Coefficient of Determination MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Coefficient of Determination - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

सहसंबंध विश्लेषण:

• सहसंबंध विश्लेषण एक सांख्यिकीय पद्धति है जिसका उपयोग दो चर के बीच संबंधों की सामर्थ्य का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।
• r का मान हमेशा -1 और +1 के बीच होता है: -1 ≤ r ≤ 1
• सहसंबंध r का आकार X और Y के बीच रैखिक संबंध की सामर्थ्य को इंगित करता है।
• -1 या +1 के पास r का मान X और Y के बीच एक मजबूत रैखिक संबंध को दर्शाता है।
• यदि r = 0 है तो X और Y के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं है (कोई रैखिक सहसंबंध नहीं)।
• यदि r = 1, एक पूर्ण धनात्मक सहसंबंध है। यदि r = -1, पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध है।

व्याख्या:

उपरोक्त चर्चा से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि,

जब दो रेखाएँ रैखिक रूप से संपाती होती हैं, तब r = ± 1 होता है।

साथ ही, यदि r ∈ [-1, 1], तब एक संबंध होता है जो दो चरों के बीच रैखिक संबंध का माप होता है।

∴ I और II दोनों सही हैं।

संकल्पना:

सहसंबंध गुणांक = $r_{x,y}=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x{)}^2][n\sum y^2-(\sum y{)}^2]}}$

गणना:

दिया गया है: n = 10, ∑x = 4, ∑y = 3, ∑x2 = 8, ∑y2 = 9 और ∑xy = 3

हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक निम्न द्वारा दिया जाता है

$r_{x,y}=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x{)}^2][n\sum y^2-(\sum y{)}^2]}}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{10\times 3-4\times 3}{\sqrt{[10\times 8-4^2][10\times 9-3^2]}}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{30-12}{\sqrt{64\times 81}}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{1}{4}$

∴ सहसंबंध का गुणांक $\frac{1}{4}$ है। 

संकल्पना:

सहसंबंध गुणांक = $r_{x,y}=\frac{Cov(x,y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}=\frac{\frac{1}{n}[{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}]}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$

गणना:

दिया गया है: x̅ = y̅ = 0, ∑xiyi = 12, σx = 2, σy = 3 और n = 10

हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक निम्न प्रकार दिया जाता है

$r_{x,y}=\frac{Cov(x,y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}=\frac{\frac{1}{n}[{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}]}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$ ------(1)

समीकरण (1) में मानों को रखने पर

⇒ $r_{x,y}=\frac{12-0.0}{10.2.3}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{12}{60}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{1}{5}$

⇒  rx,y = 0.2

∴ सहसंबंध का गुणांक 0.2 है।

दिया गया है 

सहसंबंध का गुणांक r = 0.5

सूत्र

निर्धारण का गुणांक = r2

गैर निर्धारण का गुणांक = 1 - निर्धारण का गुणांक

गणना

r = 0.5

⇒ r² = 0.25

∴ निर्धारण का गुणांक = 0.25

∴ गैर निर्धारण का गुणांक s1 - 0.25 = 0.75 है।

सहसंबंध गुणांक:

• सहसंबंध गुणांक का उपयोग दो चरों के बीच रैखिक संबंध की ताकत की पहचान करने के लिए किया जाता है।
• पियर्सन गुणन-आघूर्ण सहसंबंध द्वारा विकसित सबसे आम सहसंबंध गुणांक का उपयोग दो चर के बीच रैखिक संबंध को मापने के लिए किया जाता है।
• एक अरैखिक संबंध के मामले में, सहसंबंध गुणांक हमेशा निर्भरता का एक उपयुक्त माप नहीं हो सकता है।
• सहसंबंध गुणांक के लिए मानों की संभावित श्रेणियाँ -1.0 से 1.0 हैं अर्थात मान -1.0 से कम नहीं हो सकते या 1.0 से अधिक नहीं हो सकते है।
• शून्य से अधिक सहसंबंध गुणांक एक धनात्मक संबंध को इंगित करता है जबकि शून्य से कम मान ऋणात्मक संबंध को इंगित करता है।

• दो चरों को पूरी तरह से धनात्मक रूप से सहसंबद्ध कहा जाता है जब सहसंबंध मान 1.0 (+ एक) होता है जबकि दो चरों को पूरी तरह से ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध कहा जाता है जब सहसंबंध मान -1.0 (- एक) होता है।
• यदि दो चरों का सहसंबंध गुणांक 0 (शून्य) है, तो यह इंगित करता है कि उन दो चरों के बीच कोई संबंध नहीं है।
• एक ऋणात्मक सहसंबंध विविध पोर्टफोलियो के निर्माण में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो पोर्टफोलियो अस्थिरता का बेहतर सामना कर सकता है।

इसलिए, दो चर पूरी तरह से धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं जब उनके बीच सहप्रसरण +एक होता है।

दिया गया है 

सहसंबंध का गुणांक r = 0.5

सूत्र

निर्धारण का गुणांक = r2

गैर निर्धारण का गुणांक = 1 - निर्धारण का गुणांक

गणना

r = 0.5

⇒ r² = 0.25

∴ निर्धारण का गुणांक = 0.25

∴ गैर निर्धारण का गुणांक s1 - 0.25 = 0.75 है।

धारणा

यदि दो X और Y स्वतंत्र हैं तो E(XY) = E(X)E(Y)

X और Y का सहप्रसरण Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y)

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}=\frac{\mathbf{C}\mathbf{o}\mathbf{v}\left(\mathbf{X},\mathbf{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathbf{X}}{\sigma }_{\mathbf{Y}}}$

गणना

दिया हुआ है कि X और Y स्वतंत्र हैं तो सहप्रसरण Cov(X, Y) = 0

इसलिए सहसंबंध गुणांक = 0

सही विकल्प (3) है।

धारणा

माना कि Z = aX + bY

Z की प्रत्याशा = E(Z) = aE(X) + bE(Y)

Z का प्रसरण = Var(Z) = a²Var(X) + b²Var(Y) + 2abρ_XYσ_Xσ_Y

ρ_XY = X और Y का सहसंबंध गुणांक

${\rho }_{\mathrm{X}\mathrm{Y}}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{X}}{\sigma }_{\mathrm{Y}}}$

X और Y का सहप्रसरण = Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

${\sigma }_{\mathrm{X}}=\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{X}\right)}$

${\sigma }_{\mathrm{Y}}=\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{Y}\right)}$

यदि Z = X + a जहां a कुछ स्थिरांक है तो Var(Z) = Var(X)

X और Y का सहप्रसरण = Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

गणना

Z = X + 5

⇒ Var(Z) = Var(X)

⇒ σ_Z = σ_X

$\mathrm{W}=\frac{\mathrm{Y}}{3}$

$\Rightarrow \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{W}\right)=\frac{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{Y}\right)}{9}$

$\Rightarrow {\sigma }_{\mathrm{W}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{Y}}}{3}$

Cov(Z, W)

= E(ZW) – E(Z)E(W)

$=\mathrm{E}\left(\frac{\mathrm{X}\mathrm{Y}}{3}+\frac{5\mathrm{Y}}{3}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}+5\right)\mathrm{E}\left(\frac{\mathrm{Y}}{3}\right)$

$=\frac{1}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\mathrm{Y}\right)+\frac{5}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)-\frac{1}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)-\frac{5}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\mathrm{Y}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)\right)$

$=\frac{1}{3}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)$

Z और W का सहसंबंध गुणांक है

${\rho }_{\mathrm{Z}\mathrm{W}}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{Z},\mathrm{W}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{Z}}{\sigma }_{\mathrm{W}}}$

$=\frac{\frac{1}{3}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{X}}\frac{{\sigma }_{\mathrm{Y}}}{3}}$

$=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{X}}{\sigma }_{\mathrm{Y}}}$

= ρ_XY

So ρ_ZW = ρ_XY = 0.6

सही विकल्प (4) है।

सहसंबंध गुणांक:

• सहसंबंध गुणांक का उपयोग दो चरों के बीच रैखिक संबंध की ताकत की पहचान करने के लिए किया जाता है।
• पियर्सन गुणन-आघूर्ण सहसंबंध द्वारा विकसित सबसे आम सहसंबंध गुणांक का उपयोग दो चर के बीच रैखिक संबंध को मापने के लिए किया जाता है।
• एक अरैखिक संबंध के मामले में, सहसंबंध गुणांक हमेशा निर्भरता का एक उपयुक्त माप नहीं हो सकता है।
• सहसंबंध गुणांक के लिए मानों की संभावित श्रेणियाँ -1.0 से 1.0 हैं अर्थात मान -1.0 से कम नहीं हो सकते या 1.0 से अधिक नहीं हो सकते है।
• शून्य से अधिक सहसंबंध गुणांक एक धनात्मक संबंध को इंगित करता है जबकि शून्य से कम मान ऋणात्मक संबंध को इंगित करता है।

• दो चरों को पूरी तरह से धनात्मक रूप से सहसंबद्ध कहा जाता है जब सहसंबंध मान 1.0 (+ एक) होता है जबकि दो चरों को पूरी तरह से ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध कहा जाता है जब सहसंबंध मान -1.0 (- एक) होता है।
• यदि दो चरों का सहसंबंध गुणांक 0 (शून्य) है, तो यह इंगित करता है कि उन दो चरों के बीच कोई संबंध नहीं है।
• एक ऋणात्मक सहसंबंध विविध पोर्टफोलियो के निर्माण में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो पोर्टफोलियो अस्थिरता का बेहतर सामना कर सकता है।

इसलिए, दो चर पूरी तरह से धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं जब उनके बीच सहप्रसरण +एक होता है।

संकल्पना:

सहसंबंध विश्लेषण:

• सहसंबंध विश्लेषण एक सांख्यिकीय पद्धति है जिसका उपयोग दो चर के बीच संबंधों की सामर्थ्य का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।
• r का मान हमेशा -1 और +1 के बीच होता है: -1 ≤ r ≤ 1
• सहसंबंध r का आकार X और Y के बीच रैखिक संबंध की सामर्थ्य को इंगित करता है।
• -1 या +1 के पास r का मान X और Y के बीच एक मजबूत रैखिक संबंध को दर्शाता है।
• यदि r = 0 है तो X और Y के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं है (कोई रैखिक सहसंबंध नहीं)।
• यदि r = 1, एक पूर्ण धनात्मक सहसंबंध है। यदि r = -1, पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध है।

व्याख्या:

उपरोक्त चर्चा से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि,

जब दो रेखाएँ रैखिक रूप से संपाती होती हैं, तब r = ± 1 होता है।

साथ ही, यदि r ∈ [-1, 1], तब एक संबंध होता है जो दो चरों के बीच रैखिक संबंध का माप होता है।

∴ I और II दोनों सही हैं।

संकल्पना:

सहसंबंध गुणांक = $r_{x,y}=\frac{Cov(x,y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}=\frac{\frac{1}{n}[{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}]}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$

गणना:

दिया गया है: x̅ = y̅ = 0, ∑xiyi = 12, σx = 2, σy = 3 और n = 10

हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक निम्न प्रकार दिया जाता है

$r_{x,y}=\frac{Cov(x,y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}=\frac{\frac{1}{n}[{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}]}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$ ------(1)

समीकरण (1) में मानों को रखने पर

⇒ $r_{x,y}=\frac{12-0.0}{10.2.3}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{12}{60}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{1}{5}$

⇒  rx,y = 0.2

∴ सहसंबंध का गुणांक 0.2 है।

दिया गया है 

सहसंबंध का गुणांक r = 0.5

सूत्र

निर्धारण का गुणांक = r2

गैर निर्धारण का गुणांक = 1 - निर्धारण का गुणांक

गणना

r = 0.5

⇒ r² = 0.25

∴ निर्धारण का गुणांक = 0.25

∴ गैर निर्धारण का गुणांक s1 - 0.25 = 0.75 है।

संकल्पना:

सहसंबंध गुणांक = $r_{x,y}=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x{)}^2][n\sum y^2-(\sum y{)}^2]}}$

गणना:

दिया गया है: n = 10, ∑x = 4, ∑y = 3, ∑x2 = 8, ∑y2 = 9 और ∑xy = 3

हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक निम्न द्वारा दिया जाता है

$r_{x,y}=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x{)}^2][n\sum y^2-(\sum y{)}^2]}}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{10\times 3-4\times 3}{\sqrt{[10\times 8-4^2][10\times 9-3^2]}}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{30-12}{\sqrt{64\times 81}}$

⇒ $r_{x,y}=\frac{1}{4}$

∴ सहसंबंध का गुणांक $\frac{1}{4}$ है। 

धारणा

यदि दो X और Y स्वतंत्र हैं तो E(XY) = E(X)E(Y)

X और Y का सहप्रसरण Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y)

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}=\frac{\mathbf{C}\mathbf{o}\mathbf{v}\left(\mathbf{X},\mathbf{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathbf{X}}{\sigma }_{\mathbf{Y}}}$

गणना

दिया हुआ है कि X और Y स्वतंत्र हैं तो सहप्रसरण Cov(X, Y) = 0

इसलिए सहसंबंध गुणांक = 0

सही विकल्प (3) है।

धारणा

माना कि Z = aX + bY

Z की प्रत्याशा = E(Z) = aE(X) + bE(Y)

Z का प्रसरण = Var(Z) = a²Var(X) + b²Var(Y) + 2abρ_XYσ_Xσ_Y

ρ_XY = X और Y का सहसंबंध गुणांक

${\rho }_{\mathrm{X}\mathrm{Y}}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{X}}{\sigma }_{\mathrm{Y}}}$

X और Y का सहप्रसरण = Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

${\sigma }_{\mathrm{X}}=\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{X}\right)}$

${\sigma }_{\mathrm{Y}}=\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{Y}\right)}$

यदि Z = X + a जहां a कुछ स्थिरांक है तो Var(Z) = Var(X)

X और Y का सहप्रसरण = Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

गणना

Z = X + 5

⇒ Var(Z) = Var(X)

⇒ σ_Z = σ_X

$\mathrm{W}=\frac{\mathrm{Y}}{3}$

$\Rightarrow \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{W}\right)=\frac{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{Y}\right)}{9}$

$\Rightarrow {\sigma }_{\mathrm{W}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{Y}}}{3}$

Cov(Z, W)

= E(ZW) – E(Z)E(W)

$=\mathrm{E}\left(\frac{\mathrm{X}\mathrm{Y}}{3}+\frac{5\mathrm{Y}}{3}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}+5\right)\mathrm{E}\left(\frac{\mathrm{Y}}{3}\right)$

$=\frac{1}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\mathrm{Y}\right)+\frac{5}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)-\frac{1}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)-\frac{5}{3}\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\mathrm{Y}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right)\right)$

$=\frac{1}{3}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)$

Z और W का सहसंबंध गुणांक है

${\rho }_{\mathrm{Z}\mathrm{W}}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{Z},\mathrm{W}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{Z}}{\sigma }_{\mathrm{W}}}$

$=\frac{\frac{1}{3}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{X}}\frac{{\sigma }_{\mathrm{Y}}}{3}}$

$=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right)}{{\sigma }_{\mathrm{X}}{\sigma }_{\mathrm{Y}}}$

= ρ_XY

So ρ_ZW = ρ_XY = 0.6

सही विकल्प (4) है।