Centroid MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Centroid - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• त्रिभुज की माध्यिका: शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड।
• केंद्रक (G): माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु; यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
• वृत्त त्रिभुज की भुजा को स्पर्श करता है: वृत्त के गुणों और दूरियों के आधार पर ज्यामितीय संबंधों का उपयोग करें।
• महत्वपूर्ण गुणधर्म: यदि AG : AF = AB² और AG = 2 × GD है, तो बीजीय समीकरण अभीष्ट लंबाई ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

गणना:

माना कि GD = x, DF = y

⇒ AG = 2x, AF = x + y

⇒ 2x(3x + y) = 36

⇒ xy = 4

⇒ 3x² + 4 = 18

⇒ x² = 14/3

⇒ AD = 3x = √42

अब, AC² + AB² = 2(AD² + BD²)

⇒ AC² + 36 = 2(42 + 4)

⇒ AC² + 36 = 92

⇒ AC² = 56

AC2 = 56

अवधारणा:

• त्रिभुज की माध्यिका: शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड।
• केंद्रक (G): माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु; यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
• वृत्त त्रिभुज की भुजा को स्पर्श करता है: वृत्त के गुणों और दूरियों के आधार पर ज्यामितीय संबंधों का उपयोग करें।
• महत्वपूर्ण गुणधर्म: यदि AG : AF = AB² और AG = 2 × GD है, तो बीजीय समीकरण अभीष्ट लंबाई ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

गणना:

माना कि GD = x, DF = y

⇒ AG = 2x, AF = x + y

⇒ 2x(3x + y) = 36

⇒ xy = 4

⇒ 3x² + 4 = 18

⇒ x² = 14/3

⇒ AD = 3x = √42

AD = √42

AD² = 42

गणना

मान लीजिए कि ‘G’ (1, 3) (3, 1) और (2, 4) द्वारा निर्मित Δ का केंद्रक है। 

\(\mathrm{G} \cong\left(2, \frac{8}{3}\right)\)

x + 2y - 2 = 0 के सापेक्ष G का प्रतिबिंब

\(\frac{α-2}{1}=\frac{β-\frac{8}{3}}{2}=-2 \frac{\left(2+\frac{16}{3}-2\right)}{1+4}\)

= \(\frac{-2}{5}\left(\frac{16}{3}\right)\)

⇒ \(α=\frac{-32}{15}+2=\frac{-2}{15}, β=\frac{-32 \times 2}{15}+\frac{8}{3}=\frac{-24}{15}\)

15(α - β) = -2 + 24 = 22

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

रेखा ax + by + c = 0 के आर-पार किसी बिंदु \((x_1, y_1) \) को प्रतिबिम्बित करने के लिए, प्रतिबिम्बित बिंदु (x', y') इस प्रकार दिया जाता है:

\(x' = x_1 - \frac{2a(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}, \quad y' = y_1 - \frac{2b(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}. \)

व्याख्या:

शीर्ष 1: (1, 3)

\(x' = 1 - \frac{2(1(1) + 2(3) - 2)}{1^2 + 2^2}, \quad y' = 3 - \frac{2(2(1) + 4(3) - 4)}{1^2 + 2^2}\\ x' = 1 - \frac{2(1 + 6 - 2)}{5}, \quad y' = 3 - \frac{2(2 + 12 - 4)}{5}\\ x' = 1 - \frac{10}{5}, \quad y' = 3 - \frac{20}{5}\\ x' = -1, \quad y' = -1\\ \)

प्रतिबिम्बित बिंदु: (-1, -1)

शीर्ष 2: (3, 1)

\(x' = 3 - \frac{2(1(3) + 2(1) - 2)}{1^2 + 2^2}, \quad y' = 1 - \frac{2(2(3) + 4(1) - 4)}{1^2 + 2^2} \\ x' = 3 - \frac{2(3 + 2 - 2)}{5}, \quad y' = 1 - \frac{2(6 + 4 - 4)}{5} \\ x' = 3 - \frac{6}{5}, \quad y' = 1 - \frac{12}{5} \\ x' = \frac{15}{5} - \frac{6}{5}, \quad y' = \frac{5}{5} - \frac{12}{5} \\ x' = \frac{9}{5}, \quad y' = -\frac{7}{5} \\ \)

प्रतिबिम्बित बिंदु: \(\left(\frac{9}{5}, -\frac{7}{5}\right) \)
शीर्ष 3: (2, 4)

\(x' = 2 - \frac{2(1(2) + 2(4) - 2)}{1^2 + 2^2}, \quad y' = 4 - \frac{2(2(2) + 4(4) - 4)}{1^2 + 2^2} \\ x' = 2 - \frac{2(2 + 8 - 2)}{5}, \quad y' = 4 - \frac{2(4 + 16 - 4)}{5} \\ x' = 2 - \frac{16}{5}, \quad y' = 4 - \frac{32}{5} \\ x' = \frac{10}{5} - \frac{16}{5}, \quad y' = \frac{20}{5} - \frac{32}{5} \\ x' = -\frac{6}{5}, \quad y' = -\frac{12}{5} \\ \)

प्रतिबिम्बित बिंदु: \( \left(-\frac{6}{5}, -\frac{12}{5}\right) \)

\(\Delta PQR \) का केंद्रक:

\(\alpha = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad \beta = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \)

प्रतिबिम्बित बिंदुओं को प्रतिस्थापित करें:

\(\alpha = \frac{-1 + \frac{9}{5} - \frac{6}{5}}{3}, \quad \beta = \frac{-1 - \frac{7}{5} - \frac{12}{5}}{3} \)


\(\alpha = \frac{-\frac{5}{5} + \frac{9}{5} - \frac{6}{5}}{3}, \quad \beta = \frac{-\frac{5}{5} - \frac{7}{5} - \frac{12}{5}}{3} \)

\(\alpha = \frac{-\frac{2}{5}}{3}, \quad \beta = \frac{-\frac{24}{5}}{3} \)


\(\alpha = -\frac{2}{15}, \quad \beta = -\frac{24}{15} \)

\(15(\alpha - \beta) = 15\left(-\frac{2}{15} - \left(-\frac{24}{15}\right)\right) \)

\(15(\alpha - \beta) = 15\left(-\frac{2}{15} + \frac{24}{15}\right) \)

\(15(\alpha - \beta) = 15\left(\frac{22}{15}\right) \)

\(15(\alpha - \beta) = 22 \)

इसलिए 22 सही उत्तर है।

गणना:

मान लीजिए C के निर्देशांक C = (x, y, z) हैं। 

दिया गया है: A(3, 1, 4) और B(-4, 5, -3) और त्रिभुज का केंद्रक G(-1, 2, 1) है। 

∴ \(\frac{3+(-4)+x}{3}\) = - 1

⇒ x = - 2

साथ ही, \(\frac{1+5+y}{3}\) = 2

⇒ y = 0

और \(\frac{4+(-3)+z}{3}\) = 1

⇒ z = 2

∴ C = (x, y, z) = (- 2, 0, 2)

∴ C के निर्देशांक (-2, 0, 2) हैं। 

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

केन्द्रक: वह बिंदु जिस पर त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, त्रिभुज का केन्द्रक कहलाता है।

यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2), और C(x3, y3) हैं, तो

 \(\displaystyle G(x,y)=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)

गणना:

दिया है:

A, B, और C त्रिभुज के शीर्ष हैं

A, B, और C के स्थिति सदिश \(\vec a,\vec b,\vec c\) हैं

G △ABC का केन्द्रक है

∴ G = \(\displaystyle \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3} \)

⇒ \(\overrightarrow{AG}\) =  \(\displaystyle \frac{(\vec a+\vec b+\vec c)}{3} - \vec{a}\)

⇒ \(\overrightarrow{AG}\) = \(\displaystyle \frac{(\vec a+\vec b+\vec c)-3\vec{a}}{3}\)

⇒\(\overrightarrow{AG}\) = \(\displaystyle\frac{\vec b + \vec c -2\vec a}{3}\)

∴​ \(\overrightarrow{AG}\) = \(\displaystyle\frac{\vec b + \vec c -2\vec a}{3}\)

संकल्पना:

त्रिभुज का केन्द्रक: वह बिंदु जहाँ त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करती हैं। 

माना कि एक त्रिभुज है। यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) हैं, तब 

त्रिभुज का केन्द्रक = \(\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}}}{3},\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_3}}}{3}} \right)\)

गणना:

दिए गए शीर्ष (2, 3), (-2, -5) और (3, 5) हैं

त्रिभुज का केन्द्रक = \(\rm (\frac {2-2+3}{3}, \frac {3-5+5}{3})\) = (1, 1)

संकल्पना:

एक त्रिभुज का केंद्रक: वह बिंदु जहाँ त्रिभुज के तीन माध्यक प्रतिच्छेद करते हैं।

एक त्रिभुज पर विचार करें। यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) हैं

त्रिभुज का केन्द्रक

=\(\rm (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)

गणना:

यहाँ, त्रिभुज के शीर्ष (4,x), (y,-5) और (7, 8) और केन्द्रक = (3, 5)

इसलिए, 3 = \(\rm \frac{4+y+7}{3}\)

⇒11+y = 9 

⇒ y = -2

और, 5 = \(\rm \frac{x-5+8}{3}\)

⇒ x + 3 = 15

⇒ x = 12

∴ x = 12, और y = -2

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

तीन बिंदु (x₁, y₁), (x2, y2) और (x3, y3) को जोड़कर निर्मित त्रिभुज के केन्द्रक को \(\rm G\left({x_1+x_2+x_3\over3},{y_1+y_2+y_3\over3}\right)\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

तीन बिंदु (3, 0), (6, 2) और (2, 3) को जोड़कर निर्मित त्रिभुज का केन्द्रक निम्न होगा:

\(\rm G\left({3+6+2\over3},{0+2+3\over3}\right)\)

= \(\rm G\left({11\over3},{5\over3}\right)\)

संकल्पना:

त्रिभुज का केन्द्रक: वह बिंदु जहाँ त्रिभुज के तीन माध्यक एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं। 

माना कि एक त्रिभुज लेते हैं। यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) हैं। 

त्रिभुज का केन्द्रक = \(\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}}}{3},\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_3}}}{3}} \right)\)

गणना:

त्रिभुज के शीर्ष A(2, 4), B(1, 0) और C(0, -1) के रूप में दिए गए हैं। 

त्रिभुज का केन्द्रक = \(\left( \frac {2+1+0}{3} , \frac {4+0+(-1)}{3} \right) = (1,1)\)

धारणा:

यदि A (x₁, y₁, z₁), B (x₂, y₂, z₂) और C (x₃, y₃, z₃) ΔABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का केंद्रक निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3},\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}} \right)\)

गणना:

दिया हुआ: ΔABC के शीर्ष हैं: A(2, -3, 3), B(5, -3, -4) और C(2, -3, -2)

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x₁, y₁, z₁), B (x₂, y₂, z₂) और C (x₃, y₃, z₃) ΔABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का केंद्रक निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3},\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}} \right)\)

अवधारणा :

यदि त्रिभुज Δ ABC के शीर्ष के निर्देशांक हैं: A (x1, y1), B (x2, y2) and C (x3, y3) तो केन्द्रक G के निर्देशांक इसके द्वारा दिए जाते हैं: \(\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}} \right)\)

गणना:

दिया गया: (2, 7) त्रिभुज का केन्द्रक है जिसके दो शीर्ष (4, 8) और (-2, 6) हैं।

यहां, हमें दिए गए त्रिभुज के तीसरे शीर्ष को खोजना होगा।

माना कि A = (4, 8), B = (2, 6) और C = (x, y) त्रिभुज ABC के तीन शीर्ष हैं जिनका केन्द्रक G = (2, 7) है

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि त्रिभुज Δ ABC के शीर्ष के निर्देशांक हैं: A (x1, y1), B (x2, y2) and C (x3, y3) तो केन्द्रक G के निर्देशांक इसके द्वारा दिए जाते हैं: \(\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}} \right)\)

यहाँ, x1 = 4, y1 = 8, x2 = - 2, y2 = 6, x3 = x और y3 = y

तो, त्रिभुज ABC का केन्द्रक है: \(G = \left( {\frac{{{4} - {2} + {x}}}{3},\frac{{{8} + {6} + {y}}}{3}} \right) =\left( {\frac{{{2}+ {x}}}{3},\frac{{{14}+ {y}}}{3}} \right)\)

∵ G = (2, 7)

⇒ \(\frac{2 +x}{3} = 2 \ and\ \frac{14+y}{3} = 7\)

⇒ x = 4 और y = 7

तो, तीसरा शीर्ष (4, 7) है

इसलिए, विकल्प B सत्य है।

दिया गया है:

त्रिभुज के शीर्ष (4, p), (-1, -1) और (3, 5) हैं

संकल्पना:

त्रिभुज का केन्द्रक: वह बिंदु जहाँ त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

आइए एक त्रिभुज पर विचार करें। यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) हैं।

त्रिभुज का केंद्रक = \(\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}}}{3},\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_3}}}{3}} \right)\)

मध्य-बिंदु: यदि दो बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) हैं, तो मध्य बिंदु निम्न द्वारा दिया जाता है

\((\frac{x_1\ +\ x_2}{2},\ \frac{x_2\ +\ x_2}{2} )\)

गणना:

हम जानते हैं कि त्रिभुज का केन्द्रक निम्न द्वारा दिया जाता है

G = \(\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}}}{3},\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_3}}}{3}} \right)\)

अत: दिए गए त्रिभुज के लिए हमें केन्द्रक प्राप्त होगा

G = \((2,\ \frac{4\ +\ p}{3})\)

प्रश्न के अनुसार, G (1, 4) और (q, 2) का मध्य-बिंदु है। इसलिए, मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके

\((\frac{q\ +\ 1}{2},\ 3) \ =\ (2,\ \frac{4\ +\ p}{3})\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर

\(\frac{q\ +\ 1}{2} \ =\ 2\ \ and\ \ 3= \ \frac{4\ +\ p}{3}\)

⇒ q = 3 और q = 5

⇒ p2 + q2 = 34

अत: विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

त्रिभुज का केन्द्रक: वह बिंदु जहाँ त्रिभुज के तीन माध्यिकाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करती हैं। 

माना कि एक त्रिभुज है। यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) हैं

त्रिभुज का केन्द्रक = \(\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}}}{3},\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_3}}}{3}} \right)\)

गणना:

माना कि एक त्रिभुज है। यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) हैं

दिया हुआ: A (x₁, y₁) = A (1, 1)

AB का मध्य बिंदु दिया गया है (-1, 2)

\(\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_2}}}{2} = {\rm{\;}} - 1{\rm{\;and\;}}\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_2}}}{2} = {\rm{\;}}2{\rm{\;\;}}\) 

⇒ x₂ = -2 – 1 = -3 और y₂ = 4 – 1 = 3

इसलिए, B(x₂, y₂) = B (-3, 3)

AC का मध्य बिंदु दिया गया है (3, 2)

\(\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}}}{2} = 3{\rm{\;and\;}}\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_3}}}{2} = {\rm{\;}}2{\rm{\;\;}}\) 

⇒ x₃ = 6 – 1 = 5 और y₃ = 4 – 1 = 3

C(x₃, y₃) = (5, 3)

त्रिभुज का केन्द्रक = \(\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{x}}_3}}}{3},\frac{{{{\rm{y}}_1} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}_3}}}{3}} \right) = {\rm{}}\left( {\frac{{1 - 3 + {\rm{\;}}5}}{3},\frac{{1 + {\rm{\;}}3 + {\rm{\;}}3}}{3}} \right) = {\rm{}}\left( {1,\frac{7}{3}} \right)\)

अवधारणा:

त्रिभुज का केन्द्रक:

यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) हैं तो त्रिभुज का केन्द्रक इसके द्वारा दिया जाता हैं: 

= \(\rm (\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}).\)

गणना:

दिया गया: P(1, 3), Q(3, 6) और R(- 4, 0)

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) किसी त्रिभुज के शीर्ष  हैं तो त्रिभुज का केन्द्रक इसके द्वारा दिया जाता हैं: \(\rm (\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}).\)

माना कि त्रिभुज का केन्द्रक S है।

\(\Rightarrow \rm S=(\frac{1+3-4}{3}, \frac{3+6+0}{3} )=(0, 3)\)

इसलिए, सही विकल्प 2 है।