बिंदु (-2, 3) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात करें जब दिया गया है कि किसी भी बिंदु (x, y) पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढलान \(\rm \frac{3x}{y^{2}}\) है।

अवधारणा:

किसी भी बिंदु (x, y) पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढलान \(\rm\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) द्वारा दी जाती है।

गणना:

हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा की ढलान,

\(\rm\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) = \(\rm \frac{3x}{y^{2}}\)

⇒ y2 dy = 3x dx 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \int y^{2}dy = \int 3x \ dx\)

⇒ \(\rm \frac{y^{3}}{3} = \frac{3}{2}x^{2} +C\) .... (i)

दिया गया है कि वक्र बिंदु (-2, 3) से होकर गुजरता है, इस प्रकार, x = -2 और y = 3 को (i) रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \frac{27}{3} = \frac{12}{2} + C\)

 ⇒ C = 3 

C = 3 को (i) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \frac{y^{3}}{3} = \frac{3}{2}x^{2} +3\) है

वक्र का आवश्यक समीकरण है।

सही विकल्प 2 है।