फलन f (x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 का स्थानीय अधिकतम मान किस बिंदु पर हैं?

संकल्पना:

मान लीजिए f एक सतत फलन है कि f '(p) = 0

• यदि f ''(p) > 0 हो तो f का स्थानीय न्यूनतम p पर है।

• यदि f ''(p) <0 तो f का स्थानीय अधिकतम p पर है।

गणना:

f (x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12

f' (x) = 12x³ + 12x² - 24x + 0 ---- (1)

f' (x) = 12x (x² + x - 2)

f' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f' (x) = 0 रखने पर

12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2

f '' (x) प्राप्त करना,

⇒ f '' (x) = 36x² + 24x - 24 [(1) का प्रयोग करके]

⇒ f '' (x) = 12 (3x2 + 2x - 2)

स्थिति 1: x = 0 पर,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24 < 0 

चूँकि, f '' (x) < 0 x = 0 पर

∴ x = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है

अत: f(x) x = 0 पर अधिकतम है।

स्थिति 2: x = 1 पर

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0 

चूँकि, f '' (x) > 0 x = 1 पर

∴ x = 1 स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है

अत: x = 1 पर f(x) न्यूनतम है।

स्थिति 3: x = -2 पर

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0 

चूँकि, f '' (x) > 0 x = -2 पर 

∴ x = -2 स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है

अत: f(x) x = -2 पर न्यूनतम है।

अत: f(x), x = 0 बिंदु पर अधिकतम है।