Buckingham Pi Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Buckingham Pi Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

बकिंघम का π प्रमेय:

• यह कहता है कि "यदि किसी विमीय रूप से समघात समीकरण में 'n' चर हैं और यदि इन चरों में 'm' मूल (प्राथमिक) आयाम शामिल हैं, तो चरों को (n-k) आयामहीन पदों में समूहीकृत किया जा सकता है"। ये आयामहीन पद π-पद कहलाते हैं।
• हम द्रव यांत्रिकी में [M L T] मूल राशियों का उपयोग करते हैं। इस पद्धति का रेले की विधि पर लाभ यह है कि यह हमें विश्लेषण से पहले ही बता देता है कि कितने आयामहीन समूहों की अपेक्षा की जानी है।
• प्रत्येक आयामहीन π-पद कुल n चरों में से m चरों को शेष (n-k) चरों में से एक के साथ मिलाकर बनाया जाता है अर्थात प्रत्येक π-पद में (k + 1) चर होते हैं।
• ये k चर जो प्रत्येक π-पद में बार-बार आते हैं, परिणामस्वरूप आवर्ती चर कहलाते हैं और चरों में से चुने जाते हैं जैसे कि वे सभी मूल आयामों को एक साथ शामिल करते हैं और वे स्वयं एक आयामहीन पैरामीटर नहीं बनाते हैं।
• विमीय विश्लेषण में बकिंघम π प्रमेय कहता है कि यदि किसी भौतिक प्रक्रिया में n चर और k मूल आयाम शामिल हैं, तो निर्मित किए जा सकने वाले आयामहीन समूहों (π पदों) की संख्या n - k है।

अवधारणा:

पंखे की दक्षता कई कारकों पर निर्भर करती है, जैसे कोणीय वेग, गतिशील श्यानता, डिस्चार्ज, घनत्व और रोटर का व्यास। बकिंघम के π प्रमेय का उपयोग करके, इन चरों को विश्लेषण के लिए आयामहीन पदों में समूहीकृत किया जा सकता है।

गणना:

दिया गया है:

• दक्षता, \(\eta\) (आयामरहित)
• कोणीय वेग, \(\omega\) (आयामों \(T^{-1}\) के साथ)
• गतिशील श्यानता, \(\mu\) (आयामों \(M L^{-1} T^{-1}\) के साथ)
• निर्वहन, \(\dot{Q}\) (आयामों \(L^3 T^{-1}\) के साथ)
• घनत्व, \(\rho\) (आयामों \(M L^{-3}\) के साथ)
• रोटर का व्यास, \(D\) (आयामों \(L\) के साथ)

गणना:

बकिंघम के π प्रमेय के अनुसार, चरों की कुल संख्या, \(n\) , है:

\(n = 6\)

3 मूलभूत आयाम हैं: द्रव्यमान ( \(M\) ), लंबाई ( \(L\) ), और समय ( \(T\) )। तो, \(k = 3\) ।

विमाहीन समूहों की संख्या \(n - k\) द्वारा दी गई है:

\(6 - 3 = 3\)

निष्कर्ष:

दिए गए कथन में चरों की कुल संख्या है:

6

वर्णन:

बकिंघम का Pi प्रमेय:

माना कि एक भौतिक घटना को x1, x2, x3, ..., xn जैसे स्वतंत्र चरों की n संख्या द्वारा वर्णित किया गया है।

घटना को निम्न रूप में चरों को नियंत्रित करके एक अंतर्निहित कार्यात्मक संबंध द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

f(x1, x2, x3, ……………, xn) = 0

अब यदि k इन n चरों में शामिल द्रव्यमान, लम्बाई, समय, तापमान, इत्यादि जैसे मौलिक/प्राथमिक आयामों की संख्या है, तो बकिंघम के Pi प्रमेय के अनुसार -

दिया गया है: शक्ति 'P' दाबोच्चता (H) निस्सरण (Q) और विशिष्ट भार (W) का एक फलन है 

∴ P ∝ HaQbwc 

⇒ P = KHaQbwc; 

ML2T3 = K(L)a × (L3T1)b × (ML2T2)c 

⇒ ML2T3 = Mc × La + 3b  2c × Tb 2c 

⇒ तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है 

c = 1

⇒ b 2c = 3 

∴ b = 1 

⇒ a + 3b 2c = 2 

∴ a = 1 

⇒ P = KHaQbwc = KHQw 

∴ P ∝ HQw

वेबर संख्या = जड़त्व बल / पृष्ठीय तनाव बल

रेनॉल्ड संख्या =जड़त्व बल / श्यान बल 

मैक संख्या = जड़त्व बल / प्रत्यास्थ बल

यूलर संख्या = जड़त्व बल / दाब बल

फ़्रॉड संख्या = जड़त्व बल / गुरुत्वीय बल

व्याख्या:

बकिंघम का पाई प्रमेय:

मान लीजिए, एक भौतिक घटना का वर्णन n स्वतंत्र चरों की संख्या द्वारा किया जाता है जैसे: x1, x2, x3, ..., xn

इस घटना को विश्लेषणात्मक रूप से नियंत्रित चर के एक अंतर्निहित कार्यात्मक संबंध द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

f(x1, x2, x3, ……………, xn) = 0

अब यदि k इन n चरों में शामिल द्रव्यमान, लंबाई, समय, तापमान आदि जैसे मौलिक/प्राथमिक आयामों की संख्या हो, तो बकिंघम के पाई प्रमेय के अनुसार -

इस घटना का वर्णन (n - m) स्वतंत्र आयामहीन/गैर-आयामी समूहों जैसे π1, π2, ..., πn-m, के संदर्भ में किया जा सकता है, जहां p शब्द, आयाम रहित पैरामीटर का प्रतिनिधित्व करते हैं और कई के विभिन्न संयोजनों को शामिल करते हैं समस्या को परिभाषित करने वाले n स्वतंत्र चरों में से आयामी चर।

स्पष्टीकरण:

मैक संख्या

मैक संख्या को जड़त्व बल और प्रत्यास्थ बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\(M = \sqrt {\frac{{Inertia\;force}}{{Elastic\;force}}} = \sqrt {\frac{{\rho A{V^2}}}{{KA}}} = \sqrt {\frac{{{V^2}}}{{\frac{K}{\rho }}}} = \frac{V}{{\sqrt {\frac{K}{\rho }} }} = \frac{V}{C}\;\;\;\;\left\{ {\sqrt {\frac{K}{\rho }} = C = Velocity\;of\;sound} \right\}\)

\(M = \frac{{Velocity\;of\;body\;moving\;in\;fluid}}{{velocity\;of\;sound\;in\;fluid}}\)

यदि मैक संख्या 0.3 से कम है तो तरल पदार्थ को असंपीड्य कहा जाता है।

संपीड्य द्रव प्रवाह के लिए मैक संख्या एक महत्वपूर्ण आयाम रहित पैरामीटर है। मेक संख्या के आधार पर प्रवाह को परिभाषित किया जाता है।

अन्य महत्वपूर्ण आयाम रहित संख्याएँ नीचे दी गई तालिका में वर्णित हैं

वर्णन:

बकिंघम का Pi प्रमेय:

माना कि एक भौतिक घटना को x1, x2, x3, ..., xn जैसे स्वतंत्र चरों की n संख्या द्वारा वर्णित किया गया है।

घटना को निम्न रूप में चरों को नियंत्रित करके एक अंतर्निहित कार्यात्मक संबंध द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

f(x1, x2, x3, ……………, xn) = 0

अब यदि k इन n चरों में शामिल द्रव्यमान, लम्बाई, समय, तापमान, इत्यादि जैसे मौलिक/प्राथमिक आयामों की संख्या है, तो बकिंघम के Pi प्रमेय के अनुसार -

इकाई शीर्ष के तहत कार्य करने वाले एक टरबाइन द्वारा विकसित शक्ति को टरबाइन की इकाई शक्ति के रूप में जाना जाता है।

P = ρgQH ∝ QH

Q = AV ⇒ Q ∝ √H

P ∝ H√H ∝ H^3/2

P = K₂ H^3/2

जब H = 1; P = P_u

P_u = K₂

P = P_u H^3/2

वर्णन:

वेबर संख्या:

वेबर संख्या गतिशील दबाव (अर्थात जड़त्व बल) से सतह के तनाव के कारण दाब का अनुपात है।

वेबर संख्या = जड़त्व बल / पृष्ठीय तनाव बल = \(\frac{V}{{\sqrt {\sigma /\rho L} }}\)

Additional Information 

नीचे दी गई तालिका में अन्य महत्वपूर्ण आयाम रहित संख्याओं का वर्णन किया गया है:

दिया गया है: शक्ति 'P' दाबोच्चता (H) निस्सरण (Q) और विशिष्ट भार (W) का एक फलन है 

∴ P ∝ HaQbwc 

⇒ P = KHaQbwc; 

ML2T3 = K(L)a × (L3T1)b × (ML2T2)c 

⇒ ML2T3 = Mc × La + 3b  2c × Tb 2c 

⇒ तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है 

c = 1

⇒ b 2c = 3 

∴ b = 1 

⇒ a + 3b 2c = 2 

∴ a = 1 

⇒ P = KHaQbwc = KHQw 

∴ P ∝ HQw

दबाव = ρgH

जहाँ,

ρ = द्रव का घनत्व= ML^-3

g = गुरुत्वीय त्वरण= LT^-2

H = शीर्ष या द्रव की ऊंचाई = L

दबाव = [ML^-3] [LT^-2][ L]

व्याख्या:

बकिंघम का पाई प्रमेय:

मान लीजिए, एक भौतिक घटना का वर्णन n स्वतंत्र चरों की संख्या द्वारा किया जाता है जैसे: x1, x2, x3, ..., xn

इस घटना को विश्लेषणात्मक रूप से नियंत्रित चर के एक अंतर्निहित कार्यात्मक संबंध द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

f(x1, x2, x3, ……………, xn) = 0

अब यदि k इन n चरों में शामिल द्रव्यमान, लंबाई, समय, तापमान आदि जैसे मौलिक/प्राथमिक आयामों की संख्या हो, तो बकिंघम के पाई प्रमेय के अनुसार -

इस घटना का वर्णन (n - m) स्वतंत्र आयामहीन/गैर-आयामी समूहों जैसे π1, π2, ..., πn-m, के संदर्भ में किया जा सकता है, जहां p शब्द, आयाम रहित पैरामीटर का प्रतिनिधित्व करते हैं और कई के विभिन्न संयोजनों को शामिल करते हैं समस्या को परिभाषित करने वाले n स्वतंत्र चरों में से आयामी चर।

बकिंघम का Pi प्रमेय:

माना कि एक भौतिक घटना को x1, x2, x3, ..., xm जैसे स्वंतंत्र चरों की m संख्या द्वारा वर्णित किया जाता है।

घटना को विश्लेषणात्मक रूप से नियंत्रित चर के एक अंतर्निहित कार्यात्मक संबंध द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

f (x1, x2, x3, ……………, xm) = 0

अब यदि इन m चर में शामिल द्रव्यमान, लम्बाई, समय, तापमान इत्यादि जैसे मौलिक आयामों की संख्या n है, तो बकिंघम के Pi प्रमेय के अनुसार-

घटना को π1, π2, ..., πm-n जैसे (m - n) स्वतंत्र आयामों के समूहों के संदर्भ में वर्णित किया जाता है, जहाँ p पद आयामहीन मापदंड को दर्शाता है और इसमें समस्या को परिभाषित करने के लिए m स्वतंत्र चरों में से आयामी चरों की एक संख्या का अलग-अलग संयोजन शामिल है।

π पद की कुल संख्या = m - n

यहाँ, m = कुल मानदंड = 5 

n = मौलिक आयामों (M, L, T) = 3 

स्पष्टीकरण:

मैक संख्या

मैक संख्या को जड़त्व बल और प्रत्यास्थ बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\(M = \sqrt {\frac{{Inertia\;force}}{{Elastic\;force}}} = \sqrt {\frac{{\rho A{V^2}}}{{KA}}} = \sqrt {\frac{{{V^2}}}{{\frac{K}{\rho }}}} = \frac{V}{{\sqrt {\frac{K}{\rho }} }} = \frac{V}{C}\;\;\;\;\left\{ {\sqrt {\frac{K}{\rho }} = C = Velocity\;of\;sound} \right\}\)

\(M = \frac{{Velocity\;of\;body\;moving\;in\;fluid}}{{velocity\;of\;sound\;in\;fluid}}\)

यदि मैक संख्या 0.3 से कम है तो तरल पदार्थ को असंपीड्य कहा जाता है।

संपीड्य द्रव प्रवाह के लिए मैक संख्या एक महत्वपूर्ण आयाम रहित पैरामीटर है। मेक संख्या के आधार पर प्रवाह को परिभाषित किया जाता है।

अन्य महत्वपूर्ण आयाम रहित संख्याएँ नीचे दी गई तालिका में वर्णित हैं