Degrees of Freedom and Molar Specific Heats MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Degrees of Freedom and Molar Specific Heats - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

एक द्विपरमाणुक गैस अणु में सामान्यतः होता है:

- 3 स्थानांतरीय स्वातंत्र्य कोटि

- 2 घूर्णी स्वातंत्र्य कोटि (बंध के लंबवत अक्षों के बारे में)

यदि अणु में 1 कंपन विधा भी है, तो यह 2 अतिरिक्त स्वातंत्र्य कोटि (1 स्थितिज ऊर्जा के लिए और 1 गतिज ऊर्जा के लिए) योगदान करता है, क्योंकि प्रत्येक कंपन विधा 2 कोटि योगदान करती है।

स्वातंत्र्य कोटियों की कुल संख्या, f = 3 + 2 + 2 = 7

अब, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा:

C_V = (f R) / 2 = (7 R) / 2

गणना:

हमें रुद्धोष्म सूचकांक (γ) का अनुपात दिया गया है:

γA / γB = [(fA + 2) / fA] × [fB / (fB + 2)]

मान प्रतिस्थपित करने पर :

= (3 + 2)/3 × (6 + 2)/(6 + 2 + 2)

= (5/3) × (8/10)

= 40 / 30

इसलिए:

40 / 30 = 1 + (1/n)

⇒ (40 / 30) - 1 = 1/n

⇒ 10 / 30 = 1/n

⇒ n = 3

अवधारणा:

स्वतंत्रता की कोटि (f):

किसी अणु की स्वतंत्रता की कोटि उन स्वतंत्र तरीकों की संख्या को संदर्भित करती है जिनसे अणु गति कर सकता है या ऊर्जा संग्रहीत कर सकता है। विभिन्न प्रकार की गैसों के लिए:

• बहुपरमाणुक गैस: f=3 (स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि)
• द्विपरमाणुक गैस: f=5 (3 स्थानान्तरणीय + 2 घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि)
• बहुपरमाणुक गैस: f≥6 (स्थानांतरीय, घूर्णी और कंपन स्वतंत्रता की कोटि शामिल है)

गैसों का मिश्रण:

गैसों के मिश्रण के लिए, स्वतंत्रता की प्रभावी कोटि f_eq
व्यक्तिगत गैसों की स्वतंत्रता की कोटि के भारित औसत द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

\(\mathrm{f}_{\mathrm{eq}}=\frac{\mathrm{n}_1 \mathrm{f}_1+\mathrm{n}_2 \mathrm{f}_2}{\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2}\)

यहां, n और और क्रमशः गैस के मोलों की संख्या और स्वतंत्रता की कोटि हैं।

गणना:

\(\mathrm{f}_{\mathrm{eq}}=\frac{\mathrm{n}_1 \mathrm{f}_1+\mathrm{n}_2 \mathrm{f}_2}{\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2}\)

द्विपरमाणुक गैस के लिए feq = 5 

\(5=\frac{(\mathrm{N})(6)+(2)(3)}{\mathrm{N}+2}\)

5N + 10 = 6N + 6 

N = 4 

∴ सही विकल्प 3) है। 

अवधारणा:

नियत आयतन पर मिश्रण की मोलर-विशिष्ट ऊष्मा ज्ञात करने के लिए, हमें एकपरमाणुक और द्विपरमाणुक दोनों गैसों की विशिष्ट ऊष्मा क्षमताओं का उपयोग करने की आवश्यकता है।

एक एकपरमाणुक गैस के लिए C_v = 3/2 R

एक द्विपरमाणुक गैस के लिए Cv = 5/2 R

गणना:

C_V = \(\frac{\mathrm{n}_1 \mathrm{C}_{\mathrm{v}_1}+\mathrm{n}_2 \mathrm{C}_{\mathrm{v}_2}}{\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2}\)

⇒ CV= \(\frac{2 \times \frac{3}{2} R+6 \times \frac{5}{2} R}{2+6}\)

⇒ CV= \(\frac{9}{4}\)R

∴ नियत आयतन पर मिश्रण की मोलर-विशिष्ट ऊष्मा \(\frac{9}{4}R\) है। 

संप्रत्यय:

स्वातंत्र्य की कोटियाँ:

• स्वातंत्र्य की कोटियाँ किसी निकाय के उन स्वतंत्र तरीकों की संख्या को संदर्भित करती हैं जिनमें वह बिना किसी बाधा का उल्लंघन किए गति कर सकता है।
• एक द्विपरमाणुक अणु के संदर्भ में, हम स्थानांतरीय, घूर्णी और कंपन स्वातंत्र्य की कोटियों पर विचार करते हैं।

स्थानांतरीय स्वातंत्र्य की कोटियाँ:

• एक द्विपरमाणुक अणु 3-आयामी अंतरिक्ष में गति कर सकता है, जिससे 3 स्थानांतरीय स्वातंत्र्य की कोटियाँ प्राप्त होती हैं।

घूर्णी स्वातंत्र्य की कोटियाँ:

• एक द्विपरमाणुक अणु बंधन अक्ष के लंबवत दो लंबवत अक्षों के परितः घूम सकता है, जिससे 2 घूर्णी स्वातंत्र्य की कोटियाँ प्राप्त होती हैं।
• बंधन अक्ष के चारों ओर घूर्णन जड़त्व के छोटे आघूर्ण के कारण नगण्य होता है।

कंपन स्वातंत्र्य की कोटियाँ:

• दृढ़ घूर्णक मॉडल में, कंपन स्वातंत्र्य की कोटियों पर विचार नहीं किया जाता है।

गणना:

दिया गया है,

स्थानांतरीय स्वातंत्र्य की कोटियाँ = 3

घूर्णी स्वातंत्र्य की कोटियाँ = 2

एक दृढ़ घूर्णक के रूप में माने जाने वाले द्विपरमाणुक अणु के लिए स्वातंत्र्य की कुल कोटियाँ हैं,

⇒ स्थानांतरीय स्वातंत्र्य की कोटियाँ + घूर्णी स्वातंत्र्य की कोटियाँ

⇒ 3 + 2

⇒ 5

∴ सही उत्तर 5 है।

अवधारणा:

स्वातंत्र्य कोटि:

• एक यांत्रिक प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि (DOF) स्वतंत्र प्राचल की संख्या है जो इसके विन्यास को परिभाषित करती है।
• दिक-स्थान में एक कठोर निकाय की स्थिति और अभिविन्यास को स्थानांतरण के तीन घटकों और घूर्णन के तीन घटकों द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसमें छह स्वातंत्र्य कोटि है।

व्याख्या:

• एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक निकाय की एक पूर्ण के रूप में गति को स्थानांतरण कहा जाता है।
• इस प्रकार, दिक-स्थान में घूर्णन करने के लिए एक अणु की तीन स्थानांतरण स्वातंत्र्य कोटियाँ हैं।
  • एकपरमाण्विक गैस के अणु में केवल स्थानांतरण स्वातंत्र्य कोटि होती है।
• स्थान में घूमने के लिए स्वतंत्र एकपरमाणुक अणु में स्वातंत्र्य की 3 स्थानांतरीय डिग्रियाँ होती हैं।
• यदि एक अणु एक रेखा के अनुदिश चलने के लिए बाध्य होता है तो उसे खोजने के लिए एक निर्देशांक की आवश्यकता होती है। इस प्रकार इसमें एक रेखा में गति के लिए एक स्वातंत्र्य कोटि होती है।
• यदि एक अणु एक समतल में चलने के लिए बाध्य होता है तो उसे खोजने के लिए दो निर्देशांकों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार इसमें एक समतल में गति के लिए दो स्वातंत्र्य कोटियाँ होती हैं। इसलिए विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

• किसी पदार्थ की मोलर ऊष्मा धारिता को ऊष्मा की उस मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो 1ºC द्वारा पदार्थ के 1 मोल के तापमान को बढ़ाने के लिए आवश्यक है।

मोलर विशिष्ट ऊष्मा के दो प्रकार होते हैं-

• नियत आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता: इसे स्थिर आयतन पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।
• नियत दबाव पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता: इसे स्थिर दबाव पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।
• यदि नियत दबाव (Cp) पर विशिष्ट ऊष्मा नियत आयतन (CV) पर विशिष्ट ऊष्मा से अधिक है तो गैस नियतांक इस प्रकार होगा CP - CV = R और इस संबंध को मेयर के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

जहाँ, R = गैस स्थिरांक, n = पदार्थ का मोलर द्रव्यमान, Cp= नियत दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा, CV =नियत आयतन में मोलर विशिष्ट ऊष्मा।

स्पष्टीकरण :

जैसा कि हमारे पास मेयर का सूत्र निम्न है;

CP - CV = R; CP  = R + Cv....(i)

इसके अलावा Cv = f/2 R ... (जहां, f = स्वतंत्रता की कोटि = एकपरमाणुक गैसों के लिए 3)

इसलिए, समीकरण (i) बन जाता है,

CP = R + (3/2)R = (5/2)R

Key Points

• एकपरमाणुक गैस की स्वतंत्रता की कोटि 3 है
• द्विपरमाणुक गैस की स्वतंत्रता की कोटि 5 है
• परमाणुक गैस की स्वतंत्रता की कोटि 7 है

संकल्पना:

• स्थिर आयतन पर गैस की ग्राम अणुक विशिष्ट ऊष्मा क्षमता को स्थिर आयतन पर 1 ° C से गैस के 1 mol के तापमान में वृद्धि करने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\({C_v} = {\left( {\frac{{\Delta Q}}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;volume}}\)

• स्थिर दाब पर किसी गैस की ग्राम अणुक विशिष्ट ऊष्मा को स्थिर दाब पर 1 ° C से गैस के 1 mol के तापमान में वृद्धि करने के लिए  आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\({C_p} = {\left( {\frac{{\Delta Q}}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;pressure}}\)

• स्वतंत्रता की डिग्री के साथ Cp और Cv के अनुपात के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\gamma = \frac{{{C_p}}}{{{C_v}}} = 1 + \frac{2}{f}\)

जहाँ f = स्वतंत्रता की डिग्री 

स्पष्टीकरण:

• स्वतंत्रता की डिग्री के साथ Cp और Cv के अनुपात के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow \gamma = \frac{{{C_p}}}{{{C_v}}} = 1 + \frac{2}{f}\)

• द्विपरमाणुक गैस में स्वतंत्रता की डिग्री 5 होती है।

\(\Rightarrow \gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5 +2}{5} = \frac{7}{5} \)

स्वातंत्र्य कोटि:

• एक यांत्रिक प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि (DOF) स्वतंत्र प्राचल की संख्या है जो इसके विन्यास को परिभाषित करती है।
• दिक-स्थान में एक कठोर निकाय की स्थिति और अभिविन्यास को स्थानांतरण के तीन घटकों और घूर्णन के तीन घटकों द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसमें छह स्वातंत्र्य कोटि है।
• यह N = 3A - R द्वारा दिया गया है।

जहां A = प्रणाली में कणों की संख्या और R =कणों के बीच संबंधों की संख्या है।

व्याख्या:

• एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक पूरे निकाय की गति को स्थानांतरण कहा जाता है।
• एक द्वि-परमाण्विक गैस जैसे हाइड्रोजन, ऑक्सीजन, नाइट्रोजन आदि के अणुओं में दो परमाणु होते हैं।
• इस प्रकार,द्वि-परमाण्विक का एक अणु दिक-स्थान में स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र है जिसकी तीन स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि और दो घूर्णन की स्वतंत्रता की कोटि है।

एक द्वि-परमाण्विक गैस के लिए,

प्रणाली में कण की संख्या (A) = 2

कणों के बीच संबंधों की संख्या (R) = 1

• स्वतंत्रता की कोटि की संख्या निम्न है

⇒ N = 3 × 2 -1 = 5

• इस प्रकार ऑक्सीजन के अणु दिक-स्थान में स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र हैं और 5 स्थानांतरण की स्वतंत्रता की कोटि है। इसलिए विकल्प 3 सही है।                 

अवधारणा:

स्वातंत्र्य कोटि:

• एक यांत्रिक प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि (DOF) स्वतंत्र प्राचल की संख्या है जो इसके विन्यास को परिभाषित करती है।
• दिक-स्थान में एक कठोर निकाय की स्थिति और अभिविन्यास को स्थानांतरण के तीन घटकों और घूर्णन के तीन घटकों द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसमें छह स्वातंत्र्य कोटि है।
• यह N = 3A - R द्वारा दिया जाता है।

जहां A = प्रणाली में कणों की संख्या और R = कणों के बीच संबंधों की संख्या है।

व्याख्या:

• एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक निकाय की एक पूर्ण के रूप में गति को स्थानांतरण कहा जाता है।
• इस प्रकार, दिक-स्थान में घूर्णन करने के लिए एक अणु की तीन स्थानांतरण स्वातंत्र्य कोटियाँ हैं।
  • एकपरमाण्विक गैस के अणु में केवल स्थानांतरण स्वातंत्र्य कोटि होती है।

एकपरमाण्विक गैस के लिए,

प्रणाली में कण की संख्या (A) = 1

कणों के बीच संबंधों की संख्या (R) = 0

• स्वातंत्र्य कोटि की संख्या

⇒ N = 3A - R = 3

• स्थान में घूमने के लिए स्वतंत्र एकपरमाणुक अणु में स्वातंत्र्य की 3 स्थानांतरीय डिग्रियाँ होती हैं।

अवधारणा :

• स्थिर आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को स्थिर आयतन पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

\({C_v} = {\left( {\frac{{\Delta Q}}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;volume}}\)

• स्थिर दबाव पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को स्थिर दबाव पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

\({C_p} = {\left( {\frac{{\Delta Q}}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;pressure}}\)

• स्वतंत्रता की डिग्री के साथ Cp और Cv के अनुपात के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\gamma = \frac{{{C_p}}}{{{C_v}}} = 1 + \frac{2}{f}\)

जहाँ f = स्वतंत्रता की डिग्री

व्याख्या:

• स्वतंत्रता की डिग्री के साथ Cp और Cv के अनुपात के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow \gamma = \frac{{{C_p}}}{{{C_v}}} = 1 + \frac{2}{f}\)

एकपरमाणुक गैस में स्वतंत्रता की 3 डिग्री होती है

\(\Rightarrow \gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3 +2}{3} = \frac{5}{3} \)

अवधारणा:

• स्वतंत्रता की कोटि (DOF): स्वतंत्र तरीके की संख्या जिसके द्वारा गैस अणु उस पर लागू बिना किसी भी बाधा के चल सकते है को स्वतंत्रता की कोटि की संख्या कहा जाता है।
  • एकपरमाणुक अणु के लिए f = 3
  • द्विपरमाणुक अणु के लिए f = 5 

गणना:

• एक द्विपरमाणुक अणु में स्वतंत्रता की कोटि = 5 है, क्योंकि
• यह xy और z- दिशा में स्थानांतरित गति में चल सकता है।
• तो स्थानांतरित गति के कारण स्वतंत्रता की कोटि = 3
• घूर्णी गति के कारण , स्वतंत्रता की कोटि = 2

तो स्वतंत्रता की कुल कोटि = 3 + 2 = 5

• इसलिए सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

• विशिष्ट ऊष्मा या विशिष्ट ऊष्मा धारिता (C): तापमान को 1 डिग्री सेल्सियस तक बढ़ाने के लिए पिंड के एक इकाई द्रव्यमान के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा है।. इसे C द्वारा दर्शाया जाता है।
  • यह प्रत्येक पदार्थ के लिए अलग है।
• द्विपरमाणुक गैस की विशिष्ट ऊष्मा धारिता :

  स्वतंत्रता की कुल डिग्री (f) = 3 स्वतंत्रता की घूर्णन डिग्री + 3 स्वतंत्रता की स्थानांतरीय डिग्री +1 स्वतंत्रता की कंपन डिग्री = 7

  नियत दबाव पर और नियत आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा के बीच संबंधनिम्न द्वारा दिया जाता है:

CP – Cv = R

Cv = (f R)/2 और CP = (f + 2) R/ 2

जहां R सार्वभौमिक गैस नियतांक है

व्याख्या:

द्विपरमाणुक अणु के लिए : स्वतंत्रता की डिग्री  (f) = 7

नियत दबाव पर विशिष्ट ऊष्मा धारिता (CP) = (f + 2) R/ 2 = (7 + 2) R/ 2 = 9R/2.

इसलिए विकल्प 3 सही है

अवधारणा :

• स्थिर आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को स्थिर आयतन पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

\({C_v} = {\left( {\frac{\Delta Q}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;volume}}\)

• स्थिर दबाव पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को स्थिर दबाव पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

\({C_p} = {\left( {\frac{{\Delta Q}}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;pressure}}\)

• दो प्रमुख विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात γ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\therefore \gamma = \frac{{{C_p}}}{{{C_v}}}\)

• γ का मान गैस की परमाणुता पर निर्भर करता है।

व्याख्या:

• यदि एक द्विपरमाणुक गैस अणु दृढ घूर्णक नहीं है और इसके अलावा इसमें एक कंपन मोड है तो द्विपरमाणुक गैस अणुओं के एक ग्राम से जुड़ी कुल ऊर्जा है

\(⇒ U=\frac{7}{2}RT\)

जैसा कि हम जानते हैं,

\(\Rightarrow C_v=\frac{dU}{dt}\)

\(\Rightarrow dU=\frac{d}{dT}(\frac{7}{2}RT)=\frac{7}{2}R\)

• स्थिर आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता \(C_v=\frac{7}{2}R\)।

अवधारणा :

• स्थिर आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को स्थिर आयतन पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

\({C_v} = {\left( {\frac{\Delta Q}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;volume}}\)

• स्थिर दबाव पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को स्थिर दबाव पर गैस के 1 मोल के तापमान को 1 °C तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

\({C_p} = {\left( {\frac{{\Delta Q}}{{n\Delta T}}} \right)_{constant\;pressure}}\)

• दो प्रमुख विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात γ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\therefore \gamma = \frac{{{C_p}}}{{{C_v}}}\)

• γ का मान गैस की परमाणुता पर निर्भर करता है।

व्याख्या:

• एक बहुपरमाणुक गैस अणु में सामान्य रूप से तीन स्वतंत्रता की स्थानांतरीय डिग्री, तीन स्वतंत्रता की घूर्णी डिग्री और कंपनशील मोड की निश्चित संख्या 'f' होती है, इसलिए ऐसी गैस की एक मोल की कुल ऊर्जा होती है।

⇒ U= (3 + f)RT

जैसा कि हम जानते हैं,

\(\Rightarrow C_v=\frac{dU}{dt}\)

\(\Rightarrow dU=\frac{d}{dT}(3+f)RT=(3+f)R\)

• स्थिर आयतन पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता Cv = (3 + f)R है ।