ఫలము f(x) = \(\rm cos \frac{x}{2}\)[π, 3π]పై రోల్ యొక్క సిద్ధాంతంలో 'c' విలువ:

Question

Question

Answer 1

భావన:

రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం:

రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక ఫలము f(x) బంధ విరామము [a, b]లో నిరంతరంగా ఉంటే మరియు ఓపెన్ ఇంటర్వెల్‌లో (a, b) విభిన్నంగా ఉంటే,

f(a) = f(b), అప్పుడు, కొన్ని c ∈ [a, b]

f′(c) = 0

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ f(x) = \(\rm \cos \dfrac{x}{2}\) [π, 3π]పై.

f(π) = \(\rm \cos \dfrac{\pi}{2}\) = 0 మరియు f(3π) = \(\rm \cos \dfrac{3\pi}{2}\) = 0.

కాబట్టి, f(π) = f(3π), f'(c) = 0 ఉండేలా c ∈ [π, 3π] ఉండాలి.

f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}\left (\cos \dfrac{x}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {x}{2} \right )\)

⇒ f'(c) = \(\rm -\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {c}{2} \right )\) = 0

⇒ \(\rm \sin \dfrac {c}{2}\) = 0

⇒ \(\rm \dfrac {c}{2}\) = nπ

⇒ c = 2nπ, ఇక్కడ n అనేది పూర్ణాంకం.

మనకు c ∈ [π, 3π] కావాలి, కాబట్టి c = 2π.