त्रिभुज ABC में, P भुजा BC का मध्यबिंदु है। यदि AB = (2x + 4) cm, AC = 6 cm और AP⊥ BC है, तो x का मान कितना है?

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, P भुजा BC का मध्यबिंदु है।

AB = (2x + 4) cm

AC = 6 cm

AP ⊥ BC

प्रयुक्त सूत्र:

समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय: a² + b² = c²

गणना:

दिया गया है AB = (2x + 4) cm, AC = 6 cm, और AP ⊥ BC, AP शीर्षलंब है।

चूँकि P भुजा BC का मध्यबिंदु है और AP भुजा BC पर लंब है, इसलिए त्रिभुज APB और त्रिभुज APC समकोण त्रिभुज हैं, जहाँ P समकोण है।

त्रिभुज APC में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

AP² + PC² = AC²

चूँकि P भुजा BC का मध्यबिंदु है, इसलिए PC = BC/2.

माना BC = 2y, तो PC = y.

दिया गया है AC = 6 cm, हमारे पास है:

AP² + y² = 6²

AP² + y² = 36

त्रिभुज APB में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

AP² + PB² = AB²

चूँकि P भुजा BC का मध्यबिंदु है, इसलिए PB = y.

दिया गया है AB = (2x + 4) cm, हमारे पास है:

AP2 + y2 = (2x + 4)2

AP2 + y2 = 4x2 + 16x + 16

AP² + y² के लिए दोनों समीकरणों को बराबर करके:

36 = 4x² + 16x + 16

x के लिए हल करने पर:

36 - 16 = 4x2 + 16x

20 = 4x2 + 16x

4x2 + 16x - 20 = 0

4 से विभाजित करने पर:

x² + 4x - 5 = 0

द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर:

(x + 5)(x - 1) = 0

⇒ x = -5 या x = 1

चूँकि x लंबाई है, इसलिए यह धनात्मक होना चाहिए।

⇒ x = 1

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।