Mean and Standard Deviation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean and Standard Deviation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर 11% है ।

अवधारणा:-

• त्रुटि विश्लेषण: सभी मापों और गणनाओं में, अनिश्चितता या त्रुटि की एक अंतर्निहित डिग्री होती है जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए और कम से कम किया जाना चाहिए। प्रयोगात्मक सटीकता में सुधार के लिए इस त्रुटि को पहचानना और गणना करना महत्वपूर्ण है।
• त्रुटि का प्रसार: जब गणना में त्रुटि वाले चर का उपयोग किया जाता है, तो गणितीय संक्रियाओं के माध्यम से त्रुटियाँ फैलती हैं। कुछ बुनियादी नियम, जैसे कि यहाँ इस्तेमाल किया गया है, परिणामी त्रुटि का अनुमान लगाने में मदद करते हैं।
• प्रतिशत त्रुटि: यह त्रुटि का एक सामान्यीकृत माप है, जो विभिन्न त्रुटियों की तुलना करने की अनुमति देता है, भले ही निरपेक्ष मात्राएं बहुत भिन्न हों।

स्पष्टीकरण:-

रेखीय वेग से गतिशील एक कण की गतिज ऊर्जा (KE) की अभिव्यक्ति निम्न समीकरण द्वारा दी गई है:

K.E. = 1/2 mv2

किसी मात्रा में प्रतिशत त्रुटि (जिसे सापेक्ष त्रुटि भी कहा जाता है) माप में त्रुटि को प्रतिशत के रूप में व्यक्त सटीक मान से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। जब मात्राओं को गुणा या भाग किया जाता है, तो प्रतिशत त्रुटियाँ जुड़ जाती हैं।

यह देखते हुए कि द्रव्यमान (m) के माप में प्रतिशत त्रुटि 3% है, और रैखिक वेग (v) में 4% है, कण की गतिज ऊर्जा में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि होगी:

KE में प्रतिशत त्रुटि = (m में प्रतिशत त्रुटि) + 2x (v में प्रतिशत त्रुटि)

चूँकि गतिज ऊर्जा के सूत्र में वेग पद का वर्ग किया जाता है, इसलिए वेग से जुड़ी प्रतिशत त्रुटि दोगुनी हो जाती है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

केई में प्रतिशत त्रुटि = 3% + 2 x 4% = 11%

निष्कर्ष:-

अतः सही उत्तर 11% है।

संकल्पना:-

• मानक विचलन सूत्र का उपयोग किसी विशेष डेटा के मानों के परिक्षिप्त को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। सरल शब्दों में, मानक विचलन को औसत माध्य से मानों या डेटा के विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है।
• कम मानक विचलन यह निष्कर्ष निकालता है कि मान उनके औसत के बहुत निकट हैं।
• जबकि उच्च मान का अर्थ है कि मान औसत मान से दूर हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मानक विचलन मान कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है।

मानक विचलन सूत्र (\(\sigma\)):

\(\sigma=\sqrt{\sum\frac{\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N-1}}\)

• σ = मानक विचलन
• x_i = डेटा में दिए गए पद
• x̄ = माध्य
• n = पदों की कुल संख्या

व्याख्या:-

झील के जल के नमूने में Pb के बार-बार मापन से Pb के 3.2, 5.2 और 7.2 ppb प्राप्त हुए।

इसलिए, x₁ = 3.2, x₂ = 5.2, x₃ = 7.2

इस प्रकार, माध्य (x̄) मान होगा

\(\rm \bar{x}=\left(\frac{3.2+5.2+7.2}{3}\right) p p b=5.2 \mathrm{ppb} \\\)

N = पदों की कुल संख्या

= 3

अब, मानक विचलन (s) होगा

\(\sigma=\sqrt{\sum\frac{\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N-1}}\)

\(\rm s=\sqrt{\frac{\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\left(x_3-\bar{x}\right)^2}{N-1}}\)

\(=\sqrt{\frac{(3.2-5.2)^2+(5.2-5.2)+(7.2-5.2)^2}{3-1}} p p b \\\)

\(\rm =\sqrt{\frac{2^2+0+2^2}{2}} p p b\)

\(=\sqrt{\frac{8}{2}} p p b\)

= 2 ppb

निष्कर्ष:-

• इसलिए, Pb के मापन में मानक विचलन है

2 ppb

संप्रत्यय:

मापों के एक समूह के औसत मान और मानक विचलन को ज्ञात करने के चरण:

1. सभी मापों को जोड़कर योग ज्ञात करें।

2. औसत मान ज्ञात करने के लिए योग को मापों की कुल संख्या से विभाजित करें। इसे माध्य भी कहा जाता है।

   माध्य = मापों का योग / मापों की संख्या

3. प्रत्येक माप और औसत मान के बीच अंतर की गणना करें। इसे विचलन कहा जाता है।

   विचलन = माप - माध्य

4. वर्ग विचलन प्राप्त करने के लिए प्रत्येक विचलन का वर्ग करें।

   वर्ग विचलन = विचलन²

5. वर्ग विचलनों का योग प्राप्त करने के लिए सभी वर्ग विचलनों को जोड़ें।

   वर्ग विचलनों का योग = वर्ग विचलनों का योग

6. प्रसरण प्राप्त करने के लिए वर्ग विचलनों के योग को मापों की संख्या से विभाजित करें।

7. प्रसरण = वर्ग विचलनों का योग / मापों की संख्या

8. प्रसरण का वर्गमूल लेकर मानक विचलन की गणना करें।

   मानक विचलन = \(\sqrt{प्रसरण}\)

व्याख्या:

→ औसत मान ज्ञात करने के लिए, हम सभी मानों को जोड़ते हैं और मापों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं:

(196 + 198 + 194 + 199 + 198) / 5 = 197

→ मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, हम पहले प्रसरण की गणना करते हैं।

→ प्रसरण प्रत्येक माप और औसत मान के बीच वर्ग अंतरों का औसत है:

((196 - 197)² + (198 - 197)² + (194 - 197)² + (199 - 197)² + (198 - 197)²) / 5 = 2.8

फिर, मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है:

\(\sqrt{2.8}\) ≈ 1.67

निष्कर्ष:
इसलिए, औसत मान के लिए निकटतम विकल्प 197 है और मानक विचलन के लिए 2 है, जो विकल्प 3 से मेल खाता है।

सही उत्तर 35 प्रतिशत है। 

Important Points

• विचरण गुणांक (CV) माध्य के आसपास आँकड़ों की शृंखला में आँकड़ों के बिंदुओं के प्रकीर्णन की एक सांख्यिकीय माप है। विचरण गुणांक, माध्य और मानक विचलन के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है और यह एक आँकड़ों की शृंखला से दूसरे में विचरण की कोटि की तुलना करने के लिए एक उपयोगी आँकडें हैं, भले ही माध्य एक दूसरे से बहुत भिन्न हों।

Key Points

• विचरण गुणांक (CV), माध्य और मानक विचलन का अनुपात होता है और जनसंख्या के माध्य के बारे में परिवर्तनशीलता की सीमा को दर्शाता है। CV जितना अधिक होगा, प्रकीर्णन उतना ही अधिक होगा।
• विचरण गुणांक (CV), माध्य के मानक विचलन का अनुपात है। विचरण गुणांक जितना अधिक होगा, माध्य के चारों ओर प्रकीर्णन का स्तर उतना ही अधिक होगा। यह आम तौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। इकाइयों के बिना, यह उन मानों के वितरण के बीच तुलना करने में सहायता करता है, जिनके माप के पैमाने तुलनीय नहीं हैं।
• विचरण गुणांक (CV), माध्य के आसपास आँकड़ों की शृंखला में आँकड़ों के सापेक्ष प्रकीर्णन का एक सांख्यिकीय माप है। यह माध्य और मानक विचलन के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है।
• CV एक आँकड़ों की शृंखला से दूसरी आँकड़ों की शृंखला में विचरण की कोटि की तुलना करने के लिए उपयोगी है, भले ही माध्य एक दूसरे से काफी भिन्न हों।
• वित्त में, विचरण गुणांक निवेशकों को यह निर्धारित करने में सहायता करता है है कि निवेश से अपेक्षित प्रतिफल की तुलना में कितनी अस्थिरता या जोखिम माना जाता है। माध्य प्रतिफल के लिए मानक विचलन का अनुपात जितना कम होगा, जोखिम-प्रतिफल समझौताकारी-समन्वयन उतना ही बेहतर होगा।
• विचरण गुणांक (CV) = (मानक विचलन/माध्य) × 100। मानक विचलन 7 है और माध्य 20 है।
•  \(CV = \frac{7}{20}\times100\) = 35%, इसलिए विचरण गुणांक 35% है।

Additional Information

• सांख्यिकी में, मानक विचलन मानों के एक समूह के विचरण या प्रकीर्णन की मात्रा की एक माप है। एक निम्न मानक विचलन इंगित करता है कि मान समूह के माध्य के करीब होते हैं, जबकि एक उच्च मानक विचलन इंगित करता है कि मान एक व्यापक श्रेणी में प्रकीर्णित हैं।
• मानक विचलन एक आँकड़ा है, जो आँकड़ों के किसी समूह के प्रकीर्णन को उसके माध्य के सापेक्ष मापता है और इसकी गणना विचरण के वर्गमूल के रूप में की जाती है। माध्य के सापेक्ष प्रत्येक आँकड़े के विचलन को निर्धारित करके मानक विचलन की गणना विचरण के वर्गमूल के रूप में की जाती है। यदि आँकड़ें माध्य से आगे हैं, तो आँकड़ों के समूह के भीतर उच्च विचलन होता है; इस प्रकार, आँकड़ें जितने प्रकीर्णित होते हैं, मानक विचलन उतना ही अधिक होता है।

वर्णन:

यादृच्छिक चर:

यादृच्छिक चर को एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम के साथ संयोजित वास्तविक संख्या x के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे दो प्रकार के होते हैं -

• असतत यादृच्छिक चर
• निरंतर यादृच्छिक चर

कुछ डेटा प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक हैं, जो नीचे दी गयी तालिका में दिया गया है।

धारणा:

N अवलोकनों का मानक विचलन निम्न द्वारा दिया गया है: \(\sigma = \sqrt {\frac{1}{N} \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}}\) जहाँ μ अंकगणितीय माध्य है।

गणना:

दिया हुआ: μ = 60, N =10 और \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {\left( {{x_i} - 50} \right)^2} = 5000\)

जैसा कि हम जानते हैं \(\mu = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^{10} {x_i}}}{{10\;}} = 60 \Rightarrow \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i} = 600\) 

\( \Rightarrow \mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {\left( {{x_i} - 50} \right)^2} = \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} x_i^2 - 100\;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i} + 25000 = 5000$\) -----(1)

समीकरण (1) में \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i} = 600\) के मान को प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} x_i^2 = 40000\)       -----(2)

जैसा कि हम जानते हैं कि, N अवलोकनों का मानक विचलन निम्नानुसार है: \(\sigma = \sqrt {\frac{1}{N} \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}}\) जहाँ μ अंकगणितीय माध्य है।

\(\Rightarrow {\sigma ^2} = \frac{1}{N}\; \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {\left( {{x_i} - \mu } \right)^2}\;\)

\(\Rightarrow {\sigma ^2} = \frac{1}{N} \times \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^{N\;} x_i^2 + {\mu ^2} \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N 1 - 2\mu \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {x_i}} \right)\;\)    ----(3)

समीकरण (3) में μ = 60, N =10, \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} x_i^2\;and\;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i}\) के मानों को प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

\( \Rightarrow {\sigma ^2} = 400\)

⇒ σ = 20

दिया गया है, 50 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन 16 के बराबर है।

माध्य, \(\left( \mu \right) = \frac{{\sum {x_i}}}{{50}} = \frac{{{x_1} + {x_2} + \ldots .{x_{50}}}}{{50}} = 16\)

∴ \(∑xi = 16 \times 50\)

मानक विचलन, \(\left( \sigma \right) = \sqrt {\frac{{\sum x_i^2}}{{50}} - {{(\mu )}^2}} = 16\)

\( \Rightarrow \frac{{\sum x_i^2}}{{50}} = \)256 x 2

अभीष्ट माध्य \( = \frac{{{{\left( {{x_1} - 4} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 4} \right)}^2} + \ldots {{\left( {{x_{50}} - 4} \right)}^2}}}{{50}}\)

\( = \frac{{\sum {{\left( {{x_i} - 4} \right)}^2}}}{{50}}\)

\( = \frac{{\sum x_i^2 + 16 \times 50 - 8\sum {x_i}}}{{50}}\)

\(= 256 \times 2 + 16 - 8 \times 16\)

वर्णन:

यादृच्छिक चर:

यादृच्छिक चर को एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम के साथ संयोजित वास्तविक संख्या x के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे दो प्रकार के होते हैं -

• असतत यादृच्छिक चर
• निरंतर यादृच्छिक चर

कुछ डेटा प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक हैं, जो नीचे दी गयी तालिका में दिया गया है।

संकल्पना:

• \({\rm{standard\;deviation}} = \sqrt {{\rm{Variance}}} \)
• \({\rm{Variance}} = {{\rm{\sigma }}^2} = \frac{{\sum {{\left( {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}} \right)}^2}}}{{\rm{n}}} - {\left( {\frac{{\sum {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}}} \right)^2}\)

गणना:

पिछले प्रश्न से,

नया अंतर = 144

अवधारणा:

विचरण का गुणांक (CV) = मानक विचलन/माध्य x 100

गणना:

दिया हुआ, 

\(\rm \overline X = 10\)

σ = 4

\(\rm CV ={\left({ \sigma \over \overline x}\right)\times 100}\)

∴ CV = \(\rm {4\over 10}\times100 = 40\)

इसलिए नया CV = \(\rm {\left({ \sigma \over \overline x\ +\ 10}\right)\times 100}\)

∴ नया CV =\(\rm {4\over (10\ +\ 10)}\times 100\)

∴ नया CV = 20

संप्रत्यय:

मापों के एक समूह के औसत मान और मानक विचलन को ज्ञात करने के चरण:

1. सभी मापों को जोड़कर योग ज्ञात करें।

2. औसत मान ज्ञात करने के लिए योग को मापों की कुल संख्या से विभाजित करें। इसे माध्य भी कहा जाता है।

   माध्य = मापों का योग / मापों की संख्या

3. प्रत्येक माप और औसत मान के बीच अंतर की गणना करें। इसे विचलन कहा जाता है।

   विचलन = माप - माध्य

4. वर्ग विचलन प्राप्त करने के लिए प्रत्येक विचलन का वर्ग करें।

   वर्ग विचलन = विचलन²

5. वर्ग विचलनों का योग प्राप्त करने के लिए सभी वर्ग विचलनों को जोड़ें।

   वर्ग विचलनों का योग = वर्ग विचलनों का योग

6. प्रसरण प्राप्त करने के लिए वर्ग विचलनों के योग को मापों की संख्या से विभाजित करें।

7. प्रसरण = वर्ग विचलनों का योग / मापों की संख्या

8. प्रसरण का वर्गमूल लेकर मानक विचलन की गणना करें।

   मानक विचलन = \(\sqrt{प्रसरण}\)

व्याख्या:

→ औसत मान ज्ञात करने के लिए, हम सभी मानों को जोड़ते हैं और मापों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं:

(196 + 198 + 194 + 199 + 198) / 5 = 197

→ मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, हम पहले प्रसरण की गणना करते हैं।

→ प्रसरण प्रत्येक माप और औसत मान के बीच वर्ग अंतरों का औसत है:

((196 - 197)² + (198 - 197)² + (194 - 197)² + (199 - 197)² + (198 - 197)²) / 5 = 2.8

फिर, मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है:

\(\sqrt{2.8}\) ≈ 1.67

निष्कर्ष:
इसलिए, औसत मान के लिए निकटतम विकल्प 197 है और मानक विचलन के लिए 2 है, जो विकल्प 3 से मेल खाता है।

धारणा:

N अवलोकनों का मानक विचलन निम्न द्वारा दिया गया है: \(\sigma = \sqrt {\frac{1}{N} \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}}\) जहाँ μ अंकगणितीय माध्य है।

गणना:

दिया हुआ: μ = 60, N =10 और \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {\left( {{x_i} - 50} \right)^2} = 5000\)

जैसा कि हम जानते हैं \(\mu = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^{10} {x_i}}}{{10\;}} = 60 \Rightarrow \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i} = 600\) 

\( \Rightarrow \mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {\left( {{x_i} - 50} \right)^2} = \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} x_i^2 - 100\;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i} + 25000 = 5000$\) -----(1)

समीकरण (1) में \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i} = 600\) के मान को प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} x_i^2 = 40000\)       -----(2)

जैसा कि हम जानते हैं कि, N अवलोकनों का मानक विचलन निम्नानुसार है: \(\sigma = \sqrt {\frac{1}{N} \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}}\) जहाँ μ अंकगणितीय माध्य है।

\(\Rightarrow {\sigma ^2} = \frac{1}{N}\; \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {\left( {{x_i} - \mu } \right)^2}\;\)

\(\Rightarrow {\sigma ^2} = \frac{1}{N} \times \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^{N\;} x_i^2 + {\mu ^2} \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N 1 - 2\mu \times \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {x_i}} \right)\;\)    ----(3)

समीकरण (3) में μ = 60, N =10, \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} x_i^2\;and\;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {x_i}\) के मानों को प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

\( \Rightarrow {\sigma ^2} = 400\)

⇒ σ = 20

दिया गया है, 50 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन 16 के बराबर है।

माध्य, \(\left( \mu \right) = \frac{{\sum {x_i}}}{{50}} = \frac{{{x_1} + {x_2} + \ldots .{x_{50}}}}{{50}} = 16\)

∴ \(∑xi = 16 \times 50\)

मानक विचलन, \(\left( \sigma \right) = \sqrt {\frac{{\sum x_i^2}}{{50}} - {{(\mu )}^2}} = 16\)

\( \Rightarrow \frac{{\sum x_i^2}}{{50}} = \)256 x 2

अभीष्ट माध्य \( = \frac{{{{\left( {{x_1} - 4} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 4} \right)}^2} + \ldots {{\left( {{x_{50}} - 4} \right)}^2}}}{{50}}\)

\( = \frac{{\sum {{\left( {{x_i} - 4} \right)}^2}}}{{50}}\)

\( = \frac{{\sum x_i^2 + 16 \times 50 - 8\sum {x_i}}}{{50}}\)

\(= 256 \times 2 + 16 - 8 \times 16\)

वर्णन:

यादृच्छिक चर:

यादृच्छिक चर को एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम के साथ संयोजित वास्तविक संख्या x के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे दो प्रकार के होते हैं -

• असतत यादृच्छिक चर
• निरंतर यादृच्छिक चर

कुछ डेटा प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक हैं, जो नीचे दी गयी तालिका में दिया गया है।

संकल्पना:

• \({\rm{standard\;deviation}} = \sqrt {{\rm{Variance}}} \)
• \({\rm{Variance}} = {{\rm{\sigma }}^2} = \frac{{\sum {{\left( {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}} \right)}^2}}}{{\rm{n}}} - {\left( {\frac{{\sum {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}}} \right)^2}\)

गणना:

पिछले प्रश्न से,

नया अंतर = 144