Multiplication MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiplication - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$

$A^2$ $\Rightarrow A^2=A\times A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^2=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 8\\ 8& 9& 8\\ 8& 8& 9\end{array}\right]$

अब 4A $4A$

$\Rightarrow 4A=4\times \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$

$\Rightarrow 4A=\left[\begin{array}{ccc}4& 8& 8\\ 8& 4& 8\\ 8& 8& 4\end{array}\right]$

इसके अलावा A² - 4A $A^2 - 4A$

$\Rightarrow A^2-4A=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 8\\ 8& 9& 8\\ 8& 8& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}4& 8& 8\\ 8& 4& 8\\ 8& 8& 4\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^2-4A=\left[\begin{array}{ccc}9-4& 8-8& 8-8\\ 8-8& 9-4& 8-8\\ 8-8& 8-8& 9-4\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^2-4A=\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

परिणाम को इकाई मैट्रिक्स $I_3$ से संबंधित करें

$\Rightarrow A^2-4A=5I_3$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

घूर्णन आव्यूह:

• यूक्लिडीय समष्टि में घूर्णन करने के लिए एक घूर्णन आव्यूह का उपयोग किया जाता है। यह एक वर्ग आव्यूह है जो एक सदिश समष्टि के घूर्णन का वर्णन करता है।
• 2D घूर्णन के लिए, आव्यूह इस प्रकार दिया गया है: $f(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$
• यहाँ, θ रेडियन में घूर्णन का कोण है।
  • cos θ: घूर्णन कोण की कोज्या को दर्शाता है।
  • sin θ: घूर्णन कोण की ज्या को दर्शाता है।
• घूर्णन आव्यूह का मुख्य गुण:
  • आव्यूह का परिवर्त आव्यूह इसके व्युत्क्रम के बराबर होता है।
  • आव्यूह का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है।
• जब θ = π, घूर्णन आव्यूह बन जाता है: $f(\pi )=\left[\begin{array}{cc}\cos \pi & \sin \pi \\ -\sin \pi & \cos \pi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

गणना:

दिया गया है,

θ = π पर घूर्णन आव्यूह:

$f(\pi )=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

(f(π))² ज्ञात करने के लिए, आव्यूह को स्वयं से गुणा करें:

$f(\pi )\times f(\pi )=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

आव्यूह गुणन का उपयोग करने पर:

ऊपर-बाएँ तत्व: (-1)(-1) + (0)(0) = 1

ऊपर-दाएँ तत्व: (-1)(0) + (0)(-1) = 0

नीचे-बाएँ तत्व: (0)(-1) + (-1)(0) = 0

नीचे-दाएँ तत्व: (0)(0) + (-1)(-1) = 1

परिणामी आव्यूह:

$f(\pi {)}^2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

∴ (f(π))² तत्समक आव्यूह के बराबर है, जो $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ है।

गणना:

आव्यूह 1 और आव्यूह 2 को गुणा करें:

$\left[\begin{array}{ccc}x& 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x+4+7& 2x+5+8& 3x+6+9\end{array}\right]$

⇒ $\left[\begin{array}{ccc}x+11& 2x+13& 3x+15\end{array}\right]$

परिणामी आव्यूह को आव्यूह 3 से गुणा करें:

$\left[\begin{array}{ccc}x+11& 2x+13& 3x+15\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ x\end{array}\right]$

$=(x+11)\cdot 1+(2x+13)\cdot 1+(3x+15)\cdot x$

⇒ $(x+11)+(2x+13)+(3x^2+15x)$

⇒ $(3x^2+18x+24)$

परिणाम को 45 के बराबर करें:

$(3x^2+18x+24=45)$

⇒ $(3x^2+18x-21=0)$

$(x^2+6x-7=0)$

$(x^2+7x-x-7=0)$

⇒ $(x=1\text{ या }x=-7)$

चरण 5: सत्यापित करें:

$x=1$ के लिए, वापस प्रतिस्थापित करें:

$(3(1{)}^2+18(1)+24=45)$

45 =45

∴ x का सही मान 1 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

हल:

$|A|=0$

$\alpha \beta -(-1)(6)=0$

$\alpha \beta +6=0$

$\alpha \beta =-6$

$\alpha +\beta =1$

$⟹\alpha =3,\beta =-2$

$A=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& -2\end{array}\right]$

$A^2=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& -2\end{array}\right]$

$\therefore A^2=A$

$A=A^2=A^3=A^4=A^5=\cdots$

$(I+A{)}^8$

$=I+{}^8{C}_{1}A+{}^8{C}_2{A}^2+\cdots +{}^8{C}_8{A}^8$

$=I+A({}^8{C}_1+{}^8{C}_2+\cdots +{}^8{C}_8)$

$=I+A(2^8-1)$

$=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& -2\end{array}\right](256-1)$

$=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& -2\end{array}\right]255$

$=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}765& -255\\ 1530& -510\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}766& -255\\ 1530& -509\end{array}\right]$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

आव्यूह गुणन और गुणधर्म:

• आव्यूह गुणन में पंक्तियों और स्तंभों का बिंदु गुणन शामिल होता है।
• एक शून्य आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जिसमें सभी अवयव शून्य होते हैं।
• एक तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसमें विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।
• आव्यूहों P और Q के लिए, PQ = QP सामान्यतः तब तक नहीं होता जब तक कि P और Q क्रमविनिमेय न हों।

आव्यूह परिभाषाएँ:

• शून्य आव्यूह: एक आव्यूह जहाँ सभी अवयव शून्य होते हैं।
• तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।

गणना:

$\mathrm{P}=\left[\begin{array}{ccc}0& c& -b\\ -c& 0& a\\ b& -a& 0\end{array}\right]और\mathrm{Q}=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& ab& ac\\ ab& b^2& bc\\ ac& bc& c^2\end{array}\right]$

⇒ PQ = $=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

⇒QP = $=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

तब PQ = QP

∴ विकल्प (c) सही है। 

संकल्पना:

दिया गया है: $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

${\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{cc}0+1& 0+0\\ 0+0& 1+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

अब,

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^4={\mathrm{A}}^2{\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

अतः विकल्प 1 सही उत्तर है। 

संकल्पना:

आव्यूह गुणन:

गुणन केवल तब संभव होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। 

एक m×n आव्यूह को n×p आव्यूह से गुणा किया जाता है, परिणामस्वरूप m×p आव्यूह होता है। 

आव्यूहों को p स्तंभों वाले गुणनफल आव्यूह की पहली पंक्ति प्राप्त करने के लिए दूसरे आव्यूह n×p आव्यूह के सभी स्तंभों के संबंधित तत्वों के साथ पहले m×n आव्यूह की एक पंक्ति के प्रत्येक पंक्ति से गुणन करके गुणा किया जाता है, और इस तरह आगे भी पहली पंक्ति में सभी m पंक्तियों के लिए गुणा करते हैं। 

गणना:

$\left[\begin{array}{cc}2\mathrm{x}& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 0\end{array}\right]$ = [2x - 9   4x + 0]

= [2x - 9   4x]

∴ $\left[\begin{array}{cc}2\mathrm{x}& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ 8\end{array}\right]=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}2\mathrm{x}-9& 4\mathrm{x}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ 8\end{array}\right]$ = 0

⇒ [(2x - 9)x + 8 × 4x] = 0

⇒ [2x² - 9x + 32x] = 0

⇒ 2x² + 23x = 0

⇒ x(2x + 23) = 0

⇒ x = 0 या $-{\displaystyle \frac{23}{2}}$.

संकल्पना:

आव्यूह का साहचर्य गुण निम्न द्वारा दिया गया है:

X (YZ) = (XY) Z      ----(1)

दिया गया:

AB = B और BA = A      ----(2)

गणना:

A2 + B2

⇒ AA + BB

⇒ A (BA) + B (AB)   [2 का उपयोग करने पर)]

⇒ (AB) A + (BA) B [(1) का उपयोग करने पर]

⇒ BA + AB

⇒ A + B

इसलिए, A2 + B2 = A + B

संकल्पना:

अदिश गुणन:

यदि किसी आव्यूह को एक अदिश k ∈ R से गुणा किया जाता है, तो आव्यूह के प्रत्येक तत्व को k से गुणा किया जाता है अर्थात् यदि A = [aij]m × n है, तो k × A = A = [k × aij]m × n है। 

आव्यूह का गुणन:

यदि A और B दो आव्यूह इस प्रकार हैं जिससे A के स्तंभों की संख्या B के पंक्तियों की संख्या के बराबर है। यदि A = [aij]  एक m × n आव्यूह है और B = [bij] एक n × p आव्यूह है, तो AB का गुणनफल कोटि m × p वाली परिणामी आव्यूह है और इसे निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

${\left(AB\right)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\times b_{kj}\mathrm{\forall }i=1,2,\dots ,mandj=1,2,\dots .,p$

गणना:

दिया गया है: $A=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ -3& 4\end{array}\right]$

यहाँ, हमें समीकरण का मान ज्ञात करना है: ($-$ A2 + 6 A)

$\Rightarrow A^2=\left[\begin{array}{cc}10& -12\\ -18& 22\end{array}\right]$ and $6\cdot A=\left[\begin{array}{cc}12& -12\\ -18& 24\end{array}\right]$

$\Rightarrow -A^2+6\cdot A=\left[\begin{array}{cc}-10& 12\\ 18& -22\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}12& -12\\ -18& 24\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

अतः $(-{\mathrm{A}}^2+6\cdot \mathrm{A})=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

गणना:

हमें $\left[\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}\right]\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{h}& \mathrm{g}\\ \mathrm{h}& \mathrm{b}& \mathrm{f}\\ \mathrm{g}& \mathrm{f}& \mathrm{c}\end{array}\right]$ का मान ज्ञात करना है। 

$\Rightarrow \left[\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}\right]\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{h}& \mathrm{g}\\ \mathrm{h}& \mathrm{b}& \mathrm{f}\\ \mathrm{g}& \mathrm{f}& \mathrm{c}\end{array}\right]$

= [ax + hy + gz    hx + by + fz    gx + fy + cz]

संकल्पना:

आव्यूह का गुणन:

• पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। 
• परिणाम में पहले आव्यूह के रूप में पंक्तियों की समान संख्या और दूसरे आव्यूह के रूप में स्तंभों की समान संख्या होगी। 
• एक m × n आव्यूह को n × p आव्यूह से गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम m × p आव्यूह होता है। 

गणना:

दिया गया है: AB = C

$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}\mathrm{x}+\mathrm{y}& \mathrm{y}\\ \mathrm{x}& \mathrm{x}-\mathrm{y}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}3\mathrm{x}+3\mathrm{y}-2\mathrm{y}\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{x}+2\mathrm{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}3\mathrm{x}+\mathrm{y}\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$

इसलिए, 3x + y = 4   …. (1)

x + 2y = -2       …. (2)

समीकरण 1 और 2 को हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 2 और y = -2

अब,

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{x}+\mathrm{y}& \mathrm{y}\\ \mathrm{x}& \mathrm{x}-\mathrm{y}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}2-2& -2\\ 2& 2-\left(-2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 4\end{array}\right]$

${\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}\times \mathrm{A}$

$=\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 4\end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{cc}-4& -8\\ 8& 12\end{array}\right]$

गणना:

दिया गया है: 

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]$

${\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}.\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]$

=$\left[\begin{array}{cc}1+0& \mathrm{a}+\mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]$

${\mathrm{A}}^3={\mathrm{A}}^2.\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]$

=$\left[\begin{array}{cc}1& 2\mathrm{a}+1\mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]$

यहाँ स्वरुप को देखने पर

${\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}=\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{n}\mathrm{a}\\ 0& 1\end{array}\right]$

संकल्पना:

आव्यूह गुणन:

• गुणन केवल तब संभव होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। 
• एक m × n आव्यूह n × p आव्यूह द्वारा गुणा किया जाता है जिसके परिणामस्वरूप m × p आव्यूह मिलता है।
• आव्यूह को p स्तंभों के साथ गुणनफल आव्यूह के पहली पंक्ति और इसी तरह आगे पहले आव्यूह के सभी m पंक्तियों को प्राप्त करने के लिए पहले m × n आव्यूह के पंक्ति के प्रत्येक तत्व को दूसरे n × p आव्यूह के सभी स्तंभों के संबंधित तत्वों के साथ गुणा करके गुणा किया जाता है। 
• दो आव्यूह A और B के लिए AB ≠ BA।

गणना:

दो आव्यूह A और B के लिए, हमारे पास निम्न हैं:

(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2,

चूँकि यह दिया गया है कि (A + B)2 = A2 + B2 है, इसलिए हमारे पास निम्न होना चाहिए:

AB + BA = 0

⇒ $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ -1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ -1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

⇒ $\left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}-2& \mathrm{b}+2\\ \mathrm{a}+1& \mathrm{b}-1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}+\mathrm{b}& 2\mathrm{a}-\mathrm{b}\\ -1+1& -2-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

⇒ $\left[\begin{array}{cc}2\mathrm{a}+\mathrm{b}-2& 2\mathrm{a}+2\\ \mathrm{a}+1& \mathrm{b}-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

बराबर आव्यूह के तत्वों की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

a + 1 = 0 और b - 4 = 0

⇒ a = -1 और b = 4

संकल्पना:

दो आव्यूहों का गुणनफल केवल तब संभव होता है जब आंतरिक आयाम समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि पहली आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरी आव्यूह के पंक्तियों की संख्या के बराबर है।

गणना:

दिया गया है $A={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{h}& \mathrm{g}\\ \mathrm{h}& \mathrm{b}& \mathrm{f}\\ \mathrm{g}& \mathrm{f}& \mathrm{c}\end{array}\right]}_{3\times 3}$ और $\mathrm{B}={\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]}_{3\times 1}$

दो आव्यूहों का गुणनफल केवल तब संभव होता है जब आंतरिक आयाम समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि पहली आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरी आव्यूह के पंक्तियों की संख्या के बराबर है। 

अर्थात् AB संभव है और इसकी कोटि $3\times 1$ है। 

अब, AB के पंक्ति 1, स्तंभ 1 में प्रविष्टि प्राप्त करने के लिए B के पहली स्तंभ से A के पहली पंक्ति को गुणा कीजिए और जोड़िए। 

AB के पंक्ति 2, स्तंभ 1 में प्रविष्टि प्राप्त करने के लिए B के पहली स्तंभ से A के दूसरी पंक्ति को गुणा कीजिए और जोड़िए। 

AB के पंक्ति 3, स्तंभ 1 में प्रविष्टि प्राप्त करने के लिए B के पहली स्तंभ से A के तीसरी पंक्ति को गुणा कीजिए और जोड़िए। 

$AB={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{h}& \mathrm{g}\\ \mathrm{h}& \mathrm{b}& \mathrm{f}\\ \mathrm{g}& \mathrm{f}& \mathrm{c}\end{array}\right]}_{3\times 3}{\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]}_{3\times 1}$

$AB={\left[\begin{array}{c}\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{h}\mathrm{y}+\mathrm{g}\mathrm{z}\\ \mathrm{h}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{f}\mathrm{z}\\ \mathrm{g}\mathrm{x}+\mathrm{f}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{z}\end{array}\right]}_{3\times 1}$

संकल्पना:

• cos² θ – sin² θ = cos 2θ
• 2 sin θ cos θ = sin 2θ
• cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
• sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

गणना:

दिया गया है:

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

${\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta & \cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta \\ -\cos \theta \sin \theta -\cos \theta \sin \theta & -{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right]$

अब,

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^3={\mathrm{A}}^2\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^3=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta & \cos 2\theta \sin \theta +\sin 2\theta \cos \theta \\ -\sin 2\theta \cos \theta -\cos 2\theta \sin \theta & -\sin 2\theta \sin \theta +\cos 2\theta \cos \theta \end{array}\right]$