Bode Plot MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Bode Plot - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

नियंत्रण सिद्धांत में किसी निकाय की कोटि एक मौलिक अवधारणा है जो निकाय के गतिशील गुणों जैसे स्थिरता, क्षणिक प्रतिक्रिया और आवृत्ति प्रतिक्रिया को निर्धारित करती है। किसी निकाय की कोटि को इसके ट्रांसफर फंक्शन के हर में लाप्लास चर 's' की उच्चतम घात द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह अवधारणा यह समझने के लिए आवश्यक है कि कोई निकाय कितना जटिल है और विभिन्न इनपुट पर यह कैसे प्रतिक्रिया करेगा।

सही विकल्प विश्लेषण:

सही विकल्प है:

विकल्प 3: इसके ट्रांसफर फंक्शन में 's' की उच्चतम घात।

यह विकल्प सही है क्योंकि किसी निकाय की कोटि सीधे इसके ट्रांसफर फंक्शन के हर में 's' की उच्चतम घात द्वारा निर्धारित होती है। एक ट्रांसफर फंक्शन, जो किसी निकाय के इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध का गणितीय निरूपण है, आमतौर पर लाप्लास डोमेन में दो बहुपदों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है:

ट्रांसफर फंक्शन (G(s)) = N(s) / D(s)

यहाँ, N(s) अंश बहुपद है, और D(s) हर बहुपद है। निकाय की कोटि D(s) बहुपद में 's' की उच्चतम घात द्वारा दी जाती है। यह उच्चतम घात ऊर्जा संग्रहण तत्वों (जैसे विद्युत निकायों में संधारित्र और प्रेरक) की संख्या को इंगित करती है और इस प्रकार निकाय के गतिशील व्यवहार को निर्धारित करती है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित ट्रांसफर फंक्शन पर विचार करें:

G(s) = (s + 2) / (s³ + 3s² + 3s + 1)

इस मामले में, हर में 's' की उच्चतम घात 3 है। इसलिए, निकाय की कोटि 3 है। इसका मतलब है कि निकाय में तीन ऊर्जा संग्रहण तत्व हैं और यह तीसरे क्रम की गतिशील प्रतिक्रिया प्रदर्शित करेगा।

महत्वपूर्ण जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: इनपुट सिग्नलों की संख्या।

यह विकल्प गलत है क्योंकि इनपुट सिग्नलों की संख्या निकाय की कोटि को निर्धारित नहीं करती है। कोटि ट्रांसफर फंक्शन के हर में 's' की उच्चतम घात से संबंधित है, न कि इनपुट की संख्या से। किसी निकाय में कई इनपुट सिग्नल मौजूद हो सकते हैं, लेकिन वे निकाय की कोटि को प्रभावित नहीं करते हैं।

विकल्प 2: आउटपुट सिग्नलों की संख्या।

यह विकल्प भी गलत है। इनपुट सिग्नलों की संख्या के समान, आउटपुट सिग्नलों की संख्या निकाय की कोटि को निर्धारित नहीं करती है। कोटि पूरी तरह से ट्रांसफर फंक्शन के हर में 's' की उच्चतम घात पर निर्भर करती है। किसी निकाय में कई आउटपुट सिग्नल मौजूद हो सकते हैं, लेकिन वे निकाय की कोटि को प्रभावित नहीं करते हैं।

विकल्प 4: प्रतिक्रिया लूपों की संख्या।

यह विकल्प गलत है क्योंकि किसी निकाय में प्रतिक्रिया लूपों की संख्या सीधे निकाय की कोटि को निर्धारित नहीं करती है। जबकि प्रतिक्रिया लूप निकाय के समग्र व्यवहार और स्थिरता को प्रभावित कर सकते हैं, वे कोटि को परिभाषित नहीं करते हैं। कोटि ट्रांसफर फंक्शन के हर में 's' की उच्चतम घात द्वारा निर्धारित की जाती है, चाहे प्रतिक्रिया लूपों की संख्या कुछ भी हो।

निष्कर्ष:

किसी निकाय की कोटि को समझना नियंत्रण निकायों का विश्लेषण और डिजाइन करने के लिए महत्वपूर्ण है। कोटि निकाय के ट्रांसफर फंक्शन के हर में 's' की उच्चतम घात द्वारा निर्धारित की जाती है। यह अवधारणा निकाय के गतिशील व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए आवश्यक है, जिसमें इसकी स्थिरता और विभिन्न इनपुट के प्रति प्रतिक्रिया शामिल है। कोटि की सही पहचान करके, इंजीनियर वांछित प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए उपयुक्त नियंत्रण रणनीतियाँ डिजाइन कर सकते हैं। दिए गए अन्य विकल्प निकाय की कोटि को निर्धारित करने के लिए प्रासंगिक नहीं हैं और उन्हें ट्रांसफर फंक्शन के हर के आधार पर सही परिभाषा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

व्याख्या:
बोड प्लॉट्स में परिमाणों के गुणन को योग में बदला जा सकता है।
बोड प्लॉट्स की मुख्य विशेषता:

लघुगणक पैमाना: बोड प्लॉट आवृत्ति (x-अक्ष) और परिमाण (y-अक्ष) दोनों के लिए लॉगरिदमिक पैमाने नियोजित करते हैं। पैमानों का यह विकल्प ही गुणन को योग में बदलने में सक्षम बनाता है।
गणितीय आधार:

लघुगणक गुणधर्म: किसी गुणनफल का लघुगणक व्यक्तिगत गुणनफलों के लघुगणक के योग के बराबर होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

log(a * b) = log(a) + log(b)

बोड प्लॉट्स में व्यावहारिक अनुप्रयोग:

• व्यक्तिगत गुणन खंड: जब स्थानांतरण फलन में कई गुणन खंड होते हैं (जैसे, ध्रुव और शून्य), तो उनके व्यक्तिगत बोड प्लॉट का निर्माण अलग से किया जा सकता है।
• प्लॉटों का योग: लघुगणकीय पैमानों के कारण, व्यक्तिगत प्लॉटों को एक साथ जोड़कर समग्र बोड प्लॉट प्राप्त किया जाता है। इसका मतलब यह है कि मानों को स्वयं गुणा करने के बजाय ऊर्ध्वाधर दूरियां (परिमाण का निरूपण) जोड़ी जाती हैं।

इस सुविधा के लाभ:

सरलीकृत निर्माण: यह लघुगणकीय गुणधर्म बोड प्लॉट बनाने और विश्लेषण करने की प्रक्रिया को महत्वपूर्ण रूप से सरल बनाती है, विशेष रूप से कई घटकों के साथ जटिल स्थानांतरण कार्यों के लिए।
ग्राफिकल विश्लेषण: यह लघुगणकीय पैमाने पर परिमाण को सीधे जोड़कर या घटाकर, लाभ और अवस्था अभिलाक्षणिकों सहित सिस्टम की आवृत्ति प्रतिक्रिया के दृश्य विश्लेषण की अनुमति देता है।
अन्य प्लॉट और रूपांतरण:

नाइक्विस्ट प्लॉट, निकोल्स प्लॉट, निकोल्स चार्ट: ये प्लॉट परिमाण के लिए रैखिक पैमानों का उपयोग करते हैं, इसलिए परिमाण का गुणन गुणन के रूप में रहता है, योग के रूप में नहीं। 

दिए गए बोडे प्लाॅट से,हम अंतरम फलन को निम्न रुप से लिख सकते हैं।

\(G\left( s \right) = \frac{k}{{s\left( {1 + s} \right)\left( {1 + \frac{s}{{20}}} \right)}}\)

इसमें 3 ध्रुव और कोई शून्य नहीं होता,

इसलिए,कथन I गलत है

 ω → ∞ पर, फेज कोण

\(G\left( {j\omega } \right) = - \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{3\pi }}{2}\)

फेज क्रॉसओवर आवृत्ति:

• जिस आवृत्ति पर फेज प्लॉट का फेज -180° होता है, उसे फेज क्रॉसओवर आवृत्ति के रूप में जाना जाता है।
• इसे ωpc द्वारा निरूपित किया जाता है।
• फेज क्रॉसओवर आवृत्ति की इकाई rad/sec है।

लाभ क्रॉसओवर आवृत्ति:

• जिस आवृत्ति पर परिमाण प्लॉट में परिमाण शून्य dB होता है, उसे लाभ क्रॉसओवर आवृत्ति के रूप में जाना जाता है।
• इसे ωgc द्वारा निरूपित किया जाता है।
• लाभ क्रॉसओवर आवृत्ति की इकाई rad/sec है।

लाभ मार्जिन:

लाभ मार्जिन GM को फेज क्रॉसओवर आवृत्ति पर dB में परिमाण के ऋृणात्मक के के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात्

\(GM = 20\log \left( {\frac{1}{{{M_{pc}}}}} \right) = 20\log {M_{pc}}\)

Mpc फेज क्रॉसओवर आवृत्ति पर परिमाण है।लाभ मार्जिन (GM)की इकाई dB होती है।

फेज मार्जिन 

एक प्रणाली के फेज मार्जिन को निम्न रुप से परिभाषित किया जाता है:

PM = 180° + ϕgc

नियंत्रण प्रणाली की स्थिरता लाभ मार्जिन और फेज मार्जिन के बीच के संबंध पर आधारित है:

संकल्पना:

बोड प्लाॅट अंतरण फलन को मानक समय स्थिरांक के रुप में निम्न रुप से निरुपित किया जाता है  \(T\left( s \right) = \frac{{k\left( {\frac{s}{{{\omega _{{c_1}}}}} + 1} \right) \ldots }}{{\left( {\frac{s}{{{\omega _{{c_2}}}}} + 1} \right)\left( {\frac{s}{{{\omega _{{c_3}}}}} + 1} \right) \ldots }}\)

ωc1, ωc2, … कोणी आवृत्तियाँ है।

In a बोडे परिमाण प्लाॅट में,

• मूल पर एक ध्रुव के लिए, प्रारंभिक ढलान -20 dB/decade है।
• मूल पर शून्य के लिए, प्रारंभिक ढलान 20 dB/decade है।
• प्रत्येक कोण की आवृत्ति पर परिमाण प्लाॅट का ढलान परिवर्तित होता है।
• ध्रुवों के साथ जुड़े कोण की आवृत्ति के कारण -20 dB/decade का ढलान बनता है।
• ध्रुवों के साथ जुड़े कोण की आवृत्ति के कारण -20 dB/decade का ढलान बनता है।
• बोड परिमाण प्लाॅट का अंतिम ढलान  = (Z – P) × 20 dB/decade

जहाँ Z शून्यों की संख्या और P ध्रुवों की संख्या है।

अनुप्रयोग:

दिया गया अंतरण फलन \(\frac{{10\left( {1 + 0.2s} \right)}}{{\left( {1 + 0.5s} \right)}}\) है।

\( = \frac{{10\left( {1 + \frac{s}{5}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{s}{2}} \right)}}\)

मानक अंतरण फलन के साथ तुलना करने पर कोणी आवृत्तियाँ निम्न हैं 

ω₁ = 2, ω₂ = 5

संकल्पना:

मानक समय स्थिरांक में बोडे प्लाॅट स्थानान्तरण फलन को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है  \(T\left( s \right) = \frac{{k\left( {\frac{s}{{{\omega _{{c_1}}}}} + 1} \right) \ldots }}{{\left( {\frac{s}{{{\omega _{{c_2}}}}} + 1} \right)\left( {\frac{s}{{{\omega _{{c_3}}}}} + 1} \right) \ldots }}\)

ωc1, ωc2, … विच्छेदक आवृत्तियाँ हैं।

बोडे परिमाण प्लाॅट में,

• मूल पर ध्रुव के लिए,प्रारंभिक ढलान -20 dB/decade होगा।
• मूल पर शून्य के लिए,प्रारंभिक ढलान 20 dB/decadeहोगा।
• परिमाण का ढलान प्रत्येक विच्छेदक आवृत्ति पर परिवर्तित होता है।
• ध्रुव से संबंधित विच्छेदक आवृत्ति के कारण  -20 dB/decade का ढलान बनता है।
• ध्रुव से संबंधित विच्छेदक आवृत्ति के कारण  -20 dB/decade का ढलान बनता है।
• बोडे परिमाण प्लाॅट का अंतिम ढलान = (Z – P) × 20 dB/decade

जहाँ Z शून्यों की संख्या है और P ध्रुवों की संख्या है।

अनुप्रयोग:

दी गई प्रणाली द्वितीय क्रम की प्रणाली है।इसलिए, ध्रुवों की संख्या 2 है।

अनन्तस्पर्शी का ढलान  = 2 × 20 dB/decade = 40 dB/decade

20 bB/decade = 6 dB/octave

इस प्रकार,अनन्तस्पर्शी का ढलान = 12 dB/octave

संकल्पना:

दिए गए बोड आलेख से यह स्पष्ट है कि परिमाण सभी आवृत्तियों पर स्थिर है।

​

• साथ ही, प्रथम-कोटि वाली प्रणाली दी गयी है, इसलिए एक सीमित ध्रुव मौजूद है।
• यह सभी-पास वाली प्रणाली हो सकती है।
• सभी-पास वाली प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है

\(\rm T.F = \frac{1-S}{1 + S}\)

T.F का चरण कोण निम्न है

ϕ = - tan^-1ω - tan^-1ω

ω → ∞ पर, ϕ = -180°

यह आकृति में भी दिया गया है, उच्च-आवृत्ति पर चरण -180° के बराबर है।

इसलिए, यह समान आवृत्ति पर बाएँ पक्ष पर एक ध्रुव और दाएँ पक्ष पर एक शून्य वाली सभी-पास प्रणाली है।

अतः सही विकल्प (a) है।

फेज संक्रमण आवृत्ति:

• जिस आवृत्ति पर फेज प्लॉट का फेज -180° होता है, उसे फेज संक्रमण आवृत्ति के रूप में जाना जाता है।
• इसे ωpc द्वारा निरूपित किया जाता है।
• फेज संक्रमण आवृत्ति की इकाई rad/sec है।

लाभ संक्रमण आवृत्ति:

• जिस आवृत्ति पर परिमाण प्लॉट में परिमाण शून्य dB होता है, उसे लाभ संक्रमण आवृत्ति के रूप में जाना जाता है।
• इसे ωgc द्वारा निरूपित किया जाता है।
• लाभ संक्रमण आवृत्ति की इकाई rad/sec है।

लाभ मार्जिन:

लाभ मार्जिन GM को फेज संक्रमण आवृत्ति पर dB में परिमाण के ऋृणात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात्

\(GM = 20\log \left( {\frac{1}{{{M_{pc}}}}} \right) = 20\log {M_{pc}}\)

Mpc फेज संक्रमण आवृत्ति पर परिमाण है। लाभ मार्जिन (GM) की इकाई dB होती है।

फेज मार्जिन 

एक प्रणाली के फेज मार्जिन को निम्न रुप से परिभाषित किया जाता है:

PM = 180° + ϕgc

नियंत्रण प्रणाली की स्थिरता लाभ मार्जिन और फेज मार्जिन के बीच के संबंध पर आधारित है:

संकल्पना:

मानक समय स्थिरांक में बोडे प्लाॅट स्थानान्तरण फलन को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है 

\(T\left( s \right) = \frac{{k\left( {\frac{s}{{{ω _{{c_1}}}}} + 1} \right) \ldots }}{{\left( {\frac{s}{{{ω _{{c_2}}}}} + 1} \right)\left( {\frac{s}{{{ω _{{c_3}}}}} + 1} \right) \ldots }}\)

c1 , ω c2 , … कोने की आवृत्तियाँ हैं।

बोडे परिमाण प्लाॅट में,

• मूल पर ध्रुव के लिए प्रारंभिक ढलान -20 dB/दशक होगी।
• मूल पर शून्य के लिए प्रारंभिक ढलान 20 dB/दशक होगी।
• परिमाण की ढलान प्रत्येक विच्छेदक आवृत्ति पर परिवर्तित होती है।
• ध्रुव से संबंधित विच्छेदक आवृत्ति के कारण -20 dB/दशक की ढलान बनती है।
• ध्रुव से संबंधित विच्छेदक आवृत्ति के कारण -20 dB/दशक की ढलान बनती है।
• बोडे परिमाण प्लाॅट की अंतिम ढलान = (Z – P) × 20 dB/दशक

जहाँ Z शून्यों की संख्या है और P ध्रुवों की संख्या है।

गणना:

प्रत्येक ध्रुव एक -20 dB/dec ढलान जोड़ता है और प्रत्येक शून्य एक +20 db/dec ढलान जोड़ता है

इसलिए उच्च आवृत्ति पर समग्र ढलान को निम्न द्वारा दिया जाता है:

उच्च आवृत्ति पर ढलान = (-20 × ध्रुवों की संख्या + 20 × शून्य की संख्या) dB/dec

P = 0 और Z = 3 के लिए

⇒ उच्च आवृत्ति पर ढलान = (-20 × 0 + 20 × 3) dB/dec

⇒ उच्च आवृत्ति पर ढलान = 60 dB/decade

अवधारणा-

एक खुले-लूप स्थानांतरण फलन G(s) के साथ एकल प्रतिक्रिया प्रणाली के लिए, स्थिर-अवस्था त्रुटियों को प्रणाली प्रकार की पहचान करने और संबंधित सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

प्रणाली प्रकार 0 के लिए: \(ess = \frac{1}{{1 + {K_p}}}\)

प्रणाली प्रकार 1 के लिए : \(ess = \frac{1}{{{K_v}}}\)

प्रणाली प्रकार 2 के लिए : \(ess = \frac{1}{{{K_a}}}\)

खुले-लूप बोड आरेख से प्रणाली प्रकार की पहचान करके, स्थिर-अवस्था त्रुटि को आसानी से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

दिए गए बोड आरेख से प्रारंभिक ढलान = \(\frac{{M\left( {j{\omega _2}} \right) - M\left( {j{\omega _1}} \right)}}{{\log {\omega _2} - \log {\omega _1}}}\)

\(slope = \frac{{ - 6.02}}{{\log 2 - \log 1}} = - 20\) dB / dec

तो मूल में मौजूद एक ध्रुव

चूंकि यह एक प्रकार 1 प्रणाली है इसलिए यह वास्तविक अक्ष को kv पर प्रतिच्छेद करेगी

Kv = 2

\(ess = \frac{1}{{{K_v}}} = \frac{1}{2} = 0.5\)

बोडे आरेख:

• इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और नियंत्रण सिद्धांत में बोडे आरेख किसी प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया का एक आलेख होता है। यह सामान्यतौर पर बोडे परिमाण आरेख, जो आवृत्ति प्रतिक्रिया के परिमाण (विशेष रूप से डेसिबेल में) को व्यक्त करता है, और बोडे चरण आरेख जो चरण स्थानांतरण को व्यक्त करता है, का संयोजन होता है। 
• बोडे परिमाण आलेख आवृत्ति ω के फलन |H(s=jω)| का आलेख होता है, (जिसमें j काल्पनिक इकाई है)। परिमाण आलेख का ω -अक्ष लघुगणक होता है और परिमाण डेसिबेल में दिया गया है अर्थात् परिमाण |H| का मान 20\log 10|H| पर अक्ष पर बनाया गया है। 
• बोडे चरण आलेख चरण का आलेख होता है, जिसे सामान्यतौर पर ω के फलन के रूप में स्थानांतरण फलन (H(s=jω ) के डिग्री में व्यक्त किया जाता है। चरण को परिमाण आलेख के रूप में समान लघुगुणक ω -अक्ष पर बनाया गया है, लेकिन चरण के लिए मान को रैखिक ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बनाया गया है। 
• कई वास्तविक समस्याओं के लिए वर्णित बोडे आलेख को सीधे - रेखाखण्ड के साथ अनुमानित किया जा सकता है जो सटीक प्रतिक्रिया का अनन्तस्पर्शी होता है। अतः बोडे आलेख एक अनन्तस्पर्शी आलेख होता है।
• न्यूनतम फेज प्रणाली के लिए बोडे आरेख लागू है।

न्यूनतम फेज प्रणाली:

• यदि G(s) और 1/G(s) दोनों करणीय और संतुलित हैं, तो स्थानांतरण फलन G(s) न्यूनतम फेज है।
• एक न्यूनतम फेज प्रणाली में दाएँ-आधे सतह पर शून्य या ध्रुव नहीं होता है और इसमें विलंब नहीं होता है।
• बॉड ने पाया कि फेज को न्यूनतम-फेज प्रणाली के लिए परिमाण के ढलान से विशिष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है।
• हम गैर-न्यूनतम फेज प्रणालियों के लिए बॉड प्लॉट बना सकते हैं, लेकिन परिमाण और फेज-कोण प्लॉट 'विशिष्ट रूप से संबंधित' नहीं होते हैं।
• एक न्यूनतम फेज प्रणाली के लिए, परिमाण और फेज-कोण प्लॉट विशिष्ट रूप से संबंधित होते हैं, इसका अर्थ है कि यदि उनमें से एक को पूरी आवृत्ति सीमा पर निर्दिष्ट किया जाता है, तो दूसरे प्लॉट को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। यह NMP प्रणाली पर लागू नहीं होता है।

Additional Information

सर्व पास प्रणाली:

एक सर्व-पास प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जिसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया परिमाण सभी आवृत्तियों के लिए स्थिर है।

गैर-न्यूनतम फेज नेटवर्क:

एक प्रणाली को गैर-न्यूनतम फेज प्रणाली कहा जाता है यदि सभी खुले लूप ध्रुव और शून्य दाएं-अर्ध समतल में निहित हैं।

Concept:

लाभ मार्जिन (GM): प्रणाली का लाभ मार्जिन इस बात को परिभाषित करता है कि प्रणाली लाभ को कितना बढ़ाया जा सकता है ताकि प्रणाली स्थिरता के किनारे पर चले।

यह चरण क्रॉस-ओवर आवृत्ति पर लाभ से निर्धारित होता है।

\(GM = \frac{1}{{{{\left| {G\left( {j\omega } \right)H\left( {j\omega } \right)} \right|}_{\omega = {\omega _{pc}}}}}}\)

चरण क्रॉसओवर आवृत्ति (ωpc): यह वह आवृत्ति है जिस पर G(s) H(s) का चरण कोण -180° है।

\(\angle G\left( {j\omega } \right)H\left( {j\omega } \right){|_{\omega = {\omega _{pc}}}} = - 180^\circ \)

चरण मार्जिन (PM): प्रणाली का चरण मार्जिन यह परिभाषित करता है कि प्रणाली को अस्थिर करने के लिए प्रणाली का चरण कितना बढ़ सकता है।

\(PM = 180^\circ + \angle G\left( {j\omega } \right)H\left( {j\omega } \right){|_{\omega = {\omega _{gc}}}} = - 180^\circ \)

यह लाभ क्रॉस-ओवर आवृत्ति पर चरण से निर्धारित होता है।

लाभ क्रॉसओवर आवृत्ति (ωgc): यह वह आवृत्ति है जिस पर G(s) H(s) का परिमाण एकत्व है।

\({\left| {G\left( {j\omega } \right)H\left( {j\omega } \right)} \right|_{\omega = {\omega _{gc}}}} = 1\)

In the Nyquist plot, the gain at phase cross over frequency is the gain at which the plot cuts the negative real axis.