श्रेणी \(\left( {\sum\limits_{{\rm{n = 1}}}^\infty {\frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n - 1}}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} \right)}}} } \right)\) के लिए सत्य कथन है:

प्रयुक्त अवधारणा:

अनुपात परीक्षण:

माना \( L=\lim _{n \rightarrow ∞} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}\)

• यदि L < 1, तो \(\sum a_n\) पूर्णतया अभिसरण करता है।
• यदि L > 1, या सीमा ∞ तक जाती है, तो \(\sum a_n\) विचलन करता है।
• यदि L = 1 या यदि L मौजूद नहीं है, तो परीक्षण विफल हो जाता है, और हम कुछ भी नहीं जानते हैं।

गणना:

\( \left( {\sum\limits_{{\rm{n = 1}}}^\infty {\frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n - 1}}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} \right)}}} } \right) \) = \( \left( {\sum_{n=0}^\infty a_n} \right) \)

\( a_n=\frac{x^{n-1}}{n(3^n)}\) और \( a_{n+1}=\frac{x^{n}}{(n+1)3^{n+1}}\)

⇒ \(L=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{x^{n}}{(n+1)3^{n+1}}}{\frac{x^{n-1}}{n(3^n)}}\)

⇒ \(L=\lim_{n\to \infty} \frac{x}{3} \cdot \frac{n}{n+1}\)

⇒ \( L=\lim_{n\to \infty} \frac{x}{3} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1}\right) \)

⇒ \(L=\frac{x}{3}\)

अभिसरण के लिए, \( \frac{x}{3} <1\)

⇒ x < 3