मूल से और x - अक्ष पर केंद्र से होकर गुजरने वाली वृत्त की श्रेणी का अवकल समीकरण क्या है?

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NDA (Held On: 16 Dec 2015) Maths Previous Year paper

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Answer 1

संकल्पना:

गणना:

माना कि मूल से और केंद्र (h, 0) से होकर गुजरने वाले वृत्त की श्रेणी का समीकरण निम्न है

(x - h)² + (y - 0)² = h²

⇒ x² + h² - 2xh + y² = h²

⇒ x²- 2xh + y² = 0 ---(1)

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2x - 2h + 2y(dy/dx) = 0

⇒ x + y(dy/dx) - h = 0 ---(2)

समीकरण 1 से,

x²- 2xh + y² = 0

\(\therefore {\rm{h}} = \frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{2{\rm{x}}}}\)

समीकरण 2 में h का मान रखने पर,

\(\Rightarrow {\rm{x}} + {\rm{y}}\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} - \left( {\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{2{\rm{x}}}}} \right) = 0{\rm{\;}}\)

\(\Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{xy}}\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} - {{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2} = 0\)

\(\Rightarrow 2{\rm{xy\;}}\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = {{\rm{y}}^2} - {{\rm{x}}^2}\)

अतः विकल्प 2 सही है।