Orthogonal Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Orthogonal Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 11, 2025

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Latest Orthogonal Matrix MCQ Objective Questions

Orthogonal Matrix Question 1:

माना A एक वास्तविक प्रविष्टियों वाला 3 x 3 ऑर्थोगोनल आव्यूह है। सही कथनों का चयन करें:

  1. A का सारणिक एक परिमेय संख्या है।
  2. किन्हीं दो सदिशों x और y के लिए ℝ3 में, d(Ax, Ay) = d(x, y), जहाँ d(u, v) सदिशों u, v ∈ ℝ3 के बीच सामान्य यूक्लिडियन दूरी को दर्शाता है।
  3. A की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक हैं।
  4. A के सभी आइगेनमान वास्तविक हैं।

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Orthogonal Matrix Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह A को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि AA' = A'A = I जहाँ I इकाई आव्यूह है और A' A का परिवर्त है।

व्याख्या:

A एक 3 x 3 ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

इसलिए, AA' = I

(1): ∴ |AA'| = |I|

⇒ |A||A'| = 1 (चूँकि |AB| = |A||B|)

⇒ |A||A| = 1 (चूँकि |A'| = |A|)

⇒ |A|2 = 1 ⇒ |A| = ± 1

इसलिए, A का सारणिक एक परिमेय संख्या है।

(1) सही है

(2): d(Ax, Ay) = = = = = d(x, y)

(2) सही है

(3): प्रति उदाहरण: A = \(\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\) एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक नहीं हैं।

(3) गलत है

(4): प्रति उदाहरण: A = \(\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\) एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A के सभी आइगेनमान ± i हैं जो वास्तविक नहीं हैं।

(4) गलत है

Orthogonal Matrix Question 2:

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह इस प्रकार हैं कि A2 = I और B2 = I हैं, तब (AB)−1 है:

  1. B−1 A−1
  2. BA
  3. AB
  4. A−1 B−1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : BA

Orthogonal Matrix Question 2 Detailed Solution

प्रयुक्त संकल्पना​:-

जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-

XY = YX = I

तब,

X = Y-1

व्याख्या:-

दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि

A2 = I और B2 = I,  A-1 = A and B-1​ = B 

यहाँ, AB को B−1A−1 से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,

⇒ ABB−1A−1 = AB × B−1A−1

⇒ ABB−1A−1 = A(BB−1)A−1

⇒ ABB−1A−1 = AIA−1            [ ∵ X(X−1) = (X−1)X = I ]

⇒ ABB−1A−1 = AA−1

⇒ ABB−1A−1 = I        ........(1)

अब, B−1 A−1 को AB से गुणा कीजिए,

⇒ B−1 A−1 AB = B−1A−1 × AB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B

⇒ B−1 A−1 AB = B−1IB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1B

⇒ B−1 A−1 AB = I       ........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

⇒ AB(B−1A−1) = (B−1A−1)AB = I

⇒ (AB)−1 = B−1A−1= BA

इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA

इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।

अतः सही विकल्प 2 है।

Orthogonal Matrix Question 3:

यदि क्रम 3 का एक वर्ग आव्यूह A इस प्रकार है कि |A| = 3 है, तब adj(adj A) है:

  1. 27A
  2. 3A
  3. 9A
  4. A

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 3A

Orthogonal Matrix Question 3 Detailed Solution

प्रयुक्त संकल्पना:-
\(A^{-1}=\frac{\operatorname{adj} A}{|A|} \Rightarrow \operatorname{adj} A=|A| A^{-1} \)
\(|k A|=k^n|A|,(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}\) और 
\( \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}\)
जहाँ k कोई अदिश है और n, A की कोटि है।
 
गणना:
\( \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)=|\operatorname{adj} A|(\operatorname{adj} A)^{-1} \)
 \( \Rightarrow || A\left|A^{-1}\right|\left(|A| A^{-1}\right)^{-1}=|A|^3 \cdot\left|A^{-1}\right| \cdot \frac{1}{|A|} \cdot A\)
\( \Rightarrow |A|^{3-1-1} \cdot A=|A| A=3 A\)

Orthogonal Matrix Question 4:

एक लांबिक आव्यूह Q के लिए, वैध समानता ___ है।

  1. QT = Q-1
  2. Q = Q-1
  3. QT = Q
  4. det(Q) = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : QT = Q-1

Orthogonal Matrix Question 4 Detailed Solution

संकल्पना:

लांबिक आव्यूह: 

जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और AT या A', A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

दिया गया है: 

Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।

तब परिभाषा के अनुसार;

QQT = I

दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर

(Q- 1 Q)QT = Q- 1I

IQT = Q- 1

QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1

Orthogonal Matrix Question 5:

वास्तविक अचरों a और b के लिए, मान लीजिये \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\) एक लांबिक आव्यूह है। तब निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

  1. a + b = 0
  2. \(b = \sqrt {1 - {a^2}}\)
  3. ab = -1/2
  4. M2 = I2

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Orthogonal Matrix Question 5 Detailed Solution

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।

AAT = ATA = I

गणना:

दिया गया है:

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\)

\({M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right]\)

\(M{M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right] \)

\(MM^T=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right]\)

लांबिक आव्यूह के लिए, MMT = I

\( ⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }} = 0\)

⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]

a2 + b2 = 1

\(⇒ b = \pm \sqrt {1 - {a^2}}\)

\(b = \sqrt {1 - {a^2}}\) हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]

⇒ (a + b)2 - 2ab = 1

\(⇒ ab = - \frac{1}{2}\) [∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]

संबंध का उपयोग करके,

a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है

\( ⇒ a\left( { - a} \right) = - \frac{1}{2} \)

\(⇒ a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

के लिए \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {I_2}\)

के लिए \(a = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] \ne {I_2}\)

इसलिए, M2 = I2 हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]

Top Orthogonal Matrix MCQ Objective Questions

यदि A, \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\) है तो |A121 - A120| क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 120
  4. 121

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Orthogonal Matrix Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

आव्यूह A = ǀ A121 - A120 ǀ

A = ǀ A120 (A – I) ǀ

अतः A = ǀ A120ǀ ǀ A – I ǀ

गणना:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\)

अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right] - {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

अब (A – I) का सारणिक,

ǀ A – I ǀ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

ǀ A – I ǀ = 0              (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)

इसलिए, |A121 - A120 A120|A – I|  = 0

दिए गए लांबिक आव्यूह Q, \(Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए व्युत्क्रम __________ है।

  1. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}\;} \end{array}} \right]\)

     

  2. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{3}{7}}&{ - \frac{2}{7}}&{ - \frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}}&{ - \frac{2}{7}}\\ { - \frac{2}{7}}&{ - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)
  3. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{ - \frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)
  4. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{2}{7}}\\ { - \frac{2}{7}}&{ - \frac{3}{7}}&{ - \frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{ - \frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{ - \frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)

Orthogonal Matrix Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

लांबिक आव्यूह के लिए: A × AT = I ⇒ A-1 = AT

गणना:

दिए गए आव्यूह \(\left( Q \right) = \left[ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए

∴ Q × QT = 1 ⇒ Q-1 = QT

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = {{\rm{Q}}^{\rm{T}}} = \left[ {{\rm{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)

वैकल्पिक विधि:

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {\rm{Q}} \right|}} \times {\rm{Adj\;}}\left[ {\rm{Q}} \right]\)

\({\rm{Adj\;Q\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 14}}{{49}}}&{\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{ - 42}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14{\rm{\;}}}}{{49}}}&{\frac{{21}}{{42}}} \end{array}} \right]\)

\(\left| {\rm{Q}} \right| = \frac{3}{7} \times \left( {\frac{{ - 9}}{{49}} - \frac{{12}}{{49}}} \right) - \frac{2}{7} \times \left( {\frac{{18}}{{49}} - \frac{4}{{49}}} \right) + \frac{6}{7} \times \left( {\frac{{ - 36}}{{49}} - \frac{6}{{49}}} \right) = {\rm{\;}} - 1\)

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)

एक लांबिक आव्यूह Q के लिए, वैध समानता ___ है।

  1. QT = Q-1
  2. Q = Q-1
  3. QT = Q
  4. det(Q) = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : QT = Q-1

Orthogonal Matrix Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

लांबिक आव्यूह: 

जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और AT या A', A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

दिया गया है: 

Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।

तब परिभाषा के अनुसार;

QQT = I

दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर

(Q- 1 Q)QT = Q- 1I

IQT = Q- 1

QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1

यदि क्रम 3 का एक वर्ग आव्यूह A इस प्रकार है कि |A| = 3 है, तब adj(adj A) है:

  1. 27A
  2. 3A
  3. 9A
  4. A

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 3A

Orthogonal Matrix Question 9 Detailed Solution

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प्रयुक्त संकल्पना:-
\(A^{-1}=\frac{\operatorname{adj} A}{|A|} \Rightarrow \operatorname{adj} A=|A| A^{-1} \)
\(|k A|=k^n|A|,(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}\) और 
\( \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}\)
जहाँ k कोई अदिश है और n, A की कोटि है।
 
गणना:
\( \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)=|\operatorname{adj} A|(\operatorname{adj} A)^{-1} \)
 \( \Rightarrow || A\left|A^{-1}\right|\left(|A| A^{-1}\right)^{-1}=|A|^3 \cdot\left|A^{-1}\right| \cdot \frac{1}{|A|} \cdot A\)
\( \Rightarrow |A|^{3-1-1} \cdot A=|A| A=3 A\)

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह इस प्रकार हैं कि A2 = I और B2 = I हैं, तब (AB)−1 है:

  1. B−1 A−1
  2. BA
  3. AB
  4. A−1 B−1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : BA

Orthogonal Matrix Question 10 Detailed Solution

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प्रयुक्त संकल्पना​:-

जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-

XY = YX = I

तब,

X = Y-1

व्याख्या:-

दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि

A2 = I और B2 = I,  A-1 = A and B-1​ = B 

यहाँ, AB को B−1A−1 से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,

⇒ ABB−1A−1 = AB × B−1A−1

⇒ ABB−1A−1 = A(BB−1)A−1

⇒ ABB−1A−1 = AIA−1            [ ∵ X(X−1) = (X−1)X = I ]

⇒ ABB−1A−1 = AA−1

⇒ ABB−1A−1 = I        ........(1)

अब, B−1 A−1 को AB से गुणा कीजिए,

⇒ B−1 A−1 AB = B−1A−1 × AB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B

⇒ B−1 A−1 AB = B−1IB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1B

⇒ B−1 A−1 AB = I       ........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

⇒ AB(B−1A−1) = (B−1A−1)AB = I

⇒ (AB)−1 = B−1A−1= BA

इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA

इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।

अतः सही विकल्प 2 है।

Orthogonal Matrix Question 11:

यदि A, \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\) है तो |A121 - A120| क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 120
  4. 121

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Orthogonal Matrix Question 11 Detailed Solution

अवधारणा:

आव्यूह A = ǀ A121 - A120 ǀ

A = ǀ A120 (A – I) ǀ

अतः A = ǀ A120ǀ ǀ A – I ǀ

गणना:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right]\)

अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5\\ 7&6 \end{array}} \right] - {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

( A – I ) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

अब (A – I) का सारणिक,

ǀ A – I ǀ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&5\\ 7&5 \end{array}} \right]\)

ǀ A – I ǀ = 0              (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)

इसलिए, |A121 - A120 A120|A – I|  = 0

Orthogonal Matrix Question 12:

आव्यूह A एक लांबिक आव्यूह है, \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&0 \end{array}} \right]\), |b| का मान ___ है।

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. निर्धारित नहीं किया जा सकता

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Orthogonal Matrix Question 12 Detailed Solution

संकल्पना:

एक लांबिक आव्यूह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:

\({A^{ - 1}} = {A^T}\)

गणना:

दिया गया आव्यूह एक लांबिक आव्यूह है, हम लिख सकते हैं:

\({A^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&c\\ b&0 \end{array}} \right] =A^{-1}\)

\({A^{ - 1}} = - \frac{1}{{bc}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - b}\\ { - c}&a \end{array}} \right]\)

चूँकि दो आव्यूह समान हैं, इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होंगे। अवयव A21 की तुलना करने पर:

\( \Rightarrow b = \frac{{ - c}}{{ - bc}}\)

\(\Rightarrow b^2=1\)

\(b = \pm 1\)

\(\left| b \right| = 1\)

Orthogonal Matrix Question 13:

वास्तविक अचरों a और b के लिए, मान लीजिये \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\) एक लांबिक आव्यूह है। तब निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

  1. a + b = 0
  2. \(b = \sqrt {1 - {a^2}}\)
  3. ab = -1/2
  4. M2 = I2

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Orthogonal Matrix Question 13 Detailed Solution

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।

AAT = ATA = I

गणना:

दिया गया है:

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\)

\({M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right]\)

\(M{M^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ a&b \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&a\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&b \end{array}} \right] \)

\(MM^T=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right]\)

लांबिक आव्यूह के लिए, MMT = I

\( ⇒ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}}&{{a^2} + {b^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 2 }} = 0\)

⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]

a2 + b2 = 1

\(⇒ b = \pm \sqrt {1 - {a^2}}\)

\(b = \sqrt {1 - {a^2}}\) हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]

⇒ (a + b)2 - 2ab = 1

\(⇒ ab = - \frac{1}{2}\) [∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]

संबंध का उपयोग करके,

a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है

\( ⇒ a\left( { - a} \right) = - \frac{1}{2} \)

\(⇒ a = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

के लिए \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {I_2}\)

के लिए \(a = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\),

\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\({M^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right]\)

\( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] \ne {I_2}\)

इसलिए, M2 = I2 हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]

Orthogonal Matrix Question 14:

दिए गए लांबिक आव्यूह Q, \(Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए व्युत्क्रम __________ है।

  1. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}\;} \end{array}} \right]\)

     

  2. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{3}{7}}&{ - \frac{2}{7}}&{ - \frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{ - \frac{3}{7}}&{ - \frac{2}{7}}\\ { - \frac{2}{7}}&{ - \frac{6}{7}}&{\frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)
  3. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{ - \frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)
  4. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}&{ - \frac{2}{7}}\\ { - \frac{2}{7}}&{ - \frac{3}{7}}&{ - \frac{6}{7}}\\ { - \frac{6}{7}}&{ - \frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{ - \frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{ - \frac{3}{7}} \end{array}} \right]\)

Orthogonal Matrix Question 14 Detailed Solution

अवधारणा:

लांबिक आव्यूह के लिए: A × AT = I ⇒ A-1 = AT

गणना:

दिए गए आव्यूह \(\left( Q \right) = \left[ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{6}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\) के लिए

∴ Q × QT = 1 ⇒ Q-1 = QT

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = {{\rm{Q}}^{\rm{T}}} = \left[ {{\rm{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)

वैकल्पिक विधि:

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {\rm{Q}} \right|}} \times {\rm{Adj\;}}\left[ {\rm{Q}} \right]\)

\({\rm{Adj\;Q\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 14}}{{49}}}&{\frac{{ - 21}}{{49}}}&{\frac{{ - 42}}{{49}}}\\ {\frac{{ - 42}}{{49}}}&{\frac{{ - 14{\rm{\;}}}}{{49}}}&{\frac{{21}}{{42}}} \end{array}} \right]\)

\(\left| {\rm{Q}} \right| = \frac{3}{7} \times \left( {\frac{{ - 9}}{{49}} - \frac{{12}}{{49}}} \right) - \frac{2}{7} \times \left( {\frac{{18}}{{49}} - \frac{4}{{49}}} \right) + \frac{6}{7} \times \left( {\frac{{ - 36}}{{49}} - \frac{6}{{49}}} \right) = {\rm{\;}} - 1\)

\({{\rm{Q}}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{7}}&{\frac{{ - 6}}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ {\frac{2}{7}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{6}{7}}\\ {\frac{6}{7}}&{\frac{2}{7}}&{\frac{{ - 3}}{7}} \end{array}} \right]\)

Orthogonal Matrix Question 15:

यदि \(A = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&a\\ 2&1&b\\ 2&{ - 2}&c \end{array}} \right]\)लांबिक है तो A-1 क्या होगा?

  1. \(\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)
  2. \(\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&2&1 \end{array}} \right]\)
  3. \(\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 1}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)
  4. \(\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)

Orthogonal Matrix Question 15 Detailed Solution

व्याख्या:

जैसे कि A लांबिक है, AAT = I

\(\Rightarrow \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&a\\ 2&1&b\\ 2&{ - 2}&c \end{array}} \right]\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ a&b&c \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 4 + {a^2}}&{2 + 2 + ab}&{2 - 4 + ac}\\ {2 + 2 + ab}&{4 + 1 + {b^2}}&{4 - 2 + bc}\\ {2 - 4 + ac}&{4 - 2 + bc}&{4 + 4 + {c^2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 9&0&0\\ 0&9&0\\ 0&0&9 \end{array}} \right]\)

5 + a2 = 9 ⇒ a = ±2

5 + b2 = 9 ⇒ b = ±2

8 + c2 = 9 ⇒ c = ±1

ab = -4, bc = -2, ac = 2

⇒ a = 2, b = -2, c = 1

चूँकि A लांबिक है, A-1 = AT

\(A = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)

\({A^{ - 1}} = {A^T} = \frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 2&1&{ - 2}\\ 2&{ - 2}&1 \end{array}} \right]\)

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