निश्चित बिंदु (0, 0, 1) और (0, 0, -1) से निर्देशांक x, y, z वाले चर बिंदु P की दूरी को क्रमशः u और v द्वारा निरूपित किया जाता है। नया चर ξ, η, ϕ को  \(ξ = \frac{1}{2}(u+v), η = \frac{1}{2}(u-v)\)  द्वारा परिभाषित किया गया है और, ϕ समतल y = 0 और तीन बिंदुओं वाले समतल  \(ϕ = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\), 1 ≤ ξ < ∞, -1 ≤ η < 1, 0 ≤ ϕ < 2π के बीच का कोण है, तब जैकोबियन  \(\frac{\partial (\xi, \eta, \phi)}{\partial (x, y, z)}\) का मान 1 है तब,  \(\int\int\int_{all\:space}\frac{u-v)^2}{uv}\:exp\left(-\frac{u+v}{2}\right)dxdydz=\)?

अवधारणा:

\(\frac{\partial (\xi, \eta, \phi)}{\partial (x, y, z)}\times \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (\xi, \eta, \phi)}=1\)

\({1\over ζ^2-\eta^2}\times \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (\xi, \eta, \phi)}=1\)

\( \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (\xi, \eta, \phi)}=ζ^2-\eta^2\) .............(i)

गणना:

दिया गया है, \(ξ = \frac{1}{2}(u+v)\)

 \(u+v=2ξ\)...........(ii)

\(η = \frac{1}{2}(u-v)\)

\( u-v=2η\) ............(iii)

(ii) और (iii) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(u=ξ+\eta\) और \(v=ξ-\eta\)

\(J= \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (\xi, \eta, \phi)}=ζ^2-\eta^2=uv\) .......(iv)

समीकरणों (ii), (iii), और (iv) का मान रखने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

\(=\int\int\int\frac{(u-v)^2}{uv}\:e^\left(-\frac{u+v}{2}\right)dx\space dy\space dz\)

\(=\int_{\zeta=1}^{\infty}\int_{\eta=-1}^{1}\int_{\phi=0}^{2\pi}4\eta^2 d\zeta \space d\eta \space d\phi\)​​

\(=\frac{16\pi}{3e}\)