माना कि A और B दो घटनाएं इस प्रकार है की \(P(\overline{A \cup B}) = \dfrac{1}{6}\), P(A ∩ B) = \(\dfrac{1}{4}\)और P(A̅) = \(\dfrac{1}{4}\), जहां A̅ घटना A के पूरक के लिए है। तो, घटनाएं A और B हैं:

अवधारणा:

स्वतंत्र घटनाएं

मान लीजिए E और F एक प्रतिदर्श समष्टि s से जुड़ी दो घटनाएं हैं। यदि उनमें से एक के घटित होने की प्रायिकता दूसरे की घटना से प्रभावित नहीं होती है, तो हम कहते हैं कि दोनों घटनाएं स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, दो घटनाएं E और F स्वतंत्र होंगी, यदि

     (a) P(F | E)= P(F), दिया गया है P(E) ≠ 0 

     (b) P(E | F) =P(E), दिया गया है P(F) ≠ 0

प्रायिकता पर गुणन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

     (c) P(E ⋂ F) = P(E) P(F)

यहां घटनाएं A, B और C परस्पर स्वतंत्र कहलाती हैं यदि निम्नलिखित सभी शर्ते लागू हों:

• P(A ⋂ B) = P(A) P(B)
• P(A ⋂ C) = P(A) P(C)
• P(B ⋂ C) = P(B) P(C)
• P(A ⋂ B ⋂ C) = P(A) P(B) P(C)

गणना:

दिया गया है:

P(A ∩ B) = \(\dfrac{1}{4}\) और P(A̅) = \(\dfrac{1}{4}\),

और \(P(\overline{A \cup B}) = \dfrac{1}{6}\)

⇒ 1 - P(A ∪ B) = 1/6 {इस प्रकार है कि p(A) + p(\(\bar{A}\)) = 1)}

⇒ 1 - P(A) - P(B) + P(A ∩ B) = 1/6

इस प्रकार है कि P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

⇒ P(\(\bar{A}\)) - P(B) + 1/4 =1/6

⇒ P(B) = 1/4 + 1/4 - 1/6

⇒ P(B) = 1/3 और P(A) = 3/4 

अब P(A ∩ B) = 1/4 = 3/4 × 1/3 = P(A) P(B)

अत:, घटनाएं A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं लेकिन समान रूप से संभावित नहीं हैं।