Nullity of a Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Nullity of a Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Nullity of a Matrix MCQ Objective Questions
Nullity of a Matrix Question 1:
रैखिक रूपांतरण t : R2 → R3 t (a, b) = (a + b, a - b, b) ∀ (a, b) ∈ R2 हो, तो ker(t) बराबर है-
Answer (Detailed Solution Below)
Nullity of a Matrix Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
किसी भी फलन f: A → B (जहाँ A और B कोई भी समुच्चय हैं) के लिए, अष्टि(जिसे शून्य समष्टि भी कहा जाता है) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
Ker(f) = {x: x ∈ A इस प्रकार है कि f(x) = 0}
व्याख्या:
t : R2 → R3 जो t(a, b) = (a + b, a - b, b) ∀ (a, b) ∈ R2 द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है
अब, t(a, b) = 0
⇒ (a + b, a - b, b) = (0, 0, 0)
⇒ a + b = 0, a - b = 0, b = 0
⇒ a = 0, b = 0
इसलिए, ker(t) = {(0, 0)}
अतः विकल्प (3) सही है।
Nullity of a Matrix Question 2:
मान लीजिए T : ℝ3 → ℝ3 एक रैखिक रूपांतरण है जो सभी (x, y, z) ∈ ℝ3 के लिए T(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) द्वारा परिभाषित है। तब
Answer (Detailed Solution Below)
Nullity of a Matrix Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
रैंक-न्यूनता प्रमेय: मान लीजिए T: V → W एक रैखिक प्रतिचित्रण है, rank(T) + nullity(T) = dim V.
व्याख्या:
T : ℝ3 → ℝ3 एक रैखिक रूपांतरण है जो सभी (x, y, z) ∈ ℝ3 के लिए T(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) द्वारा परिभाषित है।
ℝ3 का मानक आधार {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} है
T(1, 0, 0) = (1, 0, 1)
T(0, 1, 0) = (1, 1, 0)
T(0, 0, 1) = (0, 1, 1)
इसलिए T का आव्यूह निरूपण है
T = \(\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}\)
det(T) = \(\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}\) = 1(1 - 0) + 1(1 - 0) = 2 ≠ 0
इसलिए, rank(T) = 3 और nullity(T) = 3 - 3 = 0
विकल्प (4) सही है
Nullity of a Matrix Question 3:
यदि आव्यूह \(\left[\begin{array}{rrr}k & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right]\) की शून्यता 1 है, तब k का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Nullity of a Matrix Question 3 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
किसी आव्यूह की शून्यता उसके शून्य समष्टि (जिसे कर्नेल के रूप में भी जाना जाता है) की विमा है।
साथ ही, शून्यता शून्य समष्टि के आयाम के समान है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया आव्यूह \( A = \left[\begin{array}{rrr} k & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right] \) है, और उसकी शून्यता 1 है होगा।
इसका अर्थ है कि A के शून्य समष्टि का आयाम 1 है।
माना \( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\) A का शून्य समष्टि में एक सदिश है।
⇒ Ax = 0
kx1 + x2 + 2x3 = 0 . . . (i)
x1 - x2 - 2x3 = 0 . . . (ii)
x1 + x2 + 4x3 = 0 . . . (iii)
अब, यदि शून्यता 1 है, यह इंगित करता है कि इस निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है, और हल समष्टि का आयाम 1 है।
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर,
2x1 + 2x3 = 0
⇒ x1 = -x3 . . .(iv)
समीकरण (iii) में से (ii) को घटाने पर,
2x2 + 6x3 = 0
⇒ x2 = -3x3
समीकरण (iv) से, हमें प्राप्त होता है
x2 = 3x1
इसलिए, एक गैर-तुच्छ हल \( \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}\) के द्वारा दिया गया है।
अब, हम इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
k(1) + 3 + 2(-1) = 0
⇒ k + 3 - 2 = 0
⇒ k = -1
इसलिए, k का मान -1 है।
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Nullity of a Matrix Question 4:
यदि आव्यूह \(\left[\begin{array}{rrr}k & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right]\) की शून्यता 1 है, तब k का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Nullity of a Matrix Question 4 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
किसी आव्यूह की शून्यता उसके शून्य समष्टि (जिसे कर्नेल के रूप में भी जाना जाता है) की विमा है।
साथ ही, शून्यता शून्य समष्टि के आयाम के समान है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया आव्यूह \( A = \left[\begin{array}{rrr} k & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right] \) है, और उसकी शून्यता 1 है होगा।
इसका अर्थ है कि A के शून्य समष्टि का आयाम 1 है।
माना \( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\) A का शून्य समष्टि में एक सदिश है।
⇒ Ax = 0
kx1 + x2 + 2x3 = 0 . . . (i)
x1 - x2 - 2x3 = 0 . . . (ii)
x1 + x2 + 4x3 = 0 . . . (iii)
अब, यदि शून्यता 1 है, यह इंगित करता है कि इस निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है, और हल समष्टि का आयाम 1 है।
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर,
2x1 + 2x3 = 0
⇒ x1 = -x3 . . .(iv)
समीकरण (iii) में से (ii) को घटाने पर,
2x2 + 6x3 = 0
⇒ x2 = -3x3
समीकरण (iv) से, हमें प्राप्त होता है
x2 = 3x1
इसलिए, एक गैर-तुच्छ हल \( \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}\) के द्वारा दिया गया है।
अब, हम इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
k(1) + 3 + 2(-1) = 0
⇒ k + 3 - 2 = 0
⇒ k = -1
इसलिए, k का मान -1 है।
Nullity of a Matrix Question 5:
रैखिक रूपांतरण t : R2 → R3 t (a, b) = (a + b, a - b, b) ∀ (a, b) ∈ R2 हो, तो ker(t) बराबर है-
Answer (Detailed Solution Below)
Nullity of a Matrix Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
किसी भी फलन f: A → B (जहाँ A और B कोई भी समुच्चय हैं) के लिए, अष्टि(जिसे शून्य समष्टि भी कहा जाता है) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
Ker(f) = {x: x ∈ A इस प्रकार है कि f(x) = 0}
व्याख्या:
t : R2 → R3 जो t(a, b) = (a + b, a - b, b) ∀ (a, b) ∈ R2 द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है
अब, t(a, b) = 0
⇒ (a + b, a - b, b) = (0, 0, 0)
⇒ a + b = 0, a - b = 0, b = 0
⇒ a = 0, b = 0
इसलिए, ker(t) = {(0, 0)}
अतः विकल्प (3) सही है।