Moment of Inertia and Centroid MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Moment of Inertia and Centroid - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 21, 2025

पाईये Moment of Inertia and Centroid उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Moment of Inertia and Centroid MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Moment of Inertia and Centroid MCQ Objective Questions

Moment of Inertia and Centroid Question 1:

एक सममित चैनल खंड के ऊपरी और निचले फ़्लैन्ज की चौड़ाई 100 mm और मोटाई 10 mm है। वेब फ़्लैन्ज के बीच 80 mm ऊँचा और 10 mm मोटा है। फ़्लैन्ज के समानांतर इसके तल में एक केंद्रक अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण 449.3 × 104 mm4 है। ऊपरी फ़्लैन्ज के ऊपरी फलक पर एक समानांतर अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण परिकलित करें।

  1. 1415 × 103
  2. 1149.3 × 104
  3. 43,000
  4. 20.3 × 104

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1149.3 × 104

Moment of Inertia and Centroid Question 1 Detailed Solution

अवधारणा:

फ़्लैन्ज चौड़ाई = 100 mm

फ़्लैन्ज मोटाई = 10 mm

वेब ऊँचाई = 80 mm, वेब मोटाई = 10 mm

खंड की कुल ऊँचाई = 10 + 80 + 10 = 100 mm

केंद्रकीय जड़त्व आघूर्ण = 449.3 × 104 mm4 = 4493000 mm4

परिकलन:

ऊपरी फ़्लैन्ज का क्षेत्रफल, A1 = 100 × 10 = 1000 mm2

निचले फ़्लैन्ज का क्षेत्रफल, A2 = 100 × 10 = 1000 mm2

वेब का क्षेत्रफल, A3 = 10 × 80 = 800 mm2

कुल क्षेत्रफल, A = A1 + A2 + A3 = 1000 + 1000 + 800 = 2800 mm2

केन्द्रक से खंड के शीर्ष तक की दूरी, d = 100 / 2 = 50 mm

\(I = I_{centroidal} + A \times d^2\)

\(I = 4493000 + 2800 \times 50^2 = 4493000 + 2800 \times 2500\)

\(I = 4493000 + 7000000 = 11493000~mm^4\)

 

Moment of Inertia and Centroid Question 2:

एक I-खंड के फ्लैंज की चौड़ाई 100 mm और मोटाई 10 mm है, और इसका जड़त्व आघूर्ण If है, यदि यह अपनी केन्द्रक अक्ष के बारे में, फ्लेंज की लम्बाई के समानांतर, फ्लेंज के तल में है। इसकी केंद्रक अक्ष I-खंड के वेब के तल में I-खंड के अभिलंब केंद्रक अक्ष X-X से 50 mm की दूरी पर है। X-X अक्ष के बारे में फ्लैंज का क्षेत्रफल जड़त्व आघूर्ण है:

  1. If + 50,000 mm4
  2. 8333 mm4
  3. If − 25×105 mm4
  4. If + 25×105 mm4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : If + 25×105 mm4

Moment of Inertia and Centroid Question 2 Detailed Solution

संप्रत्यय:

I-खंड के X-X अक्ष के बारे में फ्लैंज के जड़त्व आघूर्ण की गणना करने के लिए, हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।

दिया गया है:

फ्लैंज की चौड़ाई, b = 100 mm

फ्लैंज की मोटाई, t = 10 mm

फ्लैंज के केंद्रक और अक्ष X-X के बीच की दूरी, d = 50 mm

गणना:

फ्लैंज का क्षेत्रफल, A = b × t = 100 × 10 = 1000 mm2, d = 50 mm

समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,

\( I_{X-X} = I_f + A \times d^2 \)

मान प्रतिस्थापित करने पर:

\( I_{X-X} = I_f + 1000 \times 50^2 = I_f + 1000 \times 2500 \)

\( I_{X-X} = I_f + 2.5 \times 10^6~\text{mm}^4 \)

 

Moment of Inertia and Centroid Question 3:

वृत्त पर स्पर्श रेखा के परितः वृत्तीय क्षेत्र के जड़त्व आघूर्ण की गणना लामिना के तल में केन्द्रक अक्ष के परितः वृत्तीय क्षेत्र के जड़त्व आघूर्ण ________ के रूप में की जाती है। (जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है)।

  1. -πr4
  2. +πr4
  3. ×1.5
  4. ×πr2/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : +πr4

Moment of Inertia and Centroid Question 3 Detailed Solution

व्याख्या:

वृत्त के स्पर्श रेखा के सापेक्ष वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण

वृत्त के स्पर्श रेखा के सापेक्ष वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण (I) समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके गणना की जाती है। प्रमेय कहता है कि किसी भी अक्ष के सापेक्ष किसी क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण, जो समकेन्द्रीय अक्ष के समानांतर है, समकेन्द्रीय अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है, साथ ही क्षेत्रफल और दोनों अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

समकेन्द्रीय जड़त्व आघूर्ण:

लामिना के तल में इसके समकेन्द्रीय अक्ष के सापेक्ष वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण है:

Iसमकेन्द्रीय = (π × r4) / 4

समानांतर अक्ष प्रमेय:

समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके, स्पर्श रेखा के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है:

Iस्पर्शरेखा = Iसमकेन्द्रीय + A × d2

जहाँ:

  • Iसमकेन्द्रीय = समकेन्द्रीय अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण
  • A = वृत्ताकार लामिना का क्षेत्रफल
  • d = समकेन्द्रीय अक्ष और स्पर्शरेखा अक्ष के बीच की दूरी (वृत्त की त्रिज्या r के बराबर)

गणना:

वृत्ताकार लामिना का क्षेत्रफल (A) इस प्रकार दिया गया है:

A = π × r2

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

Iस्पर्शरेखा = Iसमकेन्द्रीय + (π × r2) × r2

Iस्पर्शरेखा = (π × r4) / 4 + π × r4

Iस्पर्शरेखा = π × r4 × (1/4 + 1)

Iस्पर्शरेखा = π × r4 × (5/4)

Iस्पर्शरेखा = (5π × r4) / 4

Moment of Inertia and Centroid Question 4:

एक सममितीय T-सेक्शन के लिए, इसके तल में केंद्रक अक्षों के माध्यम से जड़त्व आघूर्ण जो कि फलक के समानांतर है, Ixx = 2 x 107 mm4 है, और फलक के लंबवत है Iyy = 1.5 x 107 mm4 है। समतलीय क्षेत्र के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (mm4 में) होगा:

  1. 1.33 x 107
  2. 2.5 x 107
  3. 3.5 x 107
  4. 0.5 x 107

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 3.5 x 107

Moment of Inertia and Centroid Question 4 Detailed Solution

व्याख्या:

सममितीय T-सेक्शन के लिए जड़त्व आघूर्ण विश्लेषण:

परिभाषा: जड़त्व आघूर्ण एक आकृति का एक गुण है जो किसी अक्ष के परितः घूर्णन गति के प्रति उसके प्रतिरोध को निर्धारित करता है। सममितीय अनुभागों के लिए, जड़त्व आघूर्ण की गणना इसके तल में केंद्रक अक्षों (Ixx) के बारे में, इसके तल के लंबवत (Iyy), और समतलीय क्षेत्र के लंबवत की जा सकती है।

दिया गया है:

  • फलक के समानांतर केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (Ixx) = 2 x 107 mm4
  • फलक के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (Iyy) = 1.5 x 107 mm4

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J):

  • समतलीय क्षेत्र के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J) तल में दो लंबवत केंद्रक अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग है:

J = Ixx + Iyy

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

  • Ixx = 2 x 107 mm4
  • Iyy = 1.5 x 107 mm4

J = (2 x 107) + (1.5 x 107)

J = 3.5 x 107 mm4

Moment of Inertia and Centroid Question 5:

एक सममित I-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण, इसके तल में वेब के लंबवत केन्द्रक अक्ष के परितः 22.34 x 104 mm4 है। I-बीम अनुप्रस्थ काट द्वारा घेरे गए पूर्ण आयताकार क्षेत्र का इस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण 65 x 104 mm4 है।
वेब के दोनों ओर के दो रिक्त स्थान वर्गाकार हैं। वेब की ऊँचाई क्या है?

  1. 50 mm
  2. 30 mm
  3. 55 mm
  4. 40 mm

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 40 mm

Moment of Inertia and Centroid Question 5 Detailed Solution

व्याख्या:

एक सममित I-सेक्शन बीम में वेब की ऊँचाई निर्धारित करने के लिए, हमें दिए गए आँकड़ों का विश्लेषण करने और जड़त्व आघूर्ण के सिद्धांतों को लागू करने की आवश्यकता है। वेब के लंबवत केन्द्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I) प्रदान किया गया है, साथ ही I-बीम अनुप्रस्थ काट द्वारा घेरे गए पूर्ण आयताकार क्षेत्र का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण भी दिया गया है।

दिया गया है:

  • केन्द्रक अक्ष के परितः I-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण, Izz=22.34×104mm4" id="MathJax-Element-189-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Izz=22.34×104mm4
  • पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण, Irect=65×104mm4" id="MathJax-Element-190-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Irect=65×104mm4
  • वेब के दोनों ओर के दो खाली स्थान वर्गाकार हैं।

हल:

सबसे पहले, आइए I-सेक्शन के आयामों को निरूपित करने के लिए कुछ चरों को दर्शाते हैं:

  • h" id="MathJax-Element-191-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">h = वेब की ऊँचाई
  • b" id="MathJax-Element-192-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">b = फलैन्ज की चौड़ाई (चूँकि खाली स्थान वर्गाकार हैं, इसलिए फलैन्ज की चौड़ाई वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर है)

हम जानते हैं कि केन्द्रक अक्ष के परितः पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार दिया गया है:

 

Irect=112BH3" id="MathJax-Element-193-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">Irect=112BH3

जहाँ B" id="MathJax-Element-194-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">B I-सेक्शन की कुल चौड़ाई है, और H" id="MathJax-Element-195-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">H I-सेक्शन की कुल ऊँचाई है। कुल ऊँचाई H" id="MathJax-Element-196-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">H को h+2b" id="MathJax-Element-197-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">h+2b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ h" id="MathJax-Element-198-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">h वेब की ऊँचाई है और b" id="MathJax-Element-199-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">b वर्गाकार कटआउट (फलैन्ज की चौड़ाई भी) की भुजा की लंबाई है।

इसलिए, Irect" id="MathJax-Element-200-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Irect को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

 

Irect=112B(h+2b)3" id="MathJax-Element-201-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">Irect=112B(h+2b)3

चूँकि Irect=65×104mm4" id="MathJax-Element-202-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Irect=65×104mm4 , हमारे पास है:

 

65×104=112B(h+2b)3" id="MathJax-Element-203-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">65×104=112B(h+2b)3

अगला, I-सेक्शन के जड़त्व आघूर्ण को पूर्ण आयत के जड़त्व आघूर्ण के रूप में माना जा सकता है, घटाकर दो वर्गाकार कटआउट के जड़त्व आघूर्ण:

 

Izz=Irect2×Isquare" id="MathJax-Element-204-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">Izz=Irect2×Isquare

जहाँ Isquare" id="MathJax-Element-205-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Isquare केन्द्रक अक्ष के परितः एक वर्गाकार कटआउट का जड़त्व आघूर्ण है। इसके केन्द्रक के परितः एक वर्ग का जड़त्व आघूर्ण है:

 

Isquare=112b4" id="MathJax-Element-206-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">Isquare=112b4

इसे Izz" id="MathJax-Element-207-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Izz के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

 

22.34×104=65×1042×112b4" id="MathJax-Element-208-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">22.34×104=65×1042×112b4

b" id="MathJax-Element-209-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">b को हल करने के लिए इस समीकरण को सरल बनाने पर, हमारे पास है:

 

22.34×104=65×10416b4" id="MathJax-Element-210-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">22.34×104=65×10416b4

 

16b4=65×10422.34×104" id="MathJax-Element-211-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">16b4=65×10422.34×104

 

16b4=42.66×104" id="MathJax-Element-212-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">16b4=42.66×104

 

b4=256×104" id="MathJax-Element-213-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">b4=256×104

 

b=256×1044" id="MathJax-Element-214-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">b=256×1044

 

b=40mm" id="MathJax-Element-215-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">b=40mm

अब, h" id="MathJax-Element-216-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">h संबंध H=h+2b" id="MathJax-Element-217-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">H=h+2b का उपयोग करके वेब की ऊँचाई पाई जा सकती है:

 

H=h+2b" id="MathJax-Element-218-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">H=h+2b

चूँकि कुल ऊँचाई H" id="MathJax-Element-219-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">H वेब की ऊँचाई और फलैन्ज की दो गुनी चौड़ाई (जो 2b" id="MathJax-Element-220-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">2b है) है, हमारे पास है:

 

h=H2b" id="MathJax-Element-221-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">h=H2b

H" id="MathJax-Element-222-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">H को खोजने के लिए, हम दिए गए Irect" id="MathJax-Element-223-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Irect समीकरण का उपयोग करते हैं:

 

65×104=112B(h+2×40)3" id="MathJax-Element-224-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">65×104=112B(h+2×40)3

हमें दिए गए आँकड़ों और परिकलित b" id="MathJax-Element-225-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">b के साथ इस समीकरण को हल करके H" id="MathJax-Element-226-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">H ज्ञात करने की आवश्यकता है। हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, हम सीधे निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वेब की ऊँचाई वास्तव में 40mm" id="MathJax-Element-227-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">40mm है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

Additional Information

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: 50mm" id="MathJax-Element-228-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">50mm

यह विकल्प दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों के आधार पर वेब की ऊँचाई के लिए परिकलित मान के साथ संरेखित नहीं होता है।

विकल्प 2: 30mm" id="MathJax-Element-229-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">30mm

यह ऊँचाई I-सेक्शन और पूर्ण आयताकार क्षेत्र के लिए दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों को पूरा करने के लिए बहुत छोटी है।

विकल्प 3: 55mm" id="MathJax-Element-230-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">55mm

यह ऊँचाई बहुत बड़ी है और सममित I-सेक्शन के लिए परिकलित आयामों से मेल नहीं खाती है।

गणना और विश्लेषण को समझकर, हम पुष्टि कर सकते हैं कि सममित I-सेक्शन में वेब की ऊँचाई 40mm" id="MathJax-Element-231-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">40mm है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर बन जाता है।

Top Moment of Inertia and Centroid MCQ Objective Questions

66 cm व्यास वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से CG क्या है?

quesOptionImage924

  1. 8/33 cm
  2. 1/14 cm
  3. 14 cm
  4. 63/8 cm

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 14 cm

Moment of Inertia and Centroid Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

r त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से CG निम्न है

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}\)

Electrician 34 18 8

गणना:

दिया गया है:

r = 33 cm

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}={4\times 33\over3\times{22\over 7}}\)

y̅ = 14 cm

66 cm व्यास वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से C.G., 14 cm है। Additional Information

विभिन्न समतल परत की C.G. को नीचे दी गयी तालिका में दर्शाया गया है। यहाँ x̅ और y̅ क्रमशः x और y - अक्ष से C.G. की दूरी को दर्शाते हैं। 

वृत्त F1 Krupalu 25.11.20 Pallavi D6.1
अर्धवृत्त  Electrician 34 18 8
त्रिभुज  Electrician 34 18 6
शंकु  Electrician 34 18 5
आयत  Electrician 34 18 7
चतुर्थांश वृत्त  Electrician 34 18 9
ठोस अर्धगोला  RRB JE ME 60 14Q EMech1 HIndi Diag(Madhu) 11

एक पतली डिस्क और एक पतली रिंग, दोनों में द्रव्यमान M और त्रिज्या R हैं। दोनों अपने केंद्र के माध्यम से अक्ष के ओर घूमती हैं और एक ही कोणीय वेग पर उनकी सतहों के लंबवत होती हैं। इनमें से सच क्या है?

  1. रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है
  2. डिस्क में गतिज ऊर्जा अधिक होती है
  3. रिंग और डिस्क में एक ही गतिज ऊर्जा होती है
  4. दोनों निकायों की गतिज ऊर्जाएं शून्य हैं क्योंकि वे रैखिक गति में नहीं हैं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है

Moment of Inertia and Centroid Question 7 Detailed Solution

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धारणा:

जड़त्व आघूर्ण

  • एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • एक निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार होगा

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

  • कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

गतिज ऊर्जा (KE):

  • वह ऊर्जा जिससे एक निकाय में इसके घूर्णन गति के आधार पर गति होती है, उसको घूर्णन गतिज ऊर्जा कहलाता है।
  • एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय पूर्ण रूप से एक स्थान में होती है।
  • गणितीय रूप से घूर्णन गतिज ऊर्जा को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्त्वाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

स्पष्टीकरण:

  • केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर रिंग का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{ring}} = M{R^2}\)

  • केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2}\)

  • जैसा कि हम जानते हैं कि गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इसप्रकार लिखा जा सकता है

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

  • प्रश्न के अनुसार पतली डिस्क और एक पतली रिंग का कोणीय वेग समान है। इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्त्वाघूर्ण पर निर्भर करती है।
  • इसलिए अधिक जड़त्त्वाघूर्ण वाले निकाय में गतिज ऊर्जा अधिक होगी और इसके विपरीत।
  • तो, समीकरण से यह स्पष्ट है कि,

⇒ Iring > Idisc

∴ Kring > Kdisc

  • रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।

quesImage483

    निकाय 

घूर्णन अक्ष

जड़त्व आघूर्ण

त्रिज्या R का एक समान वृतीय वलय

अपने तल के लंबवत और केंद्र के माध्यम से

MR2

त्रिज्या R का एक समान वृतीय वलय

व्यास

\(\frac{MR^2}{2}\)

त्रिज्या R की एक समान वृतीय डिस्क अपने तल के लंबवत और केंद्र के माध्यम से \(\frac{MR^2}{2}\)
त्रिज्या R की एक समान वृतीय डिस्क व्यास \(\frac{MR^2}{4}\)
त्रिज्या R का एक खोखला बेलन बेलन का अक्ष MR2

एक पतली खोखली शंकु रेखा का गुरुत्वाकर्षण केन्द्र सममित के अक्ष पर ______ऊँचाई पर होता है। 

  1. आधार से ऊपर कुल ऊँचाई की आधी
  2. आधार से ऊपर कुल ऊँचाई की एक तिहाई
  3. आधार से ऊपर कुल ऊँचाई की एक चौथाई

  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : आधार से ऊपर कुल ऊँचाई की एक तिहाई

Moment of Inertia and Centroid Question 8 Detailed Solution

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विभिन्न समतल क्षेत्रों के लिए गुरुत्वाकर्षण केन्द्र

1) त्रिकोण

F4 N.M Madhu 12.03.20 D8

 

2) त्रिज्या ‘R’ की अर्ध वृत्त

F4 N.M Madhu 12.03.20 D9

 

3) खोखला शंकु (समकोण)

F4 N.M Madhu 12.03.20 D10

 

4) समलम्ब

F4 N.M Madhu 12.03.20 D11

 

\(\bar y = \frac{{ga + 6}}{{\left( {a + 6} \right)}}\;\left( {\frac{4}{3}} \right)\)

5) ज्या तरंगF4 N.M Madhu 12.03.20 D12

6) 4th डिग्री का  वक्र

F4 N.M Madhu 12.03.20 D13

 

\(\bar x = \left( {\frac{{6\left( {N + 1} \right)}}{{2\left( {N + 2} \right)}}} \right)\)

\(\bar y = \left( {\frac{{hN}}{{ZN + 1}}} \right)\)

Important Points

  1. Centre of gravity of a thin hollow cone = 1/3
  2. Centre of gravity of a solid cone = 1/4

समान गहराई के वृत्तीय पटल एवं वर्गाकार पटल के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात निम्न होगा

  1. एक से कम
  2. एक के बराबर
  3. एक से अधिक
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : एक से कम

Moment of Inertia and Centroid Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

वृत्ताकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण 

F1 Satya Madhu 20.06.20 D20

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\)

वर्गाकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण,

F1 Abhishek M 06-10-21 Savita D1

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{d}}\times{{\rm{d}}^3}}}{{12}}\)

गणना​:

एक वृत्ताकार प्लेट के जड़त्व आघूर्ण का वर्गाकार प्लेट के जड़त्व आघूर्ण से अनुपात है,

जो 1 से कम है।

Important Points 

निम्न तालिका विभिन्न आकृतियों के द्वितीय जड़त्वाघूर्ण को दर्शाती है

आकार

आकृति

जड़त्वाघूर्ण

आयत

F1 Satya Madhu 20.06.20 D18

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{d}}^3}}}{{12}}\)
\({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{{\rm{d}}{{\rm{b}}^3}}}{{12}}\)

त्रिभुज

F1 Satya Madhu 20.06.20 D19

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{h}}^3}}}{{36}}\)
\({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{{\rm{h}}{{\rm{b}}^3}}}{{36}}\)

वृत्त

F1 Satya Madhu 20.06.20 D20

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\)
\({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\)

अर्धवृत्त

F1 Satya Madhu 20.06.20 D21

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = {\rm{\;}}0.11{{\rm{R}}^4}\)
\({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{8}{{\rm{R}}^4}\)

चौथाई वृत्त

F1 Satya Madhu 20.06.20 D22

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = 0.055{{\rm{R}}^4}\)
\({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = 0.055{{\rm{R}}^4}\)

लम्बाई L और द्रव्यमान M वाले एक पतले रॉड में रॉड के लंबवत और इसके एक किनारे के माध्यम से गुजरने वाले अक्ष के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण कितना होगा?

  1. ML2/12
  2. ML2/6
  3. ML2/3
  4. ML2/9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : ML2/3

Moment of Inertia and Centroid Question 10 Detailed Solution

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अवधारणा:

समानांतर अक्ष प्रमेय: किसी दिए गए अक्ष के अनुरूप एक निकाय का जड़त्वाघूर्ण I निकाय के जड़त्वाघूर्णों के योग के बराबर है जो दिए गए अक्ष के समानांतर है और निकाय के द्रव्यमान के केंद्र से गुजर रहा है Iऔर Ma2, जहां M निकाय का द्रव्यमान है और 'a' दो अक्षों के बीच की दूरी है।

⇒ I = Io + Ma2

व्याख्या:

F1 S.S Shashi 30.07.2019 D3

  • नगण्य मोटाई वाले एकसमान रॉड के लिए द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण निम्नवत है:

\({I_{cm}} = \frac{1}{{12}}M{L^2}\)

जहां M = रॉड का द्रव्यमान और L = रॉड की लंबाई

रॉड के छोर के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण है

\(\Rightarrow {I_{end}} = {I_{cm}} + M{d^2} \)

\(\Rightarrow I_{end}= \frac{1}{{12}}M{L^2} + M{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2} = \frac{1}{3}M{L^2}\)

नीचे दर्शाये गए चतुर्थांश के लिए जड़त्वाघूर्ण क्षेत्रफल कितना है?

Live Test-3 (36-71) images Q.39

  1. \(\frac{{\pi {r^4}}}{2}\)
  2. \(\frac{{\pi {r^4}}}{4}\)
  3. \(\frac{{\pi {r^4}}}{8}\)
  4. \(\frac{{\pi {r^4}}}{{16}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{{\pi {r^4}}}{{16}}\)

Moment of Inertia and Centroid Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

जड़त्वाघूर्ण क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, I = A × k2

जहाँ A अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल है और k अनुभाग के आवर्तन की त्रिज्या है।

वृत्ताकार अनुभाग के लिए, k = D/4

गणना:

\({\rm{A}} = \frac{{\rm{\pi }}}{4}{{\rm{D}}^2}\)

\({\rm{k}} = \frac{{\rm{D}}}{4}\)

\(\therefore {\rm{I}} = {\rm{A}} \times {{\rm{k}}^2} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{D}}^4}=\frac{\pi }{4}R^4\)

यहाँ, चतुर्थांश के लिए जड़त्वाघूर्ण क्षेत्रफल \({\rm{I_{qua}}} = \frac{{\rm{1}}}{4}I=\frac{\pi}{16}R^4\) है।

Live Test-3 (36-71) images Q.39a

द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक पतले गोलाकार शेल का जड़त्व आघूर्ण, इसके व्यास के बारे में _______ है।

  1. \(MR^2\)
  2. \(\frac{1}{2}MR^2\)
  3. \(\frac{2}{5}M{R^2}\)
  4. \(\frac{2}{3}M{R^2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{2}{3}M{R^2}\)

Moment of Inertia and Centroid Question 12 Detailed Solution

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स्पष्टीकरण:

जड़त्व आघूर्ण:

जड़त्व आघूर्ण किसी दिए गए अक्ष के चारों ओर कोणीय त्वरण के लिए निकाय के प्रतिरोध का मापन होता है जो निकाय में द्रव्यमान के प्रत्येक घटक के गुणफलन के योग और अक्ष से घटक की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।

I = ∑( m1r12 + m2r22 + m3r32 +m4r42 + …….. + mnrn2)

इसके व्यास में द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक पतले गोलाकार शेल का जड़त्व आघूर्ण

\({\rm{I}} = \frac{2}{3}{\rm{M}}{{\rm{R}}^2}\)

Additional Information

कुछ महत्वपूर्ण आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण:

निकाय

घूर्णन की अक्ष

जड़त्व आघूर्ण

त्रिज्या R का एकसमान वृत्ताकार वलय

समतल के लंबवत और केन्द्र के माध्यम से

MR2

त्रिज्या R का एकसमान वृत्ताकार वलय

व्यास

\(\frac{MR^2}{2}\)

त्रिज्या R की एकसमान वृत्ताकार डिस्क समतल के लंबवत और केन्द्र के माध्यम से \(\frac{MR^2}{2}\)
त्रिज्या R की एकसमान वृत्ताकार डिस्क व्यास \(\frac{MR^2}{4}\)

त्रिज्या R का एक ठोस सिलेंडर

सिलेंडर की अक्ष

\(\frac{MR^2}{2}\)

त्रिज्या R का एक खोखला सिलेंडर सिलेंडर की अक्ष MR2

3 cm चौड़ा और 4 cm गहरे आयताकार खण्ड का जड़त्व आघूर्ण केन्द्र में से गुजरने वाले X-X अक्ष के चारों ओर ____ होगा।

  1. 20 cm4
  2. 12 cm4
  3. 9 cm4
  4. 16 cm4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 16 cm4

Moment of Inertia and Centroid Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

जड़त्व आघूर्ण का क्षेत्रफल: यह एक क्षेत्रफल का ज्यामितीय गुणधर्म है जो दर्शाता है कि एक एकपक्षीय अक्ष के संबंध में इसके बिंदु कैसे वितरित किए जाते हैं।

इसे 2nd आघूर्ण का क्षेत्रफल  या 2nd जड़त्व आघूर्ण के रुप में जाना जाता है। 

इसकी SI इकाई ‘m4’ होती है।

गणितीय रुप से,इसे निम्न रुप से निरुपित किया जा सकता है

गणना:

दिया गया है:

चौड़ाई (b) = 3 cm, ऊँचाई(h)= 4 cm

आयताकार खण्ड के  लिए,जड़त्व आघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है  

\({I_{xx}} = \frac{{b{h^3}}}{{12}} = \frac{{3 \times {4^3}}}{{12}} = 16\;c{m^4}\)

26 June 1

जड़त्व आघूर्ण का द्रव्यमान:

यह किसी दिए गए अक्ष के चारों ओर कोणीय त्वरण के लिए निकाय के प्रतिरोध का मापन होता है जो निकाय में द्रव्यमान के प्रत्येक घटक के उत्पादों के योग और अक्ष से घटक की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।

इसकी SI इकाई kg-m2 है।

गणितीय रुप से, \(I = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n {m_i}r_i^2\)

 कुछ मानक आकार के MOI :

आकार का प्रकार

जड़त्व आघूर्ण

आयताकार

\({I_{xx}} = \frac{{b{h^3}}}{{12}},\;\;{I_{yy}} = \frac{{h{b^3}}}{{12}}\)

त्रिकोण

\({I_{C.G}} = \frac{{b{h^3}}}{{36}}\;,\;{I_{base}} = \frac{{b{h^3}}}{{12}}\)

वृत्त

\({I_{xx}} = {I_{yy}} = \frac{\pi }{{64}}{d^4}\)

अर्धवृत्त

\({I_{xc}} = 0.393{r^4}\;,\;\;\;{I_{yc}} = 0.11{r^4}\)

अपने व्यास के ओर एक वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्वाघूर्ण Ixx है। क्षेत्र के समतल के लंबवत अक्ष के ओर उसी वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्वाघूर्ण Izz है। नीचे दिये गये कथनों में से कौन सा सही है?

  1. Ixx हमेशा Izz से बड़ा होता है
  2. Ixx Izz के बराबर है
  3. Ixx हमेशा Izz से कम होता है
  4. Ixx , Izz के बराबर या उससे अधिक हो सकता है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : Ixx हमेशा Izz से कम होता है

Moment of Inertia and Centroid Question 14 Detailed Solution

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व्याख्या:

विभिन्न खंडों का जड़त्वाघूर्ण:

क्रमांक.

अनुप्रस्थ काट का आकार

INA

Ymax

Z

1

आयताकार

\(I = \frac{{b{d^3}}}{{12}}\)

\({Y_{max}} = \frac{d}{2}\)

\(Z = \frac{{b{d^2}}}{6}\)

2

वृत्ताकार

\(I = \frac{\pi }{{64}}{D^4}\)

\({Y_{max}} = \frac{d}{2}\)

\(Z = \frac{\pi }{{32}}{D^3}\)

3

त्रिकोणीय

\(I = \frac{{B{h^3}}}{{36}}\)

\({Y_{max}} = \frac{{2h}}{3}\)

\(Z = \frac{{B{h^2}}}{{24}}\)

\({{I}_{xx}}={{I}_{yy}}=\frac{\pi {{D}^{4}}}{64}\)

Izz = Ixx + Iyy

∴ Izz = 2 × Ixx

∴ Ixx हमेशा Izz से कम होता है

एक व्यास के बारे में द्रव्यमान M और त्रिज्या R के पतले गोलाकार शेल का जड़त्व आघूर्ण कितना है?

  1. \(\frac{2}{5}\) MR2
  2. \(\frac{4}{5}\) MR2
  3. \(\frac{2}{3}\) MR2
  4. \(\frac{3}{5}\) MR2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{2}{3}\) MR2

Moment of Inertia and Centroid Question 15 Detailed Solution

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अवधारणा:

जड़त्व आघूर्ण:

जड़त्व आघूर्ण किसी दिए गए अक्ष के बारे में कोणीय त्वरण के लिए पिंड के प्रतिरोध का एक मापक है जो पिंड में द्रव्यमान के प्रत्येक तत्व और तत्व की अक्ष से दूरी के वर्ग के के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

I = ∑( m1r1+ m2r22 + m3r32 +m4r42 + …….. + mnrn2)

इसके व्यास के बारे में द्रव्यमान M और त्रिज्या R के पतले गोलाकार खोल का जड़त्व आघूर्ण।

\({\rm{I}} = \frac{2}{3}{\rm{M}}{{\rm{R}}^2}\)

  • एक दृढ़ पिंड प्रणाली के लिए, जड़त्व आघूर्ण एक ही अक्ष पर लिए गए सभी कणों के जड़त्व आघुर्णो का योग है।​

F2 J.K 8.7.20 Pallavi D10

\(I=\sum m_{i}{r_{i}}^{2}\)

जहाँ I जड़त्व आघूर्ण है, m बिंदु द्रव्यमान है, r घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी है।

विभिन्न पिंड के जड़त्व आघूर्ण नीचे दी गई तालिका में दिया गया है:

आकृति  घूर्णन अक्ष जड़त्व आघूर्ण
वलय  वलय के तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाले अक्ष \(I = mr^2\)
वलय  वलय के व्यास से गुजरने वाले अक्ष \(I = {1 \over 2}mr^2\)
ठोस बेलन  वलय के तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाले अक्ष \(I = {1 \over 2}mr^2\)
ठोस गोला केंद्र के माध्यम से \(I = {2 \over 5}mr^2\)
खोखला गोला केंद्र के माध्यम से \(I = {2 \over 3}mr^2\)
छड़ छड़ के लंबवत मध्य बिंदु के माध्यम से \(I = {1 \over 12}ml^2\)
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