Balancing of Reciprocating Mass MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Balancing of Reciprocating Mass - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

हम स्लाइडर-क्रैंक तंत्र की गतिविज्ञान का विश्लेषण करते हैं ताकि कनेक्टिंग रॉड के कोणीय वेग को निर्धारित किया जा सके जब क्रैंक दिए गए कोणीय वेग पर घूमता है।

दिया गया है:

• स्ट्रोक लंबाई = \(2R\) (क्रैंक त्रिज्या = \(R\) का अर्थ है)
• कनेक्टिंग रॉड लंबाई = \(L\)
• अनुपात \(n = \frac{L}{R}\)
• क्रैंक कोणीय वेग = \(\omega\)
• क्रैंक कोण = \(\theta\) (आंतरिक मृत केंद्र से मापा गया)

चरण 1: ज्यामितीय संबंध स्थापित करें

स्लाइडर-क्रैंक तंत्र के लिए, आंतरिक मृत केंद्र से पिस्टन का विस्थापन \(x\) है:

\(x = R(1 - \cos\theta) + L\left(1 - \sqrt{1 - \left(\frac{R}{L}\sin\theta\right)^2}\right)\)

चरण 2: वेग संबंध ज्ञात करने के लिए अवकलन करें

कनेक्टिंग रॉड (\(\omega_{cr}\)) का कोणीय वेग समय के संबंध में कनेक्टिंग रॉड की कोणीय स्थिति को अलग करके पाया जाता है।

कनेक्टिंग रॉड कोण \(\phi\) क्रैंक कोण \(\theta\) से संबंधित है:

\(\sin\phi = \frac{R}{L}\sin\theta = \frac{\sin\theta}{n}\)

चरण 3: कोणीय वेग व्यंजक प्राप्त करें

समय के संबंध में दोनों पक्षों को अलग करना:

\(\cos\phi \cdot \frac{d\phi}{dt} = \frac{\cos\theta}{n} \cdot \omega\)

इस प्रकार:

\(\omega_{cr} = \frac{d\phi}{dt} = \frac{\omega \cos\theta}{n \cos\phi}\)

\(\cos\phi = \sqrt{1 - \sin^2\phi} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin\theta}{n}\right)^2}\) का उपयोग करते हुए:

\(\omega_{cr} = \frac{\omega \cos\theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta}}\)

व्याख्या:

गतिशील रूप से तुल्य निकाय

• यांत्रिक निकायों में, एक गतिशील रूप से तुल्य निकाय द्रव्यमानों के एक सरलीकृत निकाय को संदर्भित करता है जिसमें मूल जटिल पिंड के समान गतिशील व्यवहार (अर्थात, समान जड़ता गुण) होता है। यह अवधारणा यांत्रिक निकायों के विश्लेषण और डिजाइन में विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि यह इंजीनियरों को सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया को बदले बिना एक जटिल पिंड को एक सरल, समकक्ष निकाय से बदलने की अनुमति देती है।

आवश्यक शर्त:

• दो द्रव्यमानों को इस प्रकार स्थित करने की आवश्यक शर्त जिससे निकाय मूल पिंड के गतिशील रूप से तुल्य हो जाए, वह पिंड के गुरुत्व केंद्र से दो द्रव्यमानों की दूरियों (I₁ और I₂) और पिंड की घूर्णन त्रिज्या (K_G) के बीच संबंध द्वारा दी जाती है। यह स्थिति सुनिश्चित करती है कि सरलीकृत निकाय में मूल पिंड के समान जड़त्व आघूर्ण हो।

किसी अक्ष के परितः किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण (I) उस अक्ष के परितः घूर्णन गति के प्रति पिंड के प्रतिरोध का एक माप है। घूर्णन त्रिज्या (K_G) एक पैरामीटर है जो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड के द्रव्यमान के वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

I = M x K_G²

जहाँ M पिंड का द्रव्यमान है।

व्याख्या:

प्रत्यागामी गति करने वाले द्रव्यमानों के मामले में, प्राथमिक बल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं। क्योंकि प्रत्यागामी गति करने वाले द्रव्यमानों में "परिणामी बल" पूरी तरह से संतुलित होंगे लेकिन "परिणामी युग्म" संतुलित नहीं होगा, इसलिए हम कहते हैं कि प्रत्यागामी गति करने वाले द्रव्यमान केवल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं।

चूँकि प्रत्यागामी गति करने वाला द्रव्यमान पूरी तरह से संतुलित नहीं हो सकता है, इसलिए प्रत्यागामी गति करने वाले द्रव्यमान का आंशिक संतुलन किया जाता है जबकि घूर्णन द्रव्यमान पूरी तरह से संतुलित हो सकते हैं।

प्राथमिक असंतुलित बल \({F_P} = mr{\omega ^2}cos\theta\)

द्वितीयक असंतुलित बल = \({F_S} = \frac{{mr{\omega ^2}cos2\theta }}{n}\)

प्रत्यागामी गति करने वाले भागों के आंशिक संतुलन का प्रभाव

प्रत्यागामी गति करने वाले भाग केवल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं। प्रत्यागामी गति करने वाले भागों के इस आंशिक संतुलन के कारण, स्ट्रोक की रेखा के साथ एक असंतुलित प्राथमिक बल और स्ट्रोक की रेखा के लंबवत एक असंतुलित प्राथमिक बल भी होता है। स्ट्रोक की रेखा के साथ असंतुलित प्राथमिक बल का प्रभाव उत्पन्न करना है;

• स्ट्रोक की रेखा के साथ कर्षण बल में भिन्नता
• संदोलन युग्म

सिद्धांत:

एक छह-सिलेंडर इंजन में, पारस्परिक द्रव्यमान का प्राथमिक संतुलन पूर्ण होता है। प्राथमिक असंतुलित बल की गणना पारस्परिक भाग के द्रव्यमान, स्ट्रोक और इंजन की गति का उपयोग करके की जा सकती है।

गणना:

दिया गया है:

एक पारस्परिक भाग का द्रव्यमान, \( m = 0.5 \, \text{kg} \)

स्ट्रोक, \( L = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m} \)

इंजन की गति, \( N = 4000 \, \text{RPM} \)

सबसे पहले, हम क्रैंक त्रिज्या \( r \) की गणना करते हैं:

\( r = \frac{L}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m} \)

अगला, हम कोणीय वेग \( \omega \) की गणना करते हैं:

\( \omega = 2\pi \times \frac{N}{60} \)

\( \omega = 2\pi \times \frac{4000}{60} \)

\( \omega = 2\pi \times 66.67 \)

\( \omega \approx 418.88 \, \text{rad/s} \)

अब, हम एक सिलेंडर के लिए प्राथमिक असंतुलित बल की गणना करते हैं:

\( F = mr\omega^2 \)

\( F = 0.5 \times 0.05 \times (418.88)^2 \)

\( F \approx 0.5 \times 0.05 \times 175444 \)

\( F \approx 4386.1 \, \text{N} \)

हालांकि, चूँकि छह-सिलेंडर इंजन में पारस्परिक द्रव्यमान का प्राथमिक संतुलन पूर्ण है, इसलिए सभी छह सिलेंडरों के असंतुलित बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

कुल प्राथमिक असंतुलित बल का निकटतम मान है:

\( \boxed{0} \)

वर्णन:

प्रत्यागामी द्रव्यमानों का प्राथमिक और द्वितीयक असंतुलित बल। 

माना कि हम निम्न के साथ एक प्रत्यागामी इंजन तंत्र को लेते हैं।

माना कि m = प्रत्यागामी भाग का द्रव्यमान, l = संयोजी छड़ की लम्बाई, r = क्रैंक की त्रिज्या, θ = स्ट्रोक की रेखा के साथ क्रैंक के झुकाव का कोण, ω = क्रैंक की कोणीय गति, n = संयोजी छड़ और क्रैंक त्रिज्या का अनुपात = l / r

प्रत्यागामी भागों के त्वरण को लगभग निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया गया है,

\(a_R=ω^2× r({\cosθ +{\cos2θ\over n }})\)

प्रत्यागामी भागों को त्वरित करने के लिए प्रत्यागामी भाग या बल के कारण जड़त्व बल, 

F_I = F_R = द्रव्यमान × त्वरण 

\(F_I = F_R =m × ω^2× r({\cosθ +{\cos2θ\over n }})\)

क्रैंकशाफ़्ट बेयरिंग (अर्थात् F_BH) पर लगाए गए बल का क्षैतिज घटक जड़त्व बल (F1) के बराबर और इसके विपरीत है। यह बल एक असंतुलित बल होता है और इसे FU द्वारा दर्शाया गया है।

∴ कुल असंतुलित बल निम्न है:

\(F_U=m × ω^2× r({\cosθ +{\cos2θ\over n }})=(m × ω^2× r\cosθ) +({m × ω^2× r{\cos2θ\over n }})\)

कुल असंतुलित बल प्राथमिक और द्वितीयक असंतुलित बल का योग है।

प्राथमिक असंतुलित बल निम्न है:

F_P = m × ω² ×  r × cosθ 

द्वितीयक असंतुलित बल निम्न है:

\(F_S={m × ω^2× r\times{\cos2θ\over n }}\)

• प्राथमिक असंतुलित बल θ = 0° या θ = 180° होने पर अधिकतम होता है। इसलिए प्राथमिक बल क्रैंक के एक चक्कर में अधिकतम दोगुना होता है।
• अधिकतम प्राथमिक असंतुलित बल को F_p(max) = m × ω² ×  r द्वारा ज्ञात किया गया है।
• द्वितीयक असंतुलित बल θ = 0°, θ = 90°, θ = 180°, और θ = 360° होने पर अधिकतम होता है। इसलिए, द्वितीयक बल क्रैंक के एक घूर्णन में चार कोणों के लिए अधिकतम होता है।
• अधिकतम द्वितीयक असंतुलित बल को Fs(max) =  \(m\times\omega^2\times\frac rn\) द्वारा ज्ञात किया गया है।
• इसलिए, यह देखा गया है कि द्वितीयक असंतुलित बल की आवृत्ति प्राथमिक असंतुलित बल का दोगुना है।
• हालाँकि द्वितीयक असंतुलित बल का परिमाण प्राथमिक असंतुलित बल की तुलना में कम (सामान्यतौर पर 4 से 5) होता है।

संकल्पना:

दो सिलेंडर के लिए आघात की रेखा के साथ असंतुलित बल सिलेंडरों के बीच केंद्रीय रेखा YY के आस-पास एक युग्म बनाते हैं। इस युग्म में ऊर्ध्वाधर अक्ष के आस-पास दोलित्र प्रभाव होता है, और इसमें वैकल्पिक रूप से दक्षिणावर्त्त और वामवर्त्त दिशाओं में इंजन के झूलने की प्रवृत्ति होती है। इसलिए युग्म को दोलित्र युग्म के रूप में जाना जाता है।

a दो सिलेंडरों की केंद्र रेखाओं के बीच की दूरी है।

दोलित्र युग्म के लिए सूत्र:

\(F_C=(1-c)m\omega^2r\times\frac{a}{2}(\cos\theta+\sin\theta)\)

θ = 45° या θ = 225° होने पर यह अधिकतम या न्यूनतम होता है

\(F_{c,max}=±\frac{a}{\sqrt2}(1-c)m\omega^2r\)

दोलित्र युग्म का परिमाण दो सिलेंडरों की केंद्रीय रेखा के बीच की दूरी सीधे आनुपातिक होता है। 

व्याख्या:

पारस्परिक द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में भिन्न होता है लेकिन दिशा में स्थिर होता है जबकि घूर्णन द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में स्थिर होता है लेकिन दिशा में भिन्न होता है।

असंतुलित बल:

\({F_U}= m{ω ^2}R\left( {\cosθ + \frac{{\cos2θ }}{n}} \right) \)

\(F_U= m{ω ^2}R\cosθ + m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\)

\(F_P=m{ω ^2}R\cosθ\) = प्राथमिक असंतुलित बल।

\(F_S=m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\) = द्वितीयक असंतुलित बल।

cos और cos 2θ का अधिकतम मान 1 है।

∴ अधिकतम प्राथमिक असंतुलित बल (F_P) = mω2R

∴ अधिकतम द्वितीयक असंतुलित बल \(F_S= \frac{{m{ω ^2}R}}{n}\)

∴ \(\frac{F_S}{F_P}=\frac{{m{ω ^2}R}}{n}\times\frac{1}{m{ω ^2}R}=\frac{1}{n}\)

वर्णन:

प्रत्यागामी द्रव्यमानों के कारण असंतुलित बल परिमाण के सन्दर्भ में परिवर्तनीय होता है पर दिशा के सन्दर्भ में स्थिर रहता है, जब कि, घूर्णन कर रहे द्रव्यमानों के कारण, अन्संतुलित बल परिमाण के सन्दर्भ में स्थिर रहता है पर दिशा के सन्दर्भ में परिवर्तनीय होता है।

असंतुलित बल,

\({F_U}\; = \;m.{\omega ^2}.r\left( {cos\theta + \frac{{cos2\theta }}{n}} \right)\; = \;m.{\omega ^2}.rcos\theta + m.{\omega ^2}.r \times \frac{{cos2\theta }}{n}\; = \;{F_P} + {F_S}\)

(m. ω².r cos θ) समीकरण को प्राथमिक असंतुलित बल के रूप में जाना जाता है, और, \(\left( {m.{\omega ^2}.r \times \frac{{cos2\theta }}{n}} \right)\) को द्वितीयक असंतुलित बल कहा जाता है।

इसलिए प्रत्यागामी द्रव्यमानों के पूर्ण संतुलन के लिए:

1. प्राथमिक और द्वितीयक बलों को संतुलित किया जाना चाहिए

2. प्राथमिक और द्वितीयक युग्मक को संतुलित किया जाना चाहिए

व्याख्या:

प्रत्यागमनी द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में भिन्न होता है लेकिन दिशा में स्थिर होता है जबकि परिक्रामी द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में स्थिर होता है लेकिन दिशा में भिन्न होता है।

असंतुलित बल:

\({F_U}= m{ω ^2}R\left( {cosθ + \frac{{cos2θ }}{n}} \right) = m{ω ^2}R\cosθ + m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\)

\(F_P=m{ω ^2}R\cosθ\) = प्राथमिक असंतुलित बल।

\(F_S=m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\) = द्वितीयक असंतुलन बल।

द्वितीयक असंतुलित बल का व्यंजक निम्न प्रकार से भी लिखा जा सकता है:

\(F_S=m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}=m{(2ω )^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{4n}\)

यह देखते हुए कि प्राथमिक और द्वितीयक असंतुलित बल बराबर है:

\(m{ω_{eq} ^2}R_{eq}\cosθ=m{(2ω^{} )^2} \times \frac{{R}}{4n}\times\cos 2θ\)

इस प्रकार, जब वास्तविक क्रैंक कोण θ = ωt के माध्यम से बदल गया, तो काल्पनिक क्रैंक 2θ = 2ωt का कोण बदल गया होगा।

\(R_{eq}=\frac{R}{4n}=\frac{R^2}{4L}\)

जहाँ \(n=\frac{L}{R}\) तिर्यकता अनुपात के रूप में जाना जाता है।    

यानी द्वितीयक असंतुलित बल का प्रभाव लंबाई \(\frac{R^2}{4L}\) के एक काल्पनिक क्रैंक के बराबर होता है जो दोहरे कोणीय वेग से घूमता है यानी इंजन की गति से दोगुना।

वर्णन:

प्रत्यागामी द्रव्यमान की स्थिति में प्राथमिक बल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं। क्योंकि प्रत्यागामी द्रव्यमान में "परिणामी बल" पूर्ण रूप से संतुलित होंगे लेकिन "परिणामी युग्म" संतुलित नहीं होंगे। यही कारण है कि हम यह कह सकते हैं कि प्रत्यागामी द्रव्यमान केवल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं।

चूँकि प्रत्यागामी द्रव्यमान पूर्ण रूप से संतुलित नहीं हो सकते हैं इसलिए प्रत्यागामी द्रव्यमान का आंशिक संतुलन किया जाता है जबकि घूर्णित द्रव्यमान को पूर्ण रूप से संतुलित किया जा सकता है।

प्राथमिक असंतुलित बल \({F_P} = mr{\omega ^2}cos\theta\)

द्वितीयक असंतुलित बल = \({F_S} = \frac{{mr{\omega ^2}cos2\theta }}{n}\)

प्रत्यागामी भागों के आंशिक संतुलन का प्रभाव

प्रत्यागामी भाग केवल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं। प्रत्यागामी भागों के इस आंशिक संतुलन के कारण, स्ट्रोक की रेखा के अनुदिश एक असंतुलित प्राथमिक बल होता है और साथ ही स्ट्रोक की रेखा के लंबवत एक असंतुलित प्राथमिक बल होता है। स्ट्रोक की रेखा के अनुदिश एक असंतुलित प्राथमिक बल के प्रभाव के कारण निम्न उत्पादित होते हैं;

• स्ट्रोक की रेखा के अनुदिश कर्षण बल में भिन्नता
• दोलक युग्म

संप्रत्यय:

विश्लेषण की प्रत्यक्ष और प्रतिलोम क्रैंक विधि

• इसमें, सभी बल एक ही तल में विद्यमान हैं और इसलिए कोई युग्म मौजूद नहीं है।
  

प्राथमिक बल के लिए दिया गया है,Fp = mrω2cosθ जो स्ट्रोक की रेखा के साथ कार्य करता है, इस बल के समान बल दो द्रव्यमानों द्वारा इस प्रकार उत्पन्न होता है:

1. क्रैंकपिन A पर रखा गया एक द्रव्यमान m/2 और कोणीय वेग ω पर घूम रहा है वामावर्त दिशा में।
2. एक काल्पनिक क्रैंक OA’ के क्रैंकपिन पर रखा गया एक द्रव्यमान m/2, वास्तविक क्रैंक के समान कोणीय स्थिति में लेकिन स्ट्रोक की रेखा की विपरीत दिशा में।यह दक्षिणावर्त दिशा (विपरीत) में कोणीय वेग ω पर घूमने के लिए माना जाता है।
   

​किसी भी क्षण, इन द्रव्यमानों के अपकेंद्रीय बलों के स्ट्रोक की रेखा के लंबवत घटक समान और विपरीत होंगे।

इंजन के घूर्णन की दिशा में घूमने वाले क्रैंक को प्रत्यक्ष क्रैंक के रूप में जाना जाता है और विपरीत दिशा में घूमने वाले काल्पनिक क्रैंक को प्रतिलोम क्रैंक के रूप में जाना जाता है।

अब द्वितीयक बल को संतुलित करने के लिए, F_s = \({m}{ω ^2}r\frac{{\cos 2θ }}{n}\) बल इसके समान भी दो द्रव्यमानों द्वारा इसी तरह से उत्पन्न किया जा सकता है:

1. एक द्रव्यमान m/2, लंबाई के प्रत्यक्ष द्वितीयक क्रैंक के अंत में रखा गया है \(\frac{r}{4n}\) 2θ के कोण पर वामावर्त दिशा में।
2. लंबाई के प्रतिलोम द्वितीयक क्रैंक के अंत में रखा गया एक द्रव्यमान m/2 ​\(\frac{r}{4n}\)​ -2θ के कोण पर दक्षिणावर्त दिशा में।

​

परिणाम:

दिया गया है:

क्रैंक द्वारा बनाया गया कोण θ = 30° दक्षिणावर्त।

द्वितीयक बलों को पूरी तरह से संतुलित करने के लिए 2θ कोण पर एक प्रतिलोम क्रैंक वामावर्त दिशा में लगाया जाता है।

इसलिए, प्रतिलोम क्रैंक 60° वामावर्त दिशा में है।

महत्वपूर्ण बिंदु

द्वितीयक बल संतुलन

आंशिक द्वितीयक बल संतुलन के लिए संतुष्ट होने वाली शर्तें इस प्रकार हैं:

• आवश्यक काल्पनिक क्रैंक लंबाई \(\frac{r}{4n}\) है
• काल्पनिक क्रैंक की गति 2ω है
• कोण आंतरिक मृत केंद्र के साथ एक काल्पनिक द्वितीयक क्रैंक द्वारा बनाया गया = 2θ
  

अतिरिक्त जानकारी

प्रत्यागामी द्रव्यमान

• प्रत्यागामी द्रव्यमान आंतरिक दहन इंजनों और भाप इंजनों में होते हैं।
• प्रत्यागामी द्रव्यमान पिस्टन, पिस्टन पिन और कनेक्टिंग रॉड के द्रव्यमान के भाग के द्रव्यमान के कारण होते हैं जिन्हें प्रत्यागामी माना जाता है।

असंतुलित बल Fu, प्रत्यागामी द्रव्यमान m के कारण, परिमाण में परिवर्तनशील है लेकिन दिशा में स्थिर है। यह दिया गया है,

\(F_u = mrω^2[cos θ + \frac{cos 2θ}{n} ]\)

\({F_u} = {m}{ω ^2}r\cos θ + {m}{ω ^2}r\frac{{\cos 2θ }}{n}\)

\({F_u} = {F_p} + {F_s}\)

जहाँ प्राथमिक बल Fp = \({m}{ω ^2}r\cos θ \) जो प्रत्यागामी द्रव्यमान के जड़त्व बल का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें सरल आवर्त गति होती है।

और द्वितीयक बल Fs = \({m}{ω ^2}r\frac{{\cos 2θ }}{n}\) जो कनेक्टिंग रॉड की तिरछापन के लिए आवश्यक सुधार का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या:

विश्लेषण की प्रत्यक्ष और विपरीत क्रैंक विधि:

इसमें सभी बल समान तल में मौजूद होते हैं और इसलिए कोई युग्म मौजूद नहीं होता है।

प्राथमिक अक्ष के लिए बल को, F_p = mrω²cosθ द्वारा ज्ञात किया गया है जो आघात की रेखा के साथ कार्य करता है, इस बल के समरूप बल दो द्रव्यमानों द्वारा उत्पादित होता है, जिसे निम्न रूप में दिया गया है:

1. द्रव्यमान m/2 क्रैंकपिन A पर स्थापित है और वामावर्त्त दिशा में कोणीय वेग ω पर घूमता है।
2. द्रव्यमान m/2 वास्तविक क्रैंक के रूप में समान कोणीय स्थिति पर काल्पनिक क्रैंक OA’ के क्रैंकपिन पर स्थापित है लेकिन यह आघात की रेखा के विपरीत दिशा में होता है। इसे दक्षिणावर्त्त दिशा (विपरीत) में कोणीय वेग ω पर घूमता हुआ माना जाता है।
    

किसी अवधि पर आघात की रेखा के लंब इन द्रव्यमानों के अपकेंद्रीय बलों के घटक बराबर और विपरीत होंगे।

इंजन घूर्णन की दिशा में घूमने वाले क्रैंक को प्रत्यक्ष क्रैंक के रूप में जाना जाता है और विपरीत दिशा में घूमने वाले काल्पनिक क्रैंक को विपरीत क्रैंक के रूप में जाना जाता है।

अब द्वितीयक बल को संतुलित करने के लिए इसके समरूप बल, \(F_s={m}{ω ^2}r\frac{{\cos 2θ }}{n}\) को समान तरीके में दो द्रव्यमानों द्वारा भी उत्पादित किया जा सकता है जो निम्न है:

1. द्रव्यमान m/2 वामावर्त्त दिशा में कोण 2θ पर लम्बाई \(\frac{r}{4n}\) के प्रत्यक्ष द्वितीयक क्रैंक के छोर पर स्थित है।
2. द्रव्यमान m/2 दक्षिणावर्त्त दिशा में कोण -2θ पर लम्बाई ​\(\frac{r}{4n}\)​ के विपरीत द्वितीयक क्रैंक के छोर पर स्थित है।
    

संकल्पना:

दिखाए गए अनुसार पिस्टन क्रैंक तंत्र पर विचार करें;

m = प्रत्यागामी भाग का द्रव्यमान, l = संयोजी रॉड की लंबाई, r = क्रैंक की त्रिज्या, ω = क्रैंक की कोणीय गति, θ = स्ट्रोक लंबाई के साथ क्रैंक के झुकाव का कोण, n = संयोजी रॉड की लंबाई से क्रैंक की त्रिज्या का अनुपात (l/r)

त्वरण विश्लेषण से, पिस्टन का त्वरण;

a = ω2 r.(cosθ + \(\left( {\frac{{{\rm{cos}}2{\rm{\theta }}}}{{\rm{n}}}} \right)\))

त्वरण का यह सूत्र संयोजी रॉड (l > r) की तिर्यकता पर विचार करके लिया गया है इसलिए हम कह सकते हैं कि संयोजी रॉड की तिर्यकता के कारण असंतुलित बलों का निर्माण होता है।

अब इस त्वरण के कारण तंत्र द्वारा अनुभव किया गया जड़त्व बल है

बल = द्रव्यमान * त्वरण

F=m.r.ω2(cosθ + \(\left( {\frac{{{\rm{cos}}2{\rm{\theta }}}}{{\rm{n}}}} \right)\))

पहला भाग अर्थात इस जड़त्व बल का mrθ ² cosθ प्राथमिक बल कहलाता है, और दूसरा भाग यानी \({\rm{m}}.{\rm{r}}.{{\rm{\omega }}^2}\left( {\frac{{{\rm{cos}}2{\rm{\theta }}}}{{\rm{n}}}} \right)\) को माध्यमिक बल कहा जाता है।

इसलिए पिस्टन क्रैंक तंत्र में द्वितीयक बल

\({\rm{F}}2{\rm{\;}} = {\rm{\;m}}.{\rm{r}}.{{\rm{\omega }}^2}\left( {\frac{{{\rm{cos}}2{\rm{\theta }}}}{{\rm{n}}}} \right)\)

अब इस समीकरण से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि द्वितीयक बल निम्न पर निर्भर करता है;

• संयोजी रॉड की विशिष्टता (क्योंकि n > 1)
• द्वितीयक बल प्राथमिक बल की आवृत्ति के दोगुने के रूप में कार्य करता है
• चूँकि द्वितीयक बल का मान (mrω²/n) प्राथमिक बल के अधिकतम मान (mrω 2) के (1/n) गुना है इसलिए द्वितीयक बल प्राथमिक बल की तुलना में परिमाण में छोटा होता है।

इसलिए सभी विकल्प सही हैं, इसलिए d  उत्तर होगा।

स्पष्टीकरण:

चूंकि प्रत्यागामी द्रव्यमान पूरी तरह से संतुलित नहीं हो सकता है इसलिए प्रत्यागामी ​द्रव्यमानों का आंशिक संतुलन किया जाता है जबकि परिक्रामी द्रव्यमानों को पूरी तरह से संतुलित किया जा सकता है।

प्रत्यागामी भागों के आंशिक संतुलन का प्रभाव

प्रत्यागामी भाग केवल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं। प्रत्यागामी भागों के इस आंशिक संतुलन के कारण, आघात(स्ट्रोक) की रेखा के साथ एक असंतुलित प्राथमिक बल और स्ट्रोक की रेखा के लंबवत एक असंतुलित प्राथमिक बल भी होता है। आघात(स्ट्रोक) की रेखा के साथ असंतुलित प्राथमिक बल का प्रभाव उत्पन्न करना है;

• स्ट्रोक की रेखा के साथ कर्षण बल में परिवर्तन
• स्वेइंग युग्म