निम्नलिखित में कौन सी समीकरण एक रैखिक समय-भिन्न असतत समय प्रणाली का वर्णन करती है?

अवधारणा:

रैखिकता: प्रणाली की रैखिकता को प्रमाणित करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि रैखिक प्रणाली सुपरपोज़िशन के नियमों का पालन करती है अर्थात् प्रणाली की प्रतिक्रिया पृथक रूप से लिए गए प्रत्येक इनपुट से प्राप्त प्रतिक्रियाओं का योग होता है।

y{ax1[t] + bx2[t]} = a y{x1[t]} + b y{x2[t]}

प्रणाली रैखिक है या नहीं की जाँच के लिए स्थितियाँ।

• आउटपुट इनपुट के लिए शून्य होना चाहिए।
• यहाँ प्रणाली में कोई भी गैर-रैखिक संचालक मौजूद नहीं होना चाहिए।

समय अपरिवर्तनीय: यदि इनपुट और आउटपुट विशेषताएँ समय के साथ नहीं बदलती हैं तो प्रणाली समय अपरिवर्तनीय (T.I) है।

समय-अपरिवर्तनीय प्रकृति आंतरिक घटकों के कारण होती है।

T.I (स्थानांतरण अपरिवर्तनीय) और T.V (स्थानांतरण अधीन प्रणाली)

यदि x(t) → y(t) हो तो

X(t – t0) → y(t – t0)

\(T.I\;y\left( t \right){\left. \right|_{x\left( {t - {t_0}} \right)}} = y\left( t \right){\left. \right|_{t = \left( {t - {t_0}} \right)}}\)

विश्लेषण:

विकल्प 2 और 4 में गैर-रैखिक ऑपरेटर हैं, इसलिए वे रैखिक नहीं हैं।

विकल्प 1 एकमात्र रैखिक और समय-परिवर्तनीय प्रणाली है।