निम्नलिखित अनुक्रम के लिए असतत फूरियर श्रेणी निरूपण है:

\(x\left( n \right) = \cos \frac{\pi }{4}n\)

संप्रत्यय:

असतत-समय आवर्ती अनुक्रम का फूरियर श्रेणी निरूपण इस प्रकार दिया गया है:

\(x\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^{N - 1} {a_k}{e^{jk{\omega _0}n}}\)

\(x\left( n \right) = \ldots + {a_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}n}} + {a_1}{e^{j{\omega _0}n}} + \ldots \)

ak = फूरियर श्रेणी गुणांक N द्वारा आवधिक।

ω0 = मूल आवृत्ति।

अनुप्रयोग:

दिया गया अनुक्रम है: \(x\left( n \right) = \cos \frac{\pi }{4}n\)

अनुक्रम \({\omega _0} = \frac{\pi }{4}\) की मूल आवृत्ति

हम जानते हैं कि, \(\cos \theta = \frac{{{e^{j\theta }} + {e^{ - j\theta }}}}{2}\)

अब, हम दिए गए अनुक्रम को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं

\(x\left( n \right) = \frac{{{e^{\frac{{j\pi }}{4}n}} + {e^{ - \frac{{j\pi }}{4}n}}}}{2}\)

\( = \frac{1}{2}{e^{\frac{{j\pi }}{4}n}} + \frac{1}{2}{e^{\frac{{ - j\pi }}{4}n}}\)

हम लिख सकते हैं \({e^{\frac{{ - j\pi }}{4}n}} = {e^{\frac{{j7\pi }}{4}n}}\)

अब, x(n) बन जाता है

\(x\left( n \right) = \frac{1}{2}{e^{\frac{{j\pi }}{4}n}} + \frac{1}{2}{e^{\frac{{j7\pi }}{4}n}}\)