Continuous Random Variable MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuous Random Variable - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

• जब हम घनत्व फलन को एक अंतराल पर समाकलन करते हैं, तो हमें उस अंतराल के लिए प्रायिकता प्राप्त होती है, अर्थात्;
  

P(a ≤ x ≤ b) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_x\left(x\right)dx$

• साथ ही, x के सभी मानों के लिए,
  

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)=1.$

गणना:

दिया है: यहाँ, 1/(b - a) = 1/3

∴ $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{3},-1\le x\le 2\\ 0,otherwise\end{array}$

$\begin{array}{rl}& P\left(\left|x\right|\le \frac{1}{2}\right)=P\left(\frac{-1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ & =\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}\end{array}$

संकल्पना:

• जब हम घनत्व फलन को एक अंतराल पर समाकलन करते हैं, तो हमें उस अंतराल के लिए प्रायिकता प्राप्त होती है, अर्थात्

P(a ≤ x ≤ b) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_x\left(x\right)dx$

• साथ ही, x के सभी मानों के लिए,

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)=1.$

गणना:

दिया है: 

चूँकि $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx=1$

∴ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kdx=1$  or, k(b – a) = 1

∴ k = $\frac{1}{\left(b-a\right)}$

संकल्पना:

हम जानते हैं, मान्य PDF के लिए:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X\left(x\right)=1$

साथ ही, f_X(x) ≥ 0

गणना:

pdf का ग्राफ त्रिकोणीय रूप में दिया गया है, जिसकी आधार लंबाई 3 और ऊंचाई λ है।

हम जानते हैं, मान्य PDF के लिए:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X\left(x\right)=1$

$\Rightarrow 0+{\int }_{-2}^1{f}_X\left(x\right)+0=1$

उपरोक्त x ϵ[-2, 1] के बीच वक्र के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व कर रहा है।

⇒ 1/2 (आधार) × उंचाई = 1 

⇒ 1/2 (1- (-2)) × λ = 1 

⇒ λ = 2/3

संकल्पना:

• जब हम घनत्व फलन को एक अंतराल पर समाकल करते हैं, तो हमें उस अंतराल के लिए प्रायिकता प्राप्त होती है, अर्थात्;

P(a ≤ x ≤ b) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_x\left(x\right)dx$

• साथ ही, x के सभी मानों के लिए,

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)=1.$

गणना:

दिया है:  

•  x-अक्ष से घिरे फलन  $e^{-x^2}$,  x ϵ (- ∞, ∞) के वक्र के नीचे का क्षेत्र √π है

$\Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx=\sqrt{\pi }$

$\Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K{e}^{-x^2}=1$

$\Rightarrow k.\sqrt{\pi }=1$

$\Rightarrow k=\frac{1}{\sqrt{\pi }}$

संकल्पना:

• जब हम घनत्व फलन को एक अंतराल पर समाकल करते हैं, तो हमें उस अंतराल के लिए प्रायिकता प्राप्त होती है, अर्थात्;

P(a ≤ x ≤ b) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_x\left(x\right)dx$

• साथ ही, x के सभी मानों के लिए,

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)=1.$

गणना:

दिया है:  f(x)$=\frac{K}{1+x^2}$, -∞ < x < ∞ 

$\Rightarrow {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{K}{1+x^2}=1$

$\Rightarrow 2k{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2}=1$

$\Rightarrow 2k[{\tan }^{-1}x{]}_0^{\mathrm{\infty }}=1$

$\Rightarrow 2k\left[\frac{\pi }{2}-0\right]=1$

$\Rightarrow k=\frac{1}{\pi }$

संकल्पना:

किसी भी यादृच्छिक चर x के लिए x का प्रसरण x और उसके प्रत्याशित मान के बीच के वर्ग अंतर का प्रत्याशित मान है अर्थात

Var(x) = E(x2) - (E(x))2

E(x2) = Var(x) + (E(x))2

जहाँ, E(x2) = प्रत्याशित वर्ग मान; E(x) = प्रत्याशित मान;

गणना:

दिया गया:

Var(x) = 1; E(x) = 5;

E(x2) = Var(x) + (E(x))2 = 1 + (5)2

E(x2) = 26

प्रायिकता घनत्व फलन:

यह विभिन्न यादृच्छिक चर (R.V) के लिए कुल प्रायिकता के वितरण को दर्शाता है।

$f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$

f(x) : pdf (प्रायिकता घनत्व फलन)

F(x) : PDF (प्रायिकता वितरण फलन)

• चूंकि X अंतराल [a, b] में असंख्य कई मानों के साथ एक निरंतर यादृच्छिक चर है, प्रायिकता है कि X [a, b] के भीतर किसी भी विशिष्ट मान को लेता है शून्य है।
• ऐसा इसलिए है क्योंकि एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) यादृच्छिक चर के विभिन्न मानों पर लेने की सापेक्ष प्रायिकता का वर्णन करता है, और किसी भी विशिष्ट मान के लिए, उस मान पर PDF वक्र के तहत क्षेत्र शून्य है।
• इसलिए, अंतराल [a, b] में किसी भी C के लिए P{ X = C} = 0 है। इसके बजाय, X के मानों की एक सीमा के भीतर आने की प्रायिकता की गणना उस सीमा पर PDF वक्र के तहत क्षेत्र का पता लगाकर की जा सकती है।

महत्वपूर्ण सूचना:

pdf के गुण:

1) ${\int }_{-a}^{x}f\left(x\right)dx=1$ (या) कुल क्षेत्रफल = 1

2) $P\left[x\le x_1\right]=F\left(x_1\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x_1}f\left(x\right)dx$

3) $P\left[x>x_1\right]=1-F\left(x_1\right)={\int }_{x_1}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx$ 

4) $P\left[x_1<x\le x_2\right]={\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx$

प्रायिकता घनत्व फलन :

यह विभिन्न यादृच्छिक चरों (RV) के लिए कुल प्रायिकता के वितरण को इंगित करता है

$f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$

f(x) : pdf (प्रायिकता घनत्व फलन)

F(x) : PDF (प्रायिकता वितरण फलन)

एक सतत RV के लिए 'x' के एक विशेष मान पर घटित होने की प्रायिकता 'शून्य' होगी। [क्षेत्र शून्य के करीब पहुंचता है]।

चूँकि दिया गया RV सतत है और आवर्त/अंतराल [a, b] है:

P[x = c] शून्य होगा।

∴ P[x = 8] शून्य होगा।

महत्वपूर्ण नोट्स :

pdf के गुण:

1) ${\int }_{-a}^{x}f\left(x\right)dx=1$ (या) कुल क्षेत्रफल = 1

2) $P\left[x\le x_1\right]=F\left(x_1\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x_1}f\left(x\right)dx$

3) $P\left[x>x_1\right]=1-F\left(x_1\right)={\int }_{x_1}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx$

4) $P\left[x_1<x\le x_2\right]={\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx$

असतत R.V. के लिए प्रायिकताओं को एक विशेष मान पर परिभाषित किया जाता है जबकि सतत RV प्रायिकताओं को एक विशेष अंतराल के लिए परिभाषित किया जाता है।

संकल्पना:-

• हम जानते हैं कि प्रायिकता घनत्व फलन (P.D.F) के अंतर्गत क्षेत्रफल 1 के बराबर है

$\Rightarrow 1={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}^{}\mathrm{d}x$

गणना:

दिया गया है: $f(x)=\frac{e^{-}\frac{x}{2}}{K}$

$1={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x/2}}{k}dx$

$\Rightarrow k={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x/2}dx$

$\Rightarrow k={\frac{e^{-x/2}}{-1/2}|}_0^{\mathrm{\infty }}$

$\Rightarrow k=-2[0-1]$

⇒ k = 2 

• तो सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

किसी दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन f(x) के मान्य होने के लिए, पूर्ण श्रेणी में इसका समाकलन 1 के बराबर होना चाहिए।

गणितीय रूप से, इसे संतुष्ट करना चाहिए:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)=1$

गणना:

$P\left(0.5<x<5\right)=\underset{0.5}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$

$=\underset{0.5}{\overset{1}{\int }}0.6dx+\underset{1}{\overset{4}{\int }}0.2dx+\underset{4}{\overset{5}{\int }}0dx$

= 0.6 × 0.5 + 0.2 × 3 = 0.90

संकल्पना:

किसी भी यादृच्छिक चर x के लिए x का प्रसरण x और उसके प्रत्याशित मान के बीच के वर्ग अंतर का प्रत्याशित मान है अर्थात

Var(x) = E(x2) - (E(x))2

E(x2) = Var(x) + (E(x))2

जहाँ, E(x2) = प्रत्याशित वर्ग मान; E(x) = प्रत्याशित मान;

गणना:

दिया गया:

Var(x) = 1; E(x) = 5;

E(x2) = Var(x) + (E(x))2 = 1 + (5)2

E(x2) = 26

संकल्पना:

• जब हम घनत्व फलन का एक अंतराल पर समाकलन करते हैं, तो हमें उस अंतराल के लिए प्रायिकता प्राप्त होती है, अर्थात्।

P(a ≤ x ≤ b) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_x\left(x\right)dx=1$

जहाँ fx(x), a ≤ x ≤ b के लिए परिभाषित कोई भी घनत्व फलन है।

स्पष्टीकरण:

• एक संतत यादृच्छिक चर के मामले में,एक बिंदु पर प्रायिकता = 0
• तो, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

• जब हम घनत्व फलन को एक अंतराल पर समाकल करते हैं, तो हमें उस अंतराल के लिए प्रायिकता प्राप्त होती है, अर्थात्;

P(a ≤ x ≤ b) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_x\left(x\right)dx$

• साथ ही, x के सभी मानों के लिए,

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)=1.$

गणना:

दिया है:  f(x)$=\frac{K}{1+x^2}$, -∞ < x < ∞ 

$\Rightarrow {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{K}{1+x^2}=1$

$\Rightarrow 2k{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2}=1$

$\Rightarrow 2k[{\tan }^{-1}x{]}_0^{\mathrm{\infty }}=1$

$\Rightarrow 2k\left[\frac{\pi }{2}-0\right]=1$

$\Rightarrow k=\frac{1}{\pi }$

संकल्पना:

• किसी फलन की प्रायिकता की गणना यादृच्छिक चर X के दिए गए मानों के लिए उसके pdf (प्रायिकता घनत्व फलन) का समाकलन करके की जा सकती है।
• प्रायिकता घनत्व फलन के लिए

$\Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=1$

गणना:

• चूंकि दिए गए PDF को एक संतत यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए एक बिंदु पर प्रायिकता शून्य होगी क्योंकि यादृच्छिक चर X के 2/5 के समान ऊपरी और निचली सीमा के लिए इसके pdf का समाकलन शून्य होगा।

⇒ P(x = 2/5) = 0 

प्रायिकता घनत्व फलन:

यह विभिन्न यादृच्छिक चर (R.V) के लिए कुल प्रायिकता के वितरण को दर्शाता है।

$f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$

f(x) : pdf (प्रायिकता घनत्व फलन)

F(x) : PDF (प्रायिकता वितरण फलन)

• चूंकि X अंतराल [a, b] में असंख्य कई मानों के साथ एक निरंतर यादृच्छिक चर है, प्रायिकता है कि X [a, b] के भीतर किसी भी विशिष्ट मान को लेता है शून्य है।
• ऐसा इसलिए है क्योंकि एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) यादृच्छिक चर के विभिन्न मानों पर लेने की सापेक्ष प्रायिकता का वर्णन करता है, और किसी भी विशिष्ट मान के लिए, उस मान पर PDF वक्र के तहत क्षेत्र शून्य है।
• इसलिए, अंतराल [a, b] में किसी भी C के लिए P{ X = C} = 0 है। इसके बजाय, X के मानों की एक सीमा के भीतर आने की प्रायिकता की गणना उस सीमा पर PDF वक्र के तहत क्षेत्र का पता लगाकर की जा सकती है।

महत्वपूर्ण सूचना:

pdf के गुण:

1) ${\int }_{-a}^{x}f\left(x\right)dx=1$ (या) कुल क्षेत्रफल = 1

2) $P\left[x\le x_1\right]=F\left(x_1\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x_1}f\left(x\right)dx$

3) $P\left[x>x_1\right]=1-F\left(x_1\right)={\int }_{x_1}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx$ 

4) $P\left[x_1<x\le x_2\right]={\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx$