Differentiation of Parametric Functions MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Differentiation of Parametric Functions - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

CONCEPT:

Chain Rule of Derivatives:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{g}(\mathrm{x})$.
• $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$.

CALCULATION:

Given x = at, y = a/t

$\Rightarrow \frac{dx}{dt}=a,\frac{dy}{dt}=\frac{a}{-t^2}$    $\because (\frac{d}{dx}{x}^2=n{x}^{n-1})$

$\Rightarrow \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{-a}{t^2}}{\frac{a}{1}}=\frac{a}{-a{t}^2}=\frac{-1}{t^2}$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{t^2}$

$\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=y^{″}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$

$\Rightarrow y^{″}(x)=\frac{d}{dx}(-\frac{1}{t^2})=\frac{d}{dt}(-t^{-2})\frac{dt}{dx}$

$\Rightarrow y^{″}(x)=\frac{2}{t^3}\times \frac{dt}{dx}=\frac{2}{t^3}\times \frac{1}{a}$

$\Rightarrow y^{″}(x)=\frac{2}{a{t}^3}$

So, the correct answer is option 2.

ধারণা:

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = cosx

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= -sinx

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$= tanx

গণনা:

প্রদত্ত,

y =  b sin³t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= 3 b sin²t cos t          ....(1)

একইভাবে,

x = a cos3t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

সমীকরণ (1) কে সমীকরণ (2) দিয়ে ভাগ করার পর আমরা পাই,

$\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$= $\frac{3\mathrm{b}{\sin }^2\mathrm{t}\cos \mathrm{t}}{-3\mathrm{a}{\cos }^2\mathrm{t}\sin \mathrm{t}}$

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$tan t

ধারণা:

ত্রিকোণমিতি সূত্র: $\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ এবং $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

গণনা :

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{t}}{1+{\mathrm{t}}^2}$ এবং $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{t}}{1-{\mathrm{t}}^2}$

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণে, t = tanθ,

⇒ $\sin \mathrm{x}=\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ এবং $\tan \mathrm{y}=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

⇒ $\mathrm{x}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }\right)$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }\right)$

⇒ $\mathrm{x}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta )$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\theta )$

⇒ x = 2θ এবং y = 2θ

∴ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }=2$ এবং $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }=2$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }}$ = 1

সঠিক বিকল্প হল 3

ধারণা:

$\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

প্যারামেট্রিক আকারে প্রকাশ করা ফাংশনগুলির অন্তরক সহগের জন্য ধাপ:

1. প্রথমত, আমরা প্যারামিটার x এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রদত্ত ফাংশন u এবং v লিখি।
2. পার্থক্য ব্যবহার করে du/dx এবং dv/dx নির্ণয়করুন।
3. তারপর প্যারামেট্রিক আকারে ফাংশন সমাধানের জন্য ব্যবহৃত সূত্র ব্যবহার করে অর্থাৎ
4. সবশেষে du/dx এবং dv/dx এর মান প্রতিস্থাপন করুন এবং ফলাফল পেতে সরল করুন।

গণনা:

ধরা যাক, u = tan-1 x এবং v = cot-1 x

x এর সাথে পার্থক্য করে পাই,

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

এখন,

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}} \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}}{\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}}=-1 \end{gathered}$$

ধারণা:

যদি x = f(t), y = f(t) হয় যেখানে t হল মানদন্ড, তাহলে ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ নির্ণয় করো

শৃঙ্খল সূত্র ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ এর প্রয়োগ করুন

গণনা:

প্রদত্ত, $\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{t}-{}^1╱{}_{\mathrm{t}}),\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{t}+{}^1╱{}_{\mathrm{t}})$

এখানে x = f(t), y = f(t)

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ নির্ণয় করতে, শৃঙ্খল সূত্র ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ এর প্রয়োগ করুন....(1)

এখন, $\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{t}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{t}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\mathrm{a}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})$ এবং ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\mathrm{a}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})$

সমীকরণ (1) এ এই মানগুলিকে বসানোর পর

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}{\mathrm{a}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}}$

উপরের সমীকরণটিকে t দ্বারা গুণ ও ভাগ করুন।

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\mathrm{t}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}{\mathrm{a}\mathrm{t}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}(\mathrm{t}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})}{\mathrm{a}\mathrm{t}(\mathrm{t}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})}}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}}$

ধারণা:

$\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

প্যারামেট্রিক আকারে প্রকাশ করা ফাংশনগুলির অন্তরক সহগের জন্য ধাপ:

1. প্রথমত, আমরা প্যারামিটার x এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রদত্ত ফাংশন u এবং v লিখি।
2. পার্থক্য ব্যবহার করে du/dx এবং dv/dx নির্ণয়করুন।
3. তারপর প্যারামেট্রিক আকারে ফাংশন সমাধানের জন্য ব্যবহৃত সূত্র ব্যবহার করে অর্থাৎ
4. সবশেষে du/dx এবং dv/dx এর মান প্রতিস্থাপন করুন এবং ফলাফল পেতে সরল করুন।

গণনা:

ধরা যাক, u = tan-1 x এবং v = cot-1 x

x এর সাথে পার্থক্য করে পাই,

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

এখন,

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}} \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}}{\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}}=-1 \end{gathered}$$

ধারণা:

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = cosx

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= -sinx

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$= tanx

গণনা:

প্রদত্ত,

y =  b sin³t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= 3 b sin²t cos t          ....(1)

একইভাবে,

x = a cos3t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

সমীকরণ (1) কে সমীকরণ (2) দিয়ে ভাগ করার পর আমরা পাই,

$\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$= $\frac{3\mathrm{b}{\sin }^2\mathrm{t}\cos \mathrm{t}}{-3\mathrm{a}{\cos }^2\mathrm{t}\sin \mathrm{t}}$

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$tan t

ধারণা:

যদি x = f(t), y = f(t) হয় যেখানে t হল মানদন্ড, তাহলে ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ নির্ণয় করো

শৃঙ্খল সূত্র ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ এর প্রয়োগ করুন

গণনা:

প্রদত্ত, $\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{t}-{}^1╱{}_{\mathrm{t}}),\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{t}+{}^1╱{}_{\mathrm{t}})$

এখানে x = f(t), y = f(t)

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ নির্ণয় করতে, শৃঙ্খল সূত্র ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ এর প্রয়োগ করুন....(1)

এখন, $\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{t}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{t}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\mathrm{a}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})$ এবং ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\mathrm{a}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})$

সমীকরণ (1) এ এই মানগুলিকে বসানোর পর

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}{\mathrm{a}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}}$

উপরের সমীকরণটিকে t দ্বারা গুণ ও ভাগ করুন।

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\mathrm{t}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}{\mathrm{a}\mathrm{t}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}(\mathrm{t}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})}{\mathrm{a}\mathrm{t}(\mathrm{t}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})}}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}}$

ধারণা:

ত্রিকোণমিতি সূত্র: $\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ এবং $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

গণনা :

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{t}}{1+{\mathrm{t}}^2}$ এবং $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{t}}{1-{\mathrm{t}}^2}$

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণে, t = tanθ,

⇒ $\sin \mathrm{x}=\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ এবং $\tan \mathrm{y}=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

⇒ $\mathrm{x}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }\right)$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }\right)$

⇒ $\mathrm{x}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta )$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\theta )$

⇒ x = 2θ এবং y = 2θ

∴ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }=2$ এবং $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }=2$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }}$ = 1

সঠিক বিকল্প হল 3

ধারণা:

$\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

প্যারামেট্রিক আকারে প্রকাশ করা ফাংশনগুলির অন্তরক সহগের জন্য ধাপ:

1. প্রথমত, আমরা প্যারামিটার x এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রদত্ত ফাংশন u এবং v লিখি।
2. পার্থক্য ব্যবহার করে du/dx এবং dv/dx নির্ণয়করুন।
3. তারপর প্যারামেট্রিক আকারে ফাংশন সমাধানের জন্য ব্যবহৃত সূত্র ব্যবহার করে অর্থাৎ
4. সবশেষে du/dx এবং dv/dx এর মান প্রতিস্থাপন করুন এবং ফলাফল পেতে সরল করুন।

গণনা:

ধরা যাক, u = tan-1 x এবং v = cot-1 x

x এর সাথে পার্থক্য করে পাই,

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

এখন,

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}} \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}}{\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}}=-1 \end{gathered}$$

ধারণা:

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = cosx

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= -sinx

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$= tanx

গণনা:

প্রদত্ত,

y =  b sin³t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= 3 b sin²t cos t          ....(1)

একইভাবে,

x = a cos3t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

সমীকরণ (1) কে সমীকরণ (2) দিয়ে ভাগ করার পর আমরা পাই,

$\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$= $\frac{3\mathrm{b}{\sin }^2\mathrm{t}\cos \mathrm{t}}{-3\mathrm{a}{\cos }^2\mathrm{t}\sin \mathrm{t}}$

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$tan t

CONCEPT:

Chain Rule of Derivatives:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{g}(\mathrm{x})$.
• $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$.

CALCULATION:

Given x = at, y = a/t

$\Rightarrow \frac{dx}{dt}=a,\frac{dy}{dt}=\frac{a}{-t^2}$    $\because (\frac{d}{dx}{x}^2=n{x}^{n-1})$

$\Rightarrow \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{-a}{t^2}}{\frac{a}{1}}=\frac{a}{-a{t}^2}=\frac{-1}{t^2}$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{t^2}$

$\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=y^{″}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$

$\Rightarrow y^{″}(x)=\frac{d}{dx}(-\frac{1}{t^2})=\frac{d}{dt}(-t^{-2})\frac{dt}{dx}$

$\Rightarrow y^{″}(x)=\frac{2}{t^3}\times \frac{dt}{dx}=\frac{2}{t^3}\times \frac{1}{a}$

$\Rightarrow y^{″}(x)=\frac{2}{a{t}^3}$

So, the correct answer is option 2.

ধারণা:

যদি x = f(t), y = f(t) হয় যেখানে t হল মানদন্ড, তাহলে ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ নির্ণয় করো

শৃঙ্খল সূত্র ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ এর প্রয়োগ করুন

গণনা:

প্রদত্ত, $\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{t}-{}^1╱{}_{\mathrm{t}}),\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{t}+{}^1╱{}_{\mathrm{t}})$

এখানে x = f(t), y = f(t)

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ নির্ণয় করতে, শৃঙ্খল সূত্র ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ এর প্রয়োগ করুন....(1)

এখন, $\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{t}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{t}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\mathrm{a}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})$ এবং ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\mathrm{a}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})$

সমীকরণ (1) এ এই মানগুলিকে বসানোর পর

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}{\mathrm{a}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}}$

উপরের সমীকরণটিকে t দ্বারা গুণ ও ভাগ করুন।

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\mathrm{t}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}{\mathrm{a}\mathrm{t}(1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}})}}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}(\mathrm{t}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})}{\mathrm{a}\mathrm{t}(\mathrm{t}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{t}}})}}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}}$

ধারণা:

ত্রিকোণমিতি সূত্র: $\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ এবং $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

গণনা :

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{t}}{1+{\mathrm{t}}^2}$ এবং $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{t}}{1-{\mathrm{t}}^2}$

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণে, t = tanθ,

⇒ $\sin \mathrm{x}=\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ এবং $\tan \mathrm{y}=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

⇒ $\mathrm{x}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }\right)$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }\right)$

⇒ $\mathrm{x}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta )$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2\theta )$

⇒ x = 2θ এবং y = 2θ

∴ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }=2$ এবং $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }=2$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }}$ = 1

সঠিক বিকল্প হল 3