Circular motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Circular motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

मान लीजिए कि चकती की त्रिज्या r₀ है और घूर्णन का आवर्तकाल T = 2π / ω है।

मान लीजिए कि प्रक्षेपण के समय कंकड़ Q बिंदु (0, y₀) पर है। प्रक्षेप्य गति के लिए, मान लीजिए कि r परास है और t उड्डयन काल है। दिया गया है कि t < T / 8 और r < r₀ / 2 है।

डिस्क का घूर्णन कंकड़ों को अतिरिक्त प्रारंभिक वेग प्रदान करता है जो दिया गया है:

ΔūQ = −y₀ω î और ΔūP = r₀ω î

ये अतिरिक्त वेग प्रक्षेपण के तल के लंबवत हैं। उड़ान का समय t इन वेगों से प्रभावित नहीं होता है। हालाँकि, वे x-दिशा में अतिरिक्त विस्थापन लाते हैं:

Δr̄Q = −y₀ωt î और Δr̄P = r₀ωt î

इसलिए नए अवतरण बिंदु Q₁ और P₁ इन संबंधित दूरियों से विस्थापित होते हैं।

त्रिभुज OQ₁Q′₁ से:

θ = tan⁻¹ (y₀ωt / (y₀ + r)) ≤ tan⁻¹ (ωt) ≤ ωt

इसलिए कोण θ उस कोण से कम है जिसके माध्यम से चकती समय t में घूमती है। इसलिए, अवतरण बिंदु Q′₁ अछायांकित क्षेत्र में स्थित है।

कंकड़ P के लिए, क्षैतिज विस्थापन r₀ωt है, और उपस्थित कोण भी ωt है। लेकिन चकती की ज्यामिति से, बिंदु P′₁ का कोण ωt से अधिक है। इसलिए, P′₁ भी अछायांकित क्षेत्र में स्थित है।

उत्तर: (C) P और Q दोनों अछायांकित क्षेत्र में आते हैं।

संकल्पना:

वृत्ताकार गति में आवर्तकाल

• वृत्ताकार गति का आवर्तकाल (T) एक पूर्ण चक्कर पूरा करने में लगा समय होता है।
• यह कोणीय वेग (ω) से इस सूत्र द्वारा संबंधित है:

  T = ^2π/_ω

व्याख्या:

• कोणीय वेग (ω) = 2π rad/s
• सूत्र का उपयोग करके:
  • T = ^2π/_ω
  • T = ^2π/_2π
  • T = 1 सेकंड

इसलिए, कार की वृत्ताकार गति का आवर्तकाल (T) 1 सेकंड है।

गणना

उपरोक्त आरेख से, हमारे पास है

N = mg cosθ + (mv² / R) sinθ (1)

f_max = μN ⇒ f_max = μ_s mg cosθ + (μ_s mv² / R) sinθ

mg sinθ + f_max = (mv² / R) cosθ (2)

मान रखने पर,

mg sinθ + μs mg cosθ + (μs mv² / R) sinθ = (mv² / R) cosθ

g sinθ + μs g cosθ = (v² / R)(cosθ − μs sinθ)

gR [ (tanθ + μs) / (1 − μs tanθ) ] = v²

v = √[ gR (tanθ + μs) / (1 − μs tanθ) ]

गणना:

कार्य ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,

\(\mathrm{Mg}(\mathrm{R}+\mathrm{R} \cos 60)+\frac{1}{2} \mathrm{k}\left(\mathrm{R}^{2}-0^{2}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}\)

\(\mathrm{Mg} \frac{3 \mathrm{R}}{2}+\frac{\mathrm{KR}^{2}}{2}=\frac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}\)

\(V=\sqrt{3 g R+\frac{K R^{2}}{m}}\)

अवधारणा:

ढालू वक्र पर फिसलने से बचने के लिए अधिकतम गति:

एक ढालू वक्र पर चलती कार के लिए, घर्षण बल और अभिलंब बल गुरुत्वाकर्षण बल और कार को वक्र के साथ गतिमान रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल को संतुलित करते हैं।

कार के फिसलने से पहले उसकी अधिकतम गति का पता कार पर कार्य करने वाले बलों को संतुलित करके लगाया जा सकता है।

द्रव्यमान m की कार के लिए, उस पर निम्नलिखित बल कार्य करते हैं:

अभिलंब बल (N): ढालू वक्र की सतह के लंबवत कार्य करता है।

घर्षण बल (f): सड़क की सतह के समानांतर कार्य करता है, कार की गति का विरोध करता है।

गुरुत्वाकर्षण बल (mg): ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।

गति का समीकरण ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दोनों दिशाओं में बलों को संतुलित करके प्राप्त किया जाता है।

अधिकतम चाल तब प्राप्त होती है जब कार फिसलने वाली होती है, और घर्षण बल अपना अधिकतम मान (μN) प्राप्त कर लेता है, जहाँ μ पहियों और सड़क के बीच घर्षण गुणांक है।

गणना:

दिया गया है:

वक्र की त्रिज्या: r

ढाल कोण: θ

गुरुत्वीय त्वरण: g

घर्षण गुणांक: μ

मुक्त पिंड आरेख से, कार पर कार्य करने वाले बल हैं:

ऊर्ध्वाधर दिशा: N cos(θ) - f sin(θ) = mg

क्षैतिज दिशा: N sin(θ) + f cos(θ) = mv² / r

अब, इन समीकरणों को हल करने पर μ के लिए व्यंजक प्राप्त होता है:

⇒ Rg tan(θ) + μRg = v² - v² tan(θ)

⇒ μ = (v² - v² tan(θ)) / (Rg tan(θ))

∴ घर्षण गुणांक μ के लिए व्यंजक है:

⇒ μ = (v² - v² tan(θ)) / (Rg tan(θ))

यह विकल्प 3 से मेल खाता है, जो सही उत्तर है।

व्याख्या:

अभिकेंद्री बल: यह पिंड को एक समान रूप से एक वृत्तीय गति में गति करने के लिए आवश्यक बल है। यह बल त्रिज्या अनुरूप और वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।

• जब कोई पिंड किसी वृत्त में गति करता है, तो किसी भी क्षण पर इसकी गति की दिशा वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुरूप होती है। लेकिन न्यूटन के गति के पहले नियम के अनुसार कोई भी पिंड अपनी दिशा को स्वयं नही बदल सकता है, इसके लिए एक बाह्य बल की आवश्यकता होती है। यह बाह्य बल अभिकेंद्री बल है।

\({\bf{Centripetal}}\;{\bf{Force}}\;\left( {\bf{F}} \right) = \frac{{m{v^2}}}{r}\;\left[ {{\rm{m}} = {\rm{mass}},{\rm{\;v}} = {\rm{velocity}},{\rm{\;r}} = {\rm{radius}}} \right]\)

• सड़क की सतह के साथ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल मोड़ के केंद्र की ओर लगता है। टायर और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।

व्याख्या:

दूरी: 

• इसे एक पिंड द्वारा तय किये गए पथ की लम्बाई कहा जाता है।
• यह एक अदिश राशि है।
• इसका मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
• यह वृत्तीय गति में अशून्य होता है।

​विस्थापन

• यह कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
• यह एक सदिश राशि है।
• यह घनात्मक, ऋणात्मक और शून्य हो सकता है।
• यह वृत्तीय गति में शून्य होता है।

जब एक वस्तु बिना दिशा बदले एक सीधी रेखा में गति करती है तो दूरी और विस्थापन का परिमाण बराबर होगा।

• जब एक वस्तु गति के दौरान अपनी दिशा बदलती है तो उसके पथ की लम्बाई प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की दूरी की तुलना में अधिक हो जाती है, इसलिए इस स्थिति में दूरी का परिमाण विस्थापन से अधिक हो जाता है।
• अतः, दूरी सदैव विस्थापन से अधिक या उसके बराबर होगी।

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात उपरोक्त सभी

अवधारणा:

• वृताकार गति: वृत्ताकार पथ पर किसी वस्तु की गति को वृताकार गति कहते हैं।
• अभिकेंद्री बल: यह एक वृत्ताकार गति के पथ से गुजरने वाली वस्तु पर कार्य करने वाला एक शुद्ध बल है, इस प्रकार कि बल वक्रता के केंद्र की ओर एक दिशा में कार्य करता है।

व्याख्या:

• एक वृत्त को एक ऐसा बहुभुज माना जाता है जिसकी अनंत भुजाएँ इस प्रकार हों कि प्रत्येक भुजा एक बिंदु के सन्निकट हो।
• अतः वृत्ताकार पथ पर गतिमान वस्तु की दिशा में प्रत्येक बिंदु पर परिवर्तन होता है।
• चूँकि दिशा हर बिंदु पर बदलती है, तो वेग हर बिंदु पर बदलता है।
• इसके अलावा, एक अभिकेंद्री बल हमेशा किसी वस्तु पर वृत्ताकार गति के अधीन कार्य करता है क्योंकि यह वह बल है जो एक पिंड को एक वक्र पथ में रखता है।

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात उपरोक्त सभी

अवधारणा:

• एक समान वृतीय गति वह है जहां एक गतिमान निकाय नियत गति के साथ एक वृतीय पथ का निर्माण करता है।
  • एक वृत को असीम रूप से कई भुजाओं वाला एक बहुभुज माना जाता है जिसकी हर भुजा एक बिंदु के समान होती है
  • इसलिए, एक वृतीय पथ पर गतिमान निकाय हर बिंदु पर दिशा में परिवर्तन करता है।
  • चूंकि दिशा बदलती है और गति स्थिर रहती है, इसलिए वेग अलग-अलग होता है।
• गतिज ऊर्जा एक गतिमान निकाय में निहित ऊर्जा का मापन है।

इसका समीकरण KE = \(\frac{1}{2}mv^2\) है

व्याख्या:

दिया गया निकाय एक समान वृतीय गति के अधीन है।

• एक समान वृतीय गति के अधीन एक निकाय में नियत गति होती है।
• एक समान वृतीय गति में वेग का परिमाण एक समान होता है लेकिन दिशा हर बिंदु पर बदलती रहती है। इसलिए, त्वरण का परिमाण भी स्थिर है।
• गतिज ऊर्जा गतिमान निकाय के परिमाण के समान अनुपाती होती है ⇒ KE ∝ v² इसलिए, गतिज ऊर्जा एक समान वृतीय गति में स्थिर रहती है।

Confusion Points

• गतिज ऊर्जा के लिए केवल वेग का परिमाण लिया जाता है।
• गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है।

सही उत्तर विकल्प 4 है) अर्थात त्वरण और वेग दोनों में परिवर्तन होता है।

अवधारणा:

• एकसमान गति, गति का एक प्रकार है जहाँ एक गतिमान निकाय समय के बराबर अंतराल में समान दूरी तय करता है।
  • चूंकि दूरी और समय अंतराल समान हैं, एकसमान गति में रफ्तार स्थिर रहेगी।
• एकसमान वृतीय गति वहां होती है जहाँ एक गतिमान निकाय स्थिर चाल के साथ एक वृत्ताकार पथ का निर्माण करता है।
  • एक वृत्त को बहुभुज माना जाता है जिसमें असीम रूप से कई भुजाएँ होती हैं जिसका प्रत्येक पक्ष एक बिंदु पर स्थित होता है।
  • इसलिए, यदि एक वृत्ताकार पथ पर गतिमाना निकाय हर बिंदु पर दिशा में परिवर्तन से गुजरता है।
  • चूंकि दिशा बदलती है और गति स्थिर रहती है, वेग परिवर्तनशील होता है।

व्याख्या:

• वेग एक समान गोलाकार गति में परिवर्तनशील होता है क्योंकि निकाय की दिशा हर बिंदु पर बदलती रहती है।
• त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है। चूंकि हर क्षण वेग बदलता रहता है, इसलिए त्वरण भी बदलता रहता है।
• इसलिए, त्वरण और वेग दोनों एक समान वृतीय गति में परिवर्तित होते हैं।

अवधारणा :

वृत्ताकार गति: किसी वृत्त की परिधि के साथ किसी वस्तु की गति या वृत्ताकार पथ के साथ घूर्णन को वृत्ताकार गति कहते हैं।

• एकसमान वृत्ताकार गति: जिस वृत्ताकार गति में कण की गति स्थिर रहती है उसे एकसमान वृत्ताकार गति कहते हैं। एकसमान वृत्ताकार गति में बल अभिकेंद्री त्वरण की आपूर्ति करता है।
  • निकाय की गतिज ऊर्जा और गति स्थिर रहती हैं।

अभिकेंद्री त्वरण: 

यह निकाय को एक वृत्त में समान रूप से स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक बल है। यह बल त्रिज्या के साथ और वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।

\({\bf{Centripetal}}\;{\bf{Force}}\;\left( {\bf{F}} \right) = \frac{{m{v^2}}}{r}\)

• मोड़ के केंद्र की ओर मुड़ने के लिए सड़क की सतह के साथ वृत्ताकार गति के लिए अभिकेंद्री बल आवश्यक होता है।

व्याख्या:

• एकसमान वृत्ताकार गति में निकाय को बनाए रखने के लिए अभिकेंद्री बल की जरूरत होती है । तो विकल्प 1 सही है।
• अभिकेंद्री बल तब कार्य करता है जब एक निकाय दूसरे निकाय के चारों ओर घूमता है, जो बल इस त्वरण का कारण बनता है और निकाय को एक वृत्ताकार पथ पर ले जाता रहता है केंद्र की ओर कार्य करता है

अवधारणा:

• वृत्ताकार गति: किसी वृत्त की परिधि के साथ किसी वस्तु की गति या वृत्ताकार पथ के साथ घूर्णन को वृत्ताकार गति कहते हैं।
  • बल कण के वेग के समकोण पर निरंतर कार्य करता है।
• एकसमान वृत्ताकार गति: जिस वृत्ताकार गति में कण की गति स्थिर रहती है उसे एकसमान वृत्ताकार गति कहते हैं। एकसमान वृत्ताकार गति में बल अभिकेंद्री त्वरण की आपूर्ति करता है।
  • एकसमान वृत्ताकार गति में एक निकाय अंदर की दिशा में एक बल का अनुभव कर रहा है।

• उदाहरण के लिए: एक घड़ी के हाथों की गति, चंद्रमा की गति पृथ्वी के चारों ओर घूमती है ।

व्याख्या:

• ऊपर से, यह स्पष्ट है कि एक घड़ी के सेकंड हाथ की गति एकसमान वृत्ताकार गति का एक उदाहरण है। इसलिए विकल्प 1 सही है।
• एक विशाल पहिए की गति एक घूर्णी गति है क्योंकि पहिए के भीतर सभी वस्तु एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक ही दिशा में एक वृत्ताकार तरीके से चलते हैं। इसलिए विकल्प 4 गलत है।

अवधारणा:

• वृतीय गति: वृतीय गति किसी वृत्त की परिधि के साथ किसी वृत्त की परिक्रमा है अथवा वृत्ताकार पथ के साथ घूर्णन है।
• बल कण के वेग के समकोण पर निरंतर रूप से कार्य करता है।
• एकसमान वृतीय गति: जिस वृतीय गति में कण की गति स्थिर रहती है उसे एकसमान वृतीय गति कहते हैं। एक समान वृतीय गति में, बल अभिकेंद्री त्वरण की आपूर्ति करता है।

ac = v2/r, जहां ac अभिकेंद्री त्वरण है, v वेग है, r त्रिज्या है।

• कण की गति और गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।

व्याख्या:

• यदि बल F किसी निकाय पर कार्य करता है और यह S की दूरी से विस्थापित हो जाता है, तो उस स्थिति में किया गया कार्य 

⇒ W = FS Cos θ होता है।

• एकसमान वृत्तीय गति के मामले में, Cos 90° = 0 और यही कारण है कि W = 0 (बल और विस्थापन एक दूसरे के लंबवत होते हैं)। तो विकल्प 3 सही है।

सही विकल्प-2

संकल्पना:

वृत्तीय गति

• कहा जाता है कि जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ पर चलती है तो वह वृत्तीय गति करती है।
• वृत्तीय गति का वर्णन करते समय हम अक्सर बिंदु वस्तु या कण की वृत्तीय गति शब्द का उपयोग करते हैं।
• ऐसा इसलिए है क्योंकि हम वृत्ताकार पथ पर किसी पिंड की स्थानांतरीय गति की शाखा के साथ वृत्तीय गति सीखते हैं और किसी भी घूर्णन की उपेक्षा करते हैं।
• इसलिए, हम पिंड को एक कण के रूप में दर्शाते हैं।

वृत्तीय गति के प्रकार
वृत्तीय गति को दो श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है
1.एकसमान वृत्तीय गति:

• यदि कोई कण वृत्त में नियत चाल से गति करता है, तो उस गति को एकसमान वृत्तीय गति कहते हैं।
• एकसमान-वृत्तीय गति में, कण में केवल अभिकेन्द्रीय त्वरण (a_r) होता है।

2.असमान वृत्तीय गति:

• यदि कण परिवर्तनशील गति से गति करता है तो गति को असमान गति कहा जाता है।
• एकसमान वृत्तीय गति में, कण में दो प्रकार के त्वरण होते हैं।

• (i) अभिकेन्द्रीय त्वरण (ar) और 
• (ii) स्पर्शरेखीय त्वरण (at)

गणना:

दिया गया है:-

\(\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{4}{9}\) &

\(a_{r_{1}}=a_{r_{2}}\)

एक वृत्तीय गति में, अभिकेन्द्रीय त्वरण ar निम्न द्वारा दिया जाता है:-

\(a_{r}=\frac{v^{2}}{r}\)

जहां v रैखिक गति है और r त्रिज्या है।

क्योंकि \(a_{r_{1}}=a_{r_{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{v_{1}^{2}}{r_{1}}=\frac{v_{2}^{2}}{r_{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{v_{1}}{v_{2}}=\sqrt{\frac{r_{1}}{r_{2}}}\)

\(\Rightarrow \frac{v_{1}}{v_{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\)

अत: विकल्प-2 सही है। 

सही उत्तर विकल्प 4) अर्थात गतिज ऊर्जा है।

अवधारणा :

• एकसमान वृत्ताकार गति वह जगह होती है जहाँ एक गतिमान वस्तु स्थिर गति के साथ एक वृत्ताकार पथ का अनुरेखण करती है।
  • एक वृत्त को बहुभुज माना जाता है जिसमें असीम रूप से कई भुजाएँ होती हैं जिसकी प्रत्येक भुजा एक बिंदु के समीप जाती है।
  • इसलिए, एक वृत्ताकार पथ पर जाने वाली वस्तु प्रत्येक बिंदु पर दिशा में परिवर्तन से गुजरती है।
  • चूंकि दिशा बदलती है और गति स्थिर रहती है वेग परिवर्तनीय होता है ।
• गतिमान ऊर्जा एक गतिशील वस्तु के पास मौजूद ऊर्जा का माप है।

यह समीकरण KE = \(\frac{1}{2}mv^2\) द्वारा दिया जाता है

व्याख्या:

दिया गया है कि वस्तु एकसमान गति के साथ एक वृत्ताकार पथ में घूम रही है। इस प्रकार, वस्तु एकसमान वृत्ताकार गति के अंतर्गत है ।

• वेग एकसमान वृत्ताकार गति में बदलता रहता है जैसे वस्तु की दिशा प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है।
• त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है। चूंकि प्रत्येक क्षण वेग बदलता रहता है, त्वरण भी बदलता रहता है ।
• एकसमान वृत्ताकार गति में वेग का परिमाण एकसमान होता है लेकिन दिशा प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है। गतिज ऊर्जा गतिमान वस्तु के वेग के परिमाण के समानुपाती होती है।

इसलिए, गतिज ऊर्जा एकसमान वृत्ताकार गति में अपरिवर्तित रहती है।