त्रिभुज PQR का अंतःकेंद्र ज्ञात कीजिए जिसके निर्देशांक P(0,1), Q(0,-1) और R(0,√3) दिए गए हैं?

संकल्पना:

भुजा लम्बाई a, b ,c और शीर्ष A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के लिए, त्रिभुज ABC का अंतःकेंद्र:$\left(\frac{a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3}{a+b+c},\frac{a{y}_1+b{y}_2+c{y}_3}{a+b+c}\right)$द्वारा दिया गया है। 

माना कि A (x1, y1) और B (x2, y2), XY - तल में कोई दो बिंदु है, तो A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

गणना:

दिया गया है: PQR एक त्रिभुज है जिसके साथ P(0,1), Q(0,-1) और R(0,√3) इसके शीर्ष के रूप में है। 

माना कि x₁ = 0, y₁ = 1, x₂ = 0, y₂ = - 1, x₃ = 0 और y₃ = √3 है। 

माना कि c = |PQ|, a = |QR| और b = |PR| है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, दो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

⇒ c = 2, a = 1 + √3 और b = √3 - 1

चूँकि हम जानते हैं कि, एक त्रिभुज का अंतःकेंद्र निम्न दिया गया है:$\left(\frac{a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3}{a+b+c},\frac{a{y}_1+b{y}_2+c{y}_3}{a+b+c}\right)$

$\Rightarrow \left(\frac{(\sqrt{3}+1)0+(\sqrt{3}-1)\cdot 0+2\cdot 0}{2+2\sqrt{3}},\frac{(\sqrt{3}+1)1-(\sqrt{3}-1)\cdot 1+2\cdot \sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}\right)$

= (0, 1)

अतः विकल्प C सही उत्तर है।