q)QT = Q- 1I
IQT = Q- 1
QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1
Orthogonal Matrix Question 5:
वास्तविक अचरों a और b के लिए, मान लीजिये \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\) एक लांबिक आव्यूह है। तब निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।
AAT = ATA = I
गणना:
दिया गया है:
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\)
\({M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right]\)
\(M{M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right] \)
\(MM^T=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right]\)
लांबिक आव्यूह के लिए, MMT = I
\( ⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)
दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है
\(\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }} = 0\)
⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]
a2 + b2 = 1
\(⇒ b = \pm \sqrt {1 - {a^2}}\)
∴ \(b = \sqrt {1 - {a^2}}\) हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]
⇒ (a + b)2 - 2ab = 1
\(⇒ ab = - \frac{1}{2}\) [∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]
संबंध का उपयोग करके,
a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है
\( ⇒ a\left( { - a} \right) = - \frac{1}{2} \)
\(⇒ a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
के लिए \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {I_2}\)
के लिए \(a = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] \ne {I_2}\)
इसलिए, M2 = I2 हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]
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यदि A, \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\) है तो |A121 - A120| क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
आव्यूह A = ǀ A121 - A120 ǀ
A = ǀ A120 (A – I) ǀ
अतः A = ǀ A120ǀ ǀ A – I ǀ
गणना:
A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\)
अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके
( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right] - {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)
( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)
अब (A – I) का सारणिक,
ǀ A – I ǀ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)
ǀ A – I ǀ = 0 (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)
इसलिए, |A121 - A120| = A120|A – I| = 0
दिए गए लांबिक आव्यूह Q, \(Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए व्युत्क्रम __________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
लांबिक आव्यूह के लिए: A × AT = I ⇒ A-1 = AT
गणना:
दिए गए आव्यूह \(\left( Q \right) = \left[ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए
∴ Q × QT = 1 ⇒ Q-1 = QT
\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = {{\rm{Q}}^{\rm{T}}} = \left[ {{\rm{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)
वैकल्पिक विधि:
\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {\rm{Q}} \right|}} \times {\rm{Adj\;}}\left[ {\rm{Q}} \right]\)
\({\rm{Adj\;Q\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 14}}{{49}}}&{\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{ - 42}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14{\rm{\;}}}}{{49}}}&{\frac{{21}}{{42}}} \end{array}} \right]\)
\(\left| {\rm{Q}} \right| = \frac{3}{7} \times \left( {\frac{{ - 9}}{{49}} - \frac{{12}}{{49}}} \right) - \frac{2}{7} \times \left( {\frac{{18}}{{49}} - \frac{4}{{49}}} \right) + \frac{6}{7} \times \left( {\frac{{ - 36}}{{49}} - \frac{6}{{49}}} \right) = {\rm{\;}} - 1\)
\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)
एक लांबिक आव्यूह Q के लिए, वैध समानता ___ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
लांबिक आव्यूह:
जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।
मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और AT या A', A का परिवर्त है।
AAT = I
गणना:
दिया गया है:
Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।
तब परिभाषा के अनुसार;
QQT = I
दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर
(Q- 1 Q)QT = Q- 1I
IQT = Q- 1
QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1
यदि क्रम 3 का एक वर्ग आव्यूह A इस प्रकार है कि |A| = 3 है, तब adj(adj A) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFयदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह इस प्रकार हैं कि A2 = I और B2 = I हैं, तब (AB)−1 है:
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त संकल्पना:-
जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-
XY = YX = I
तब,
X = Y-1
व्याख्या:-
दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि
A2 = I और B2 = I, A-1 = A and B-1 = B
यहाँ, AB को B−1A−1 से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,
⇒ ABB−1A−1 = AB × B−1A−1
⇒ ABB−1A−1 = A(BB−1)A−1
⇒ ABB−1A−1 = AIA−1 [ ∵ X(X−1) = (X−1)X = I ]
⇒ ABB−1A−1 = AA−1
⇒ ABB−1A−1 = I ........(1)
अब, B−1 A−1 को AB से गुणा कीजिए,
⇒ B−1 A−1 AB = B−1A−1 × AB
⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B
⇒ B−1 A−1 AB = B−1IB
⇒ B−1 A−1 AB = B−1B
⇒ B−1 A−1 AB = I ........(2)
समीकरण (1) और (2) से,
⇒ AB(B−1A−1) = (B−1A−1)AB = I
⇒ (AB)−1 = B−1A−1= BA
इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA
इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।
अतः सही विकल्प 2 है।
Orthogonal Matrix Question 11:
यदि A, \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\) है तो |A121 - A120| क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 11 Detailed Solution
अवधारणा:
आव्यूह A = ǀ A121 - A120 ǀ
A = ǀ A120 (A – I) ǀ
अतः A = ǀ A120ǀ ǀ A – I ǀ
गणना:
A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\)
अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके
( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right] - {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)
( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)
अब (A – I) का सारणिक,
ǀ A – I ǀ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)
ǀ A – I ǀ = 0 (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)
इसलिए, |A121 - A120| = A120|A – I| = 0
Orthogonal Matrix Question 12:
आव्यूह A एक लांबिक आव्यूह है, \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&0 \end{array}} \right]\), |b| का मान ___ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 12 Detailed Solution
संकल्पना:
एक लांबिक आव्यूह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
\({A^{ - 1}} = {A^T}\)
गणना:
दिया गया आव्यूह एक लांबिक आव्यूह है, हम लिख सकते हैं:
\({A^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&c\\ b&0 \end{array}} \right] =A^{-1}\)
\({A^{ - 1}} = - \frac{1}{{bc}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - b}\\ { - c}&a \end{array}} \right]\)
चूँकि दो आव्यूह समान हैं, इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होंगे। अवयव A21 की तुलना करने पर:
\( \Rightarrow b = \frac{{ - c}}{{ - bc}}\)
\(\Rightarrow b^2=1\)
\(b = \pm 1\)
\(\left| b \right| = 1\)
Orthogonal Matrix Question 13:
वास्तविक अचरों a और b के लिए, मान लीजिये \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\) एक लांबिक आव्यूह है। तब निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।
AAT = ATA = I
गणना:
दिया गया है:
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\)
\({M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right]\)
\(M{M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right] \)
\(MM^T=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right]\)
लांबिक आव्यूह के लिए, MMT = I
\( ⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)
दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है
\(\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }} = 0\)
⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]
a2 + b2 = 1
\(⇒ b = \pm \sqrt {1 - {a^2}}\)
∴ \(b = \sqrt {1 - {a^2}}\) हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]
⇒ (a + b)2 - 2ab = 1
\(⇒ ab = - \frac{1}{2}\) [∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]
संबंध का उपयोग करके,
a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है
\( ⇒ a\left( { - a} \right) = - \frac{1}{2} \)
\(⇒ a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
के लिए \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {I_2}\)
के लिए \(a = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)
\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] \ne {I_2}\)
इसलिए, M2 = I2 हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]
Orthogonal Matrix Question 14:
दिए गए लांबिक आव्यूह Q, \(Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए व्युत्क्रम __________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 14 Detailed Solution
अवधारणा:
लांबिक आव्यूह के लिए: A × AT = I ⇒ A-1 = AT
गणना:
दिए गए आव्यूह \(\left( Q \right) = \left[ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए
∴ Q × QT = 1 ⇒ Q-1 = QT
\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = {{\rm{Q}}^{\rm{T}}} = \left[ {{\rm{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)
वैकल्पिक विधि:
\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {\rm{Q}} \right|}} \times {\rm{Adj\;}}\left[ {\rm{Q}} \right]\)
\({\rm{Adj\;Q\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 14}}{{49}}}&{\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{ - 42}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14{\rm{\;}}}}{{49}}}&{\frac{{21}}{{42}}} \end{array}} \right]\)
\(\left| {\rm{Q}} \right| = \frac{3}{7} \times \left( {\frac{{ - 9}}{{49}} - \frac{{12}}{{49}}} \right) - \frac{2}{7} \times \left( {\frac{{18}}{{49}} - \frac{4}{{49}}} \right) + \frac{6}{7} \times \left( {\frac{{ - 36}}{{49}} - \frac{6}{{49}}} \right) = {\rm{\;}} - 1\)
\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)
Orthogonal Matrix Question 15:
यदि \(A = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&a\\ 2&1&b\\ 2&{ - 2}&c \end{array}} \right]\)लांबिक है तो A-1 क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Matrix Question 15 Detailed Solution
व्याख्या:
जैसे कि A लांबिक है, AAT = I
\(\Rightarrow \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&a\\ 2&1&b\\ 2&{ - 2}&c \end{array}} \right]\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ a&b&c \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)
\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 4 + {a^2}}&{2 + 2 + ab}&{2 - 4 + ac}\\ {2 + 2 + ab}&{4 + 1 + {b^2}}&{4 - 2 + bc}\\ {2 - 4 + ac}&{4 - 2 + bc}&{4 + 4 + {c^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 9&0&0\\ 0&9&0\\ 0&0&9 \end{array}} \right]\)
5 + a2 = 9 ⇒ a = ±2
5 + b2 = 9 ⇒ b = ±2
8 + c2 = 9 ⇒ c = ±1
ab = -4, bc = -2, ac = 2
⇒ a = 2, b = -2, c = 1
चूँकि A लांबिक है, A-1 = AT
\(A = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)
\({A^{ - 1}} = {A^T} = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)