Minimization of Boolean Expression MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Minimization of Boolean Expression - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

F (P, Q, R, S) = ∑ 0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15

डोंट केयर गुणद 2, 7, 8, 13 हैं।

K - मैप बनाने पर न्यूनतम SOP (गुणनफलों का योग) ज्ञात किया जा सकता है।

वर्णन -

k - मैप के लिए पदों को रखने पर निम्नलिखित चीजें होती है,

• तीसरे और चौथे स्तंभ को एक-दूसरे से बदला जाता है।
• तीसरी और चौथी पंक्ति।
• पद 2, (0, 2) के बजाय (0, 3) स्तंभ की ओर जाती है।
• 8, (0, 2) के बजाय (0, 3) की ओर जाती है।

उपरोक्त K - मैप को हल करने पर हमें Q̅S̅ + QS प्राप्त होता है।

व्याख्या:

यह समझने के लिए कि पूरक नियम क्यों लागू होता है, हमें व्यंजक A + A' के लिए सत्य सारणी का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। एक सत्य सारणी में शामिल चरों के सभी संभावित मान और चर मानों के प्रत्येक संयोजन के लिए व्यंजक का परिणामी मान सूचीबद्ध होता है। इस मामले में, हम एकल चर A से निपट रहे हैं, जो या तो 0 या 1 हो सकता है।

सही उत्तर है: विकल्प 3

Important Points

आइए हम प्रत्येक बूलियन व्यंजक का मूल्यांकन करके यह निर्धारित करें कि कौन से सत्य हैं:

(A). A + AB = A यह व्यंजक वितरण नियम और अवशोषण नियम का उपयोग करके सरलीकृत होता है: A + AB = A (1 + B) A (1 + B) = A (चूँकि 1 + B = 1) इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

(B).(A + B)' = A'B' यह व्यंजक डी मॉर्गन के नियम पर आधारित है: (A + B)' = A'B' इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

(C).(A')' = A यह व्यंजक दोहरा नकार नियम पर आधारित है: (A')' = A इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

(D).(AB)' = A' + B' यह व्यंजक भी डी मॉर्गन के नियम पर आधारित है: (AB)' = A' + B' इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

सभी व्यंजक (A), (B), (C), और (D) सत्य हैं, इसलिए सही उत्तर विकल्प 3) अर्थात (A), (B), (C) और (D) है।

सही उत्तर (a + b̅ + c) (a + c̅ + d) (a̅ + b) है।

स्पष्टीकरण:

दिए गए कार्नो मानचित्र (K-मानचित्र) के लिए योगों का न्यूनतम गुणनफल (POS) ज्ञात करने के लिए, हम इन चरणों का पालन करेंगे:

1. K-मानचित्र का विश्लेषण करें:

• 1 के समूहों की पहचान करें और उनके संगत योग पदों का निर्धारण करें।
• 0 के समूहों की पहचान करें और उनके संगत गुणनफल पदों का निर्धारण करें।
• हम अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए डोंट-केयर शर्तों ('x' से चिह्नित) का उपयोग करेंगे।

दिया गया K-मानचित्र:

चरण-दर-चरण सरलीकरण:

=> [(a + b + c̅ + d). (a + b̅ + c̅ + d)] [(a + b̅ + c + d) (a + b̅ + c +  d̅)] [(a̅ + b + c + d) (a̅ + b + c + d̅) (a̅ + b + c̅ + d̅) (a̅ + b + c̅ + d)]

=> [(a + c̅ + d) + (b̅.b)] [(a + b̅ + c) + (d̅.d)] [((a̅ + b + c) + (d̅.d)) ((a̅ + b + c̅) + (d̅.d))]   :  a̅.a = 0
=> [(a + c̅ + d) + 0] [(a + b̅ + c) + 0] [((a̅ + b + c) + 0) ((a̅ + b + c̅) + 0)]   

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) [(a̅ + b + c) (a̅ + b + c̅)]   

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) [(a̅ + b) + c̅.c]   :  a̅.a = 0

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) [(a̅ + b) + 0]

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) (a̅ + b)

सरलीकृत POS:
योगों का न्यूनतम गुणनफल व्यंजक है: (a + b̅ + c) (a + c̅ + d) (a̅ + b)

इसलिए, सही विकल्प: 4) (a + b̅ + c) (a + c̅ + d) (a̅ + b) है।

संकल्पना

1.) डी-मॉर्गन के नियम से: \(\overline{A+B}=\overline{A}\space\overline{B}\)

2.) \(\overline{A}{A}=0\)

3.) \(\overline{A}+{A}=1\)

व्याख्या

\(Y=\rm\overline{(A+\bar{B}+C)+(B+\bar{C})}\)

डी-मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर:

\(Y=\overline{(A+\overline{B}+C)}\space \overline{(B+\overline{C})}\)

\(Y=(\overline{A}B\overline{C})\space (\overline{B}C)\)

\(Y=\overline{A}(B\overline {B})(C\overline {C})\)

Y = 0

बूलियन बीजगणित के FROM नियम से

1 + कोई भी चर = 1

अवधारणा:

सभी बूलियन बीजगणित नियमों को नीचे इस प्रकार दर्शाया गया है

गणना:

F = X̅ Z̅ + Y̅ Z̅ + Y Z̅ + XYZ

= X̅ Z̅ + Z̅ (Y̅ + Y) + XYZ

= X̅ Z̅ + Z̅ + XYZ

= Z̅ (1 + X̅) + XYZ

= Z̅ + XYZ

वितरक नियम का उपयोग करके

= (Z̅ + Z)(Z̅ + XY)

= Z̅ + XY 

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

दिया गया K-मैप निम्न है,

F = a'b'c+a'bc'+ab'c'+abc

F= a'(b'c+bc')+a (b'c'+bc)

F=a'(b⊕c)+a(b⊙c)

F=a'(b⊕c)+a(b⊕c)'

F=a⊕b⊕c

अत: सही उत्तर एक्सक्लूसिव OR है।

सही उत्तर विकल्प 4 है। 

K - मैप

F(A, B, C, D) = ∑ (0, 1, 2, 3, 6, 12, 13, 14, 15)

दो K - माप को दिए गए बूलियन फलन से बनाया जा सकता है

K - मैप 1 के लिए समीकरण AB + A'B' + A'CD' है। 

K - मैप 2 के लिए समीकरण AB +A'B' + BCD' है। 

• एक चर एक प्रतीक है जो 0 या 1 मान ले सकता है।
• एक शाब्दिक अभिव्यक्ति में एक चर या उसके पूरक का उपयोग होता है।
• एक पद एक स्तर पर शाब्दिक और संचालन द्वारा गठित अभिव्यक्ति है।

उदाहरण के लिए, निम्न फलन:

F1 = xy + xy'z + x'yz

3 चर  (x,y,z) हैं,

8 शाब्दिक (x,y,x,y',z,x',y,z), है और

4 पद (xy, xy'z, x'yz और OR पद जो प्रथम स्तर AND पदों को जोड़ता है)।

अवधारणा:

उपलक्षक: बुलियन फलन में SOP रुप या POS रुप में प्रत्येक मिनटर्म को एक उपलक्षक कहा जाता है।
उदाहरण के लिए,
F = AB + AC
AB और AC को उपलक्षक कहा जाता है।

रूढ़ उपलक्षक: सभी जोड़े जो किसी भी चतुष्क या सभी चतुष्कों का हिस्सा नहीं हो सकते हैं, जो कि K-मैप में किसी अष्टक का हिस्सा नहीं हो सकते हैं, उन्हें रूढ़ उपलक्षक कहा जाता है।

अनिवार्य रूढ़ उपलक्षक : वे रूढ़ उपलक्षक जो कम से कम एक मिनटर्म को कवर करते हैं, जिन्हें किसी अन्य रूढ़ उपलक्षकों द्वारा कवर नहीं किया जा सकता है।

गणना:

दिया है कि बूलियन फलन

F (A, B, C, D) = A'B'C'D + A'BCD' + ABC'D'

उपरोक्त बूलियन फलन के लिए, K – मैप प्रतिनिधित्व है:

इसलिए हम दिए गए फलन में तीन मिनटर्म देख सकते हैं।

अनिवार्य रूढ़ उपलक्षक भी तीन होते हैं क्योंकि वे किसी अन्य रूढ़ उपलक्षक द्वारा कवर नहीं किए जाते हैं।

इसलिए विकल्प (3) सही उत्तर है।

संकल्पना:

हम K-मैप की सहायता से दिए गए बूलियन फलन (फ़ंक्शन) को सरल बना सकते हैं।

K-मैप बूलियन व्यंजकों को सरल बनाने का एक व्यवस्थित तरीका है। K-मैप विधि की सहायता से, हम सबसे सरल POS और SOP व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं, जिसे न्यूनतम व्यंजक के रूप में जाना जाता है।

सत्य तालिका की तरह, K-मैप में निवेश चर के सभी संभावित मान और उनके संबंधित निर्गम (आउटपुट) मान होते हैं।

K-मैप विधि का उपयोग 2, 3, 4 और 5 चर वाले व्यंजकों के लिए किया जाता है।

गणना:

दिया गया है ;  F (x, y, z) = Σ(0, 2, 4, 5, 6) 

3 चर के-मैप:

कोष्ठिकाओं का समूहन नीचे दिखाया गया है

K-मैप से प्राप्त व्यंजक → F = z' + xy'

Additional Information 

नोट 1 - यदि निवेश के कुछ संयोजन के लिए निर्गम को परिभाषित नहीं किया गया है, तो उन निर्गम मानों को ' परवाह न करें' प्रतीक 'x' के साथ दर्शाया जाएगा। इसका अर्थ है, हम उन्हें '0' या '1' मान सकते हैं।

नोट 2 - यदि परवाह नहीं है शर्तें भी उपस्थित हैं, तो K-मैप के संबंधित सेल में 'x' जगह नहीं है। केवल 'x' की परवाह न करें पर विचार करें जो आसन्न लोगों की अधिकतम संख्या को समूहबद्ध करने में सहायक होते हैं। उन स्थितियों में, परवाह न करें मान को '1' के रूप में मानें।

n चर वाले बूलियन फलन के लिए रूढ़ उपलक्षकों की अधिकतम संख्या को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({{\rm{P}}_{{\rm{max}}}} = \frac{{{2^{\rm{n}}}}}{2} = {2^{{\rm{n}} - 1}} \)

n = 4 के साथ उदाहरण:

रूढ़ उपलक्षकों की अधिकतम संख्या = 2n-1 = 24 -1 = 8