Area under the curve MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Area under the curve - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है:  &  और

,  पर का प्रतिबिंब है। 

साथ ही,  और से होकर गुजरता है। 

इस प्रकार परिबद्ध क्षेत्र

⇒  48A = 10

संप्रत्यय:

• इस प्रश्न में असमिकाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना शामिल है।
• असमिकाएँ y = 1/x, 5x − 4y − 1 = 0, 4x + 4y − 17 = 0 और x-अक्ष द्वारा परिबद्ध एक क्षेत्र बनाती हैं।
• क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम:
  • दी गई वक्रों और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
  • क्षेत्र को सरल क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: त्रिभुज और समाकल।
  • वक्र y = 1/x के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन का उपयोग करते हैं।
• 1/x का समाकलन: x के सापेक्ष 1/x का समाकलन log_ex है।
• अंतिम क्षेत्रफल परिकलित त्रिभुजाकार क्षेत्रों और निश्चित समाकलों का एक संयोजन होगा।

परिकलन:

दिया गया है,

x > 0, y > 1/x, 5x − 4y − 1 > 0, 4x + 4y − 17

प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और y = 1/x (1, 1) पर मिलते हैं

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और 4x + 4y − 17 = 0 (2, 1.25) पर मिलते हैं

⇒ 4x + 4y − 17 = 0 और y = 1/x (4, 0.25) पर मिलते हैं

क्षेत्र को विभाजित करें:

शीर्षों (1,1), (2,1.25), (4,0.25) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

x = 1 और x = 4 के बीच y = 1/x के नीचे का क्षेत्र

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 1.5) x (ऊँचाई 4/3)

⇒ 1/2 x 3/2 x 4/3 = 1

अब, दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 2) x (ऊँचाई 10/4)

⇒ 1/2 x 2 x 2.5 = 2.5

अब वक्र y = 1/x के नीचे के क्षेत्रफल को घटाएँ:

∫₁⁴ (1/x) dx = log_e4

सभी क्षेत्रफलों को जोड़ें:

कुल क्षेत्रफल = 1 + 2.5 − log_e4

कुल क्षेत्रफल = 33/8 − log_e4

∴ इसलिए, दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल 33/8 − log_e4 है।

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

गणना:

2y = 5x² और y = x² + 6 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज ± 2 है।

⇒ 

⇒ α³ = 600

इसलिए, सही उत्तर 600 है। 

अवधारणा:

क्षेत्र का क्षेत्रफल:

• वक्रों के बीच का क्षेत्र दिए गए अंतराल पर फलनों के अंतर को समाकलित करके पाया जा सकता है।
• निश्चित समाकलों का प्रयोग करें तथा परिबद्ध क्षेत्र ज्ञात करने के लिए उचित सीमा लागू करें।

गणना:

दिया गया क्षेत्र है:

क्षेत्रफल गणना में तीन समाकलन शामिल हैं:

प्रत्येक समाकल का मूल्यांकन करने पर:

मान प्रतिस्थापित करने पर:

दिया गया है:

पदों की तुलना करने पर,

अतः सही उत्तर 22 है।

गणना

दिया गया है:

परवलय: y² = 4x

रेखा: x = 3

चूँकि y² = 4x है, तब y = (प्रथम चतुर्थांश में, y > 0)

अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 x (क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल)

⇒ क्षेत्रफल =

⇒ क्षेत्रफल =

⇒ क्षेत्रफल =

⇒ क्षेत्रफल =

⇒ क्षेत्रफल =

⇒ क्षेत्रफल =

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = वर्ग इकाई

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = 

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = 

गणना:

यहाँ, x² = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x² = 1

x = 1 और -1

अब, 

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

 वर्ग इकाई I

अवधारणा:

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y =  और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = 

⇒ 0 = 

⇒ 16 - x² = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

चूँकि, वक्र y =  है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A 

हम जानते हैं कि,

=  

= 

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

गणना:

संलग्न क्षेत्र

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल 

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए। 

• इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है। 
• यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।

इसलिए, 

गणना:

दिया गया वक्र: x = 4 - y2

⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)

उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,

हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0

⇒ y2 = 4 - x

⇒ y2 = 4 - 0 = 4

⇒ y = ± 2

⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। 

वक्र के तहत क्षेत्रफल  

 वर्ग इकाई

दिया गया है:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

संकल्पना​:

दो वक्रों y₁ और y₂ के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर 

गणना:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

तब 3x² = x² + 4

⇒ x² = 2

⇒ x = ± √ 2

तब क्षेत्रफल है

 वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है

आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें

प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = =

वृत्त का क्षेत्रफल = 4 ×

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = 

जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।

गणना:

f(x) = y = 4x³

दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3

वक्र का क्षेत्रफल (A) =

⇒ A = 

⇒ A = 

⇒ A = 

⇒ A = 

⇒ A = 97

Additional Information

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = + C ; n ≠ -1
•  + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C 

स्पष्टीकरण:

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं

y = x² --- (1) और y = 16 --- (2)

दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:

x² = 16

x = 4, -4

∴ प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।

आकृति से हमारे पास है

समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है

Alternate Method

एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,

क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:

क्षेत्रफल =

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए। 

इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है। 

हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

∴ क्षेत्रफल =  

गणना:

यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है। 

इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

चूँकि हम जानते हैं कि,

क्षेत्रफल = 

= 

= 

क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई 

संकल्पना:

x = a से x = b तक फलन y = f(x) और x-अक्ष के अंतर्गत क्षेत्र निश्चित समाकल  द्वारा उन वक्रों के लिए दिया जाता है जो पूरी तरह से दिए गए सीमा में x-अक्ष के एक ही पक्ष पर हैं।

यदि वक्र x-अक्ष के दोनों पक्षों पर हैं तो हम दोनों पक्षों के क्षेत्रों की अलग-अलग गणना करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।

निश्चित समाकल: यदि  ∫ f(x) dx = g(x) + C तो

.

गणना:

.

एक वक्र के क्षेत्र के लिए उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि आवश्यक क्षेत्र है:

.