Integration using Partial Fractions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration using Partial Fractions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

हम जानते हैं कि समाकल इस रूप का है:

अब, हम स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए f(3) का दिया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं:

⇒

हमें दिया गया है कि:

⇒

f(3) के दो व्यंजकों की तुलना करने पर:

⇒

चूँकि दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि C = 0 है।

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

⇒

अब, हम f(4) की गणना कर सकते हैं:

⇒

इस प्रकार, f(4) का मान है:

⇒

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

अवधारणा:

आंशिक भिन्नों की अवधारणा का प्रयोग कीजिए,

और समाकलन के सूत्र का प्रयोग कीजिए, 

गणना:

आंशिक भिन्नों की अवधारणा का प्रयोग कीजिए,

अब, हरों की तिर्यक रूप से गुणा कीजिए, 

दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना कीजिए।

....(1)

...........(2) और

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,

तब A का मान प्रतिस्थापित करने पर, 

अब A और B का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

अब इन सभी मानों को समाकल में रखने पर, 

अतः विकल्प (2) सही है।

गणना:

दिया गया है:

⇒

समाकल निम्नवत हो जाता है:

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

दिया गया है:

माना

आंशिक भिन्न वियोजन का उपयोग करके:

चूँकि, अंश केवल 'x' है, B और D शून्य होने चाहिए।

दोनों पक्षों को से गुणा करने पर:

गुणांकों की तुलना करने पर:

प्रतिस्थापित करने पर:

माना

माना

दिया गया है

f(0) ज्ञात करना है:

∴

इसलिए विकल्प 1 सही है।

गणना

दिया गया समाकल है:

मान लीजिए,  और .

तब और .

खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:

मान लीजिए,  है, इसलिए  

समाकल बन जाता है:

से तुलना करने पर:

∴

संकल्पना:

आंशिक भिन्न:

गणना:

यहाँ हमें  का मान ज्ञात करना है। 

माना कि है। 

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) के दोनों पक्षों में x = 0 रखने पर हमें A = 1/2 प्राप्त होता है,

(1) के दोनों पक्षों में x = - 2 रखने पर हमें B = - 1/2 प्राप्त होता है,

चूँकि हम जानते हैं कि  जहाँ C एक स्थिरांक है। 

 जहाँ C एक स्थिरांक है। 

प्रयुक्त सूत्र:

logax - logay = 

गणना:

=

=

= ln x - + c

=   + c

=

∴  

 के बराबर है|

संकल्पना:

आंशिक भिन्न विधि का प्रयोग करने पर 

\(\rm 1\over (x-a).(x -b) \) =  + 

गणना:

I = \(\int \rm \frac{{dx}}{{(x-2)\;\left( {x - 1} \right)}}\)

⇒ \(\rm 1\over (x-2).(x -1) \) =  + 

⇒ 1 = A(x - 1) + B(x - 2)

दोनों पक्षों में गुणांक की तुलना करने पर

x का गुणांक A + B = 0 है। 

स्थिरांक 1 का गुणांक = -A - 2B

समीकरण को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

A = 1, B = -1

⇒ \(\int \rm \frac{{dx}}{{(x-2)\;\left( {x - 1} \right)}}\) = \(\int {dx\over (x-2)} \) - \(\int {dx\over (x-1)} \)

⇒ log|x - 2| - log|x - 1| + c       

=                              [∵ log m - log n = log()]

संकल्पना:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = + C ; n ≠ -1
•  + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

गणना:

I = 

I = 

I = 

I = 

I = ln (x - 1) + 4 ln (x + 4) + c

संकल्पना:

गणना:​

हल करना है:  

माना कि हम  में x2 = t ⇒2xdx = dt रखते हैं। 

⇒ 

यह समाकल्य एक उपयुक्त परिमेय भिन्न है। इसलिए, आंशिक भिन्न के रूप का प्रयोग करने पर, हम इसे निम्न रूप से लिखते हैं

⇒ 

⇒ t = At + 7A + B 

t का गुणांक और दोनों पक्षों पर स्थिरांक पदों की तुलना करने पर, हमें A = 1 और 7A + B = 0 प्राप्त होता है

इन समीकरणों को हल करने पर, हमें A = 1 और B = -7 प्राप्त होता है

⇒ 

⇒ \(\rm \int\frac{t}{(t+7)^2}dt=log\left | t+7 \right |+\frac{7}{(t+7)}+C\) 

अब उपरोक्त समीकरण में t = x² रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ \(\rm \int\frac{2x^3}{(x^2+7)^2}dx=log\left | x^2+7 \right |+\frac{7}{(x^2+7)}+C\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

साथ ही, sin (π/2 - x) = cos x 
और cos (π/2 - x) = sin x 
 

साथ ही, 

गणना:

माना 
 ⇒ 
 ⇒ 
(1) और (2) को जोड़ने पर,
 ⇒ 
 ⇒ 

अब, माना

⇒ 

⇒ 

tan x/2 = t रखने पर, 
 ⇒ 
 ⇒ 

⇒ I₁
⇒ I1 
⇒ I1
⇒ I1 
⇒ I1 
 ⇒I1 
⇒ I1 
I में I₁ का उपर्योग करने पर, 

संकल्पना:

आंशिक भिन्न:

गणना:

यहाँ हमें  का मान ज्ञात करना है। 

माना कि e^x = t है और x के संबंध में ex = t का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ e^x dx = dt या dx = dt/e^x = dt/t

माना कि है।

⇒ 1 = A (t - 1) + B t ---------(1)

(1) के दोनों पक्षों पर t = 0 रखने पर हमें A = - 1 प्राप्त होता है

(1) के दोनों पक्षों पर t = 1 रखने पर हमें B = 1 प्राप्त होता है

चूँकि हम जानते हैं कि   जहाँ C एक स्थिरांक है। 

उपरोक्त समीकरण में ex = t रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

संकल्पना:

∫ 1 dx = x + स्थिरांक

गणना:

दिया हुआ:

माना कि,

..... (i)

.... (ii)

(3x - 2) = A (x - 1) + B (x - 2)

x = 1 के लिए

(3 (1) - 2) = B (1 - 2)

B = -1

x = 2 के लिए

(3 (2) - 2) = A (2 - 1)

A = 4

समीकरण (ii) से

अब समीकरण (i) से

x - log |x - 1| + 4 log |x - 2| + c

जहाँ c एक मनमाना स्थिरांक है।

संकल्पना:

आंशिक भिन्न:

गणना:

यहाँ हमें  का मान ज्ञात करना है। 

माना कि log x  = t और dx/x = dt है। 

⇒ 1 = A (3t + 2) + B (2t + 1) --------(1)

(1) के दोनों पक्षों में t = - 1/2 रखने पर हमें A = 2 प्राप्त होता है,

(1) के दोनों पक्षों में t = - 2/3 रखने पर हमें B = - 3 प्राप्त होता है,

चूँकि हम जानते हैं कि    जहां C एक स्थिरांक है 

उपरोक्त समीकरण (1) में log x  = t रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

दिया गया है:

अवधारणा:

आंशिक भिन्नों की अवधारणा का प्रयोग कीजिए,

और समाकलन के सूत्र का प्रयोग कीजिए, 

गणना:

आंशिक भिन्नों की अवधारणा का प्रयोग कीजिए,

अब, हरों की तिर्यक रूप से गुणा कीजिए, 

दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना कीजिए।

....(1)

...........(2) और

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,

तब A का मान प्रतिस्थापित करने पर, 

अब A और B का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

अब इन सभी मानों को समाकल में रखने पर, 

अतः विकल्प (2) सही है।