Wave Functions of a Trapped Electron MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Wave Functions of a Trapped Electron - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही विकल्प-3

अवधारणा:

बॉक्स में एक कण की समस्या श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है जो एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल के लिए एक सरलीकृत प्रणाली है जिसमें एक कण क्षैतिज रूप से एक अनंत गहरे कुएं के भीतर चल रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

इस समस्या के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल संभावित मान देते हैं जो अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ हैं जो कण के पास हो सकते हैं।

• एक आयामी बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमें कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मानों को खोजने के लिए दिए गए \(0 के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..

• संबंधित अनुमत तरंग फलन इस प्रकार दिया गया है-

${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$

अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर एक दिए गए ऊर्जा स्तर पर कण को खोजने की संभावना देता है।

व्याख्या:

1-आयामी बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्षण के अलावा कुछ नहीं है जो एकल कण के अनुवादक गति का वर्णन करता है जो एक अनंत गहरे कुएं के अंदर सीमित है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

1-आयामी में दीवारों की सीमाओं पर अर्थात x = 0 और x = a पर, दो बिल्कुल कठोर, अभेद्य अनंत ऊँचाई की क्षमता हैं।

इसका अर्थ है

$V=\mathrm{\infty }$ for $x\le 0$ & $x\ge a$

$V=0$ for \(0

जहां V दीवार की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है

इसलिए, हम कह सकते हैं कि विभव x = 0 और x = a पर अधिकतम है।

इसलिए, विकल्प-3 सही उत्तर है।

संकल्पना:

• क्वांटम यांत्रिकी: यह यांत्रिकी की एक शाखा है जो गणितीय विवरण (रैखिक बीजगणित, सदिश स्थान, अवकलन समीकरण, विशिष्ट समाकलन, आदि) की सहायता से इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन आदि जैसे उप-परमाणु कणों की गति और अन्योन्य क्रिया के अध्ययन से संबंधित है।
• क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम कणों या उप-परमाणु कणों से संबंधित कुछ तरंग मात्राएँ होती हैं।
• क्वांटम कणों से संबंधित तरंग मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे लोकप्रिय प्रतीक $\psi (r,t)$ है जिसे हम कण का तरंग फलन कहते हैं 

व्याख्या:

• क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन $\psi (r,t)$ एक निश्चित समय पर क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।
• क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी समय क्वांटम कण की स्थिति को दो मात्राओं, स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है।
• हालांकि इसका इतना भौतिक महत्व नहीं है। इसके अलावा, इसे गणितीय रूप से आइगेन फलन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। अर्थात, $\psi =aG(x)+bF(x)$

अत: विकल्प-3 सही उत्तर है।

Alternate Method

श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र रूप में, जिस ऊर्जा के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता है, उसे आइगेन मान कहा जाता है और संबंधित तरंग फलन को आइगेन फलन कहा जाता है।

सही विकल्प- 2

अवधारणा:

• क्वांटम यांत्रिकी: यह यांत्रिकी की एक शाखा है, जो गणितीय विवरण (रैखिक बीजगणित, सदिश स्थान, अंतर समीकरण, विशेष एकीकरण, आदि) की सहायता से इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन आदि जैसे उप-परमाणु कणों की गति और अंतःक्रिया का अध्ययन करती है।
• क्वांटम यांत्रिकी में कुछ तरंग राशियाँ क्वांटम कणों या उपपरमाण्विक कणों से जुड़ी होती हैं।
• क्वांटम कण s से जुड़ी तरंग राशियों को दर्शाने के लिए सबसे लोकप्रिय प्रतीक $\psi (r,t)$ उपयोग किया जाता है, जिसे हम कण का तरंग फ़ंक्शन कहते हैं।
• तरंग फलन $\psi (r,t)$ क्वांटम यांत्रिकी में किसी निश्चित समय पर क्वांटम कण की स्थिति को दर्शाता है।
• क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी क्षण क्वांटम कण की स्थिति को दो राशियों, स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है।
• लांबिक शब्द दो शब्दों लंबकोणीय और प्रसामान्यीकृत का संयोजन है।

स्पष्टीकरण:

लांबिक स्थिति के अनुसार-

यदि किसी निकाय में दो तरंग फलन और ${\varphi }_j$ तो लंबकोणीयता की स्थिति को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है,

$\int {{\varphi }^{\ast }}_i{\varphi }_{j}dV={\delta }_{ij}$

यदि i ≠ j (तो $\int {{\psi }^{\ast }}_i{\psi }_{j}dV=0$ जो कि लंबकोणीयता स्थिति है) और

यदि i = j (तो $\int {{\psi }^{\ast }}_i{\psi }_{j}dV=1$जो प्रसामान्यीकरण की स्थिति है)

प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार-

हमारे पास $\int {\varphi }_2^{\ast }{\varphi }_{1}d\tau =0$ क्योंकि $1\ne 2$

इसलिए उपरोक्त दोनों स्थितियों का विश्लेषण करने पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि विकल्प -2 सही है।

Important Points

एक तरंग फलन x-दिशा में गतिमान एक क्वांटम कण का प्रतिनिधित्व करता है $\psi (x,t)$ को प्रकृति में अच्छी तरह से व्यवहार करने वाला या वास्तविक कहा जाता है यदि शर्तें पूरी होती हैं:

• $\psi (x,t)$ परिमित होना चाहिए। 
• $\psi (x,t)$ सतत और एकल-मान होना चाहिए।
• $\psi (x,t)$ वर्ग समाकल होना चाहिए (अर्थात $\int {\psi }^{\ast }(x,t)\psi (x,t)dx$ परिमित होना चाहिए)।
• $\frac{\partial \psi (x,t)}{\partial x}$ सतत और एकल-मान होना चाहिए।

संकल्पना:

• क्वांटम यांत्रिकी: यह यांत्रिकी की एक शाखा है जो गणितीय विवरण (रैखिक बीजगणित, सदिश स्थान, अवकलन समीकरण, विशिष्ट समाकलन, आदि) की सहायता से इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन आदि जैसे उप-परमाणु कणों की गति और अन्योन्य क्रिया के अध्ययन से संबंधित है।
• क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम कणों या उप-परमाणु कणों से संबंधित कुछ तरंग मात्राएँ होती हैं।
• क्वांटम कणों से संबंधित तरंग मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे लोकप्रिय प्रतीक $\psi (r,t)$ है जिसे हम कण का तरंग फलन कहते हैं 

व्याख्या:

• क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन $\psi (r,t)$ एक निश्चित समय पर क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।
• क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी समय क्वांटम कण की स्थिति को दो मात्राओं, स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है।
• हालांकि इसका इतना भौतिक महत्व नहीं है। इसके अलावा, इसे गणितीय रूप से आइगेन फलन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। अर्थात, $\psi =aG(x)+bF(x)$

अत: विकल्प-3 सही उत्तर है।

Alternate Method

श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र रूप में, जिस ऊर्जा के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता है, उसे आइगेन मान कहा जाता है और संबंधित तरंग फलन को आइगेन फलन कहा जाता है।

सही विकल्प-2

अवधारणा:

बॉक्स में कण जैसे प्रश्न श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है, जो एक सरलीकृत निकाय के लिए एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल है, जिसमें एक कण अनंत गहराई के कुंड के भीतर क्षैतिज रूप से गति कर रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता। 

इस प्रश्न के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ के संभावित मान देते हैं, जो कण के पास हो सकते हैं। अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर कण को खोजने की प्रायिकता एक निश्चित ऊर्जा स्तर पर देता है।

एक-विमीय बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्ष है, जो एक अनंत गहराई के कुंड के अंदर सीमित एकल कण की स्थानांतरणीय गति का वर्णन करता है।

व्याख्या:

एक-विमीय बॉक्स में एक कण के प्रश्न में, यह माना जाता है कि बॉक्स के अंदर विभव शून्य है।

कण द्वारा धारित ऊर्जा और कुछ नहीं बल्कि कण की गतिज ऊर्जा होती है।

• एक विमीय बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमारे पास कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम दिए गए $0$के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं ताकि बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मान ज्ञात हो सकें।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..​

यदि बॉक्स में कण की ऊर्जा शून्य है, तो यह कुंड के अंदर विराम में होगा और यह हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करेगा। इस प्रकार, कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा शून्य के बराबर नहीं है।

इस प्रकार, बॉक्स के अंदर कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा इस प्रकार दी गई है-

$E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$

इसलिए, विकल्प-2 सही उत्तर है।

सही विकल्प-3

अवधारणा:

बॉक्स में एक कण की समस्या श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है जो एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल के लिए एक सरलीकृत प्रणाली है जिसमें एक कण क्षैतिज रूप से एक अनंत गहरे कुएं के भीतर चल रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

इस समस्या के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल संभावित मान देते हैं जो अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ हैं जो कण के पास हो सकते हैं।

• एक आयामी बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमें कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मानों को खोजने के लिए दिए गए \(0 के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..

• संबंधित अनुमत तरंग फलन इस प्रकार दिया गया है-

${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$

अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर एक दिए गए ऊर्जा स्तर पर कण को खोजने की संभावना देता है।

व्याख्या:

1-आयामी बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्षण के अलावा कुछ नहीं है जो एकल कण के अनुवादक गति का वर्णन करता है जो एक अनंत गहरे कुएं के अंदर सीमित है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

1-आयामी में दीवारों की सीमाओं पर अर्थात x = 0 और x = a पर, दो बिल्कुल कठोर, अभेद्य अनंत ऊँचाई की क्षमता हैं।

इसका अर्थ है

$V=\mathrm{\infty }$ for $x\le 0$ & $x\ge a$

$V=0$ for \(0

जहां V दीवार की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है

इसलिए, हम कह सकते हैं कि विभव x = 0 और x = a पर अधिकतम है।

इसलिए, विकल्प-3 सही उत्तर है।

सही विकल्प-4

संप्रत्यय:

बॉक्स में कण समस्या श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है जो एक सरलीकृत प्रणाली के लिए एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल है जिसमें एक कण अनंत गहरे कुएं के भीतर क्षैतिज रूप से गति कर रहा है जिससे वह बच नहीं सकता.

इस समस्या के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ के संभावित मान देते हैं जो कण के पास हो सकते हैं। अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर कण को खोजने की संभावना एक निश्चित ऊर्जा स्तर पर देता है।

एक आयामी बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्ष है जो एक अनंत गहरे कुएं के अंदर सीमित एकल कण की अनुवाद गति का वर्णन करता है।

व्याख्या:

एक आयामी बॉक्स में कण की समस्याओं को हल करने के लिए, यह माना जाता है कि बॉक्स के अंदर विभव शून्य है।

कण द्वारा धारित ऊर्जा कण की गतिज ऊर्जा के अलावा कुछ नहीं है।

• एक आयामी बॉक्स में कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमारे पास कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम दिए गए \(0 के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं ताकि बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मान ज्ञात हो सकें।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..​

$\Rightarrow E_n\propto n^2$

इसलिए, विकल्प-2 सही उत्तर है।

यदि बॉक्स में कण की ऊर्जा शून्य है, तो यह कुएं के अंदर विराम में होगा और यह हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करता है। इस प्रकार, एक कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा शून्य के बराबर नहीं है।

इस प्रकार, बॉक्स के अंदर कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा इस प्रकार दी गई है-

$E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$

सही विकल्प-2

अवधारणा:

बॉक्स में एक कण की समस्या श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है जो एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल के लिए एक सरलीकृत प्रणाली है जिसमें एक कण क्षैतिज रूप से एक अनंत गहरे कुएं के भीतर चल रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

इस समस्या के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल संभावित मान देते हैं जो अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ हैं जो कण के पास हो सकते हैं। अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें प्रायिकता प्रदान करता है कि कण को एक निश्चित ऊर्जा स्तर पर बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर पाया जाए।

1-विमीय बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्ष है, जो एक एकल कण के स्थानांतरणीय गति का वर्णन करता है, जो एक अनंत गहराई के कुंड के अंदर सीमित है।

व्याख्या:

एक विमीय बॉक्स में एक कण के प्रश्न में, यह माना जाता है कि बॉक्स के अंदर विभव शून्य है।

कण द्वारा धारित ऊर्जा कण की गतिज ऊर्जा के अलावा और कुछ नहीं है।

• एक विमीय बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमारे पास कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम दिए गए \(0 के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं ताकि बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मान ज्ञात हो सकें।
• इस समस्या के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल अनुमत ऊर्जा E मान देते हैं।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान विविक्त है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..​

इसलिए, विकल्प-2 सही उत्तर है।

सही विकल्प- 4

अवधारणा:

• क्वांटम यांत्रिकी: यह यांत्रिकी की एक शाखा है, जो गणितीय विवरण (रैखिक बीजगणित, सदिश स्थान, अंतर समीकरण, विशेष एकीकरण, आदि) की सहायता से इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन आदि जैसे उप-परमाणु कणों की गति और अंतःक्रिया का अध्ययन करती है।
• क्वांटम यांत्रिकी में कुछ तरंग मात्राएं क्वांटम कणों या उपपरमाण्विक कणों से जुड़ी होती हैं।
• क्वांटम कण s से जुड़ी तरंग मात्रा को दर्शाने के लिए सबसे लोकप्रिय प्रतीक $\psi (r,t)$ उपयोग किया जाता है जिसे हम कण का तरंग फ़ंक्शन कहते हैं।
• तरंग फलन $\psi (r,t)$ क्वांटम यांत्रिकी में किसी निश्चित समय पर क्वांटम कण की स्थिति को दर्शाता है।
• क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी क्षण क्वांटम कण की स्थिति को दो राशियों, स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है।

स्पष्टीकरण:

एक तरंग फलन $\mathrm{\Psi }(r,t)$ को सामान्यीकृत कहा जाता है, यदि किसी दिए गए स्थान में कहीं भी एक क्वांटम कण प्राप्त होने की प्रायिकता एक है।

अर्थात $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\mathrm{\Psi }(r,t)\right|}^2{d}^{3}r=probability=1$

• एक तरंग फलन को प्रसामान्यीकृत किया जाता है इसका अर्थ है कि $\mathrm{\Psi }$ को शून्य पर जाना चाहिए क्योंकि $x\to \pm \mathrm{\infty },y\to \pm \mathrm{\infty },z\to \pm \mathrm{\infty },$
• एक तरंग को प्रसामान्यीकृत कहा जाता है, यदि वह उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करती है।
• प्रत्येक स्वीकार्य तरंग फलन को एक उपयुक्त स्थिरांक से गुणा करके प्रसामान्यीकृत किया जा सकता है।

अतः विकल्प- 4सही है।

Important Points

एक तरंग फलन x-दिशा में गतिमान एक क्वांटम कण का प्रतिनिधित्व करता है $\psi (x,t)$ को प्रकृति में अच्छी तरह से व्यवहार करने वाला या यथार्थवादी कहा जाता है, यदि शर्तें पूरी होती हैं:

• $\psi (x,t)$ परिमित होना चाहिए। 
• $\psi (x,t)$ सतत और एकल-मान होना चाहिए।
• $\psi (x,t)$ वर्ग समाकल होना चाहिए। (अर्थात $\int {\psi }^{\ast }(x,t)\psi (x,t)dx$ परिमित होना चाहिए)।
• $\frac{\partial \psi (x,t)}{\partial x}$ सतत और एकल-मान होना चाहिए।

सही विकल्प- 2

अवधारणा:

• क्वांटम यांत्रिकी: यह यांत्रिकी की एक शाखा है, जो गणितीय विवरण (रैखिक बीजगणित, सदिश स्थान, अंतर समीकरण, विशेष एकीकरण, आदि) की सहायता से इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन आदि जैसे उप-परमाणु कणों की गति और अंतःक्रिया का अध्ययन करती है।
• क्वांटम यांत्रिकी में कुछ तरंग राशियाँ क्वांटम कणों या उपपरमाण्विक कणों से जुड़ी होती हैं।
• क्वांटम कण s से जुड़ी तरंग राशियों को दर्शाने के लिए सबसे लोकप्रिय प्रतीक $\psi (r,t)$ उपयोग किया जाता है, जिसे हम कण का तरंग फ़ंक्शन कहते हैं।
• तरंग फलन $\psi (r,t)$ क्वांटम यांत्रिकी में किसी निश्चित समय पर क्वांटम कण की स्थिति को दर्शाता है।
• क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी क्षण क्वांटम कण की स्थिति को दो राशियों, स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है।
• लांबिक शब्द दो शब्दों लंबकोणीय और प्रसामान्यीकृत का संयोजन है।

स्पष्टीकरण:

लांबिक स्थिति के अनुसार-

यदि किसी निकाय में दो तरंग फलन और ${\varphi }_j$ तो लंबकोणीयता की स्थिति को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है,

$\int {{\varphi }^{\ast }}_i{\varphi }_{j}dV={\delta }_{ij}$

यदि i ≠ j (तो $\int {{\psi }^{\ast }}_i{\psi }_{j}dV=0$ जो कि लंबकोणीयता स्थिति है) और

यदि i = j (तो $\int {{\psi }^{\ast }}_i{\psi }_{j}dV=1$जो प्रसामान्यीकरण की स्थिति है)

प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार-

हमारे पास $\int {\varphi }_2^{\ast }{\varphi }_{1}d\tau =0$ क्योंकि $1\ne 2$

इसलिए उपरोक्त दोनों स्थितियों का विश्लेषण करने पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि विकल्प -2 सही है।

Important Points

एक तरंग फलन x-दिशा में गतिमान एक क्वांटम कण का प्रतिनिधित्व करता है $\psi (x,t)$ को प्रकृति में अच्छी तरह से व्यवहार करने वाला या वास्तविक कहा जाता है यदि शर्तें पूरी होती हैं:

• $\psi (x,t)$ परिमित होना चाहिए। 
• $\psi (x,t)$ सतत और एकल-मान होना चाहिए।
• $\psi (x,t)$ वर्ग समाकल होना चाहिए (अर्थात $\int {\psi }^{\ast }(x,t)\psi (x,t)dx$ परिमित होना चाहिए)।
• $\frac{\partial \psi (x,t)}{\partial x}$ सतत और एकल-मान होना चाहिए।

संकल्पना:

• क्वांटम यांत्रिकी: यह यांत्रिकी की एक शाखा है जो गणितीय विवरण (रैखिक बीजगणित, सदिश स्थान, अवकलन समीकरण, विशिष्ट समाकलन, आदि) की सहायता से इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन आदि जैसे उप-परमाणु कणों की गति और अन्योन्य क्रिया के अध्ययन से संबंधित है।
• क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम कणों या उप-परमाणु कणों से संबंधित कुछ तरंग मात्राएँ होती हैं।
• क्वांटम कणों से संबंधित तरंग मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे लोकप्रिय प्रतीक $\psi (r,t)$ है जिसे हम कण का तरंग फलन कहते हैं 

व्याख्या:

• क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन $\psi (r,t)$ एक निश्चित समय पर क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।
• क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी समय क्वांटम कण की स्थिति को दो मात्राओं, स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है।
• हालांकि इसका इतना भौतिक महत्व नहीं है। इसके अलावा, इसे गणितीय रूप से आइगेन फलन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। अर्थात, $\psi =aG(x)+bF(x)$

अत: विकल्प-3 सही उत्तर है।

Alternate Method

श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र रूप में, जिस ऊर्जा के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता है, उसे आइगेन मान कहा जाता है और संबंधित तरंग फलन को आइगेन फलन कहा जाता है।

सही विकल्प-2

अवधारणा:

बॉक्स में कण जैसे प्रश्न श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है, जो एक सरलीकृत निकाय के लिए एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल है, जिसमें एक कण अनंत गहराई के कुंड के भीतर क्षैतिज रूप से गति कर रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता। 

इस प्रश्न के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ के संभावित मान देते हैं, जो कण के पास हो सकते हैं। अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर कण को खोजने की प्रायिकता एक निश्चित ऊर्जा स्तर पर देता है।

एक-विमीय बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्ष है, जो एक अनंत गहराई के कुंड के अंदर सीमित एकल कण की स्थानांतरणीय गति का वर्णन करता है।

व्याख्या:

एक-विमीय बॉक्स में एक कण के प्रश्न में, यह माना जाता है कि बॉक्स के अंदर विभव शून्य है।

कण द्वारा धारित ऊर्जा और कुछ नहीं बल्कि कण की गतिज ऊर्जा होती है।

• एक विमीय बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमारे पास कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम दिए गए $0$के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं ताकि बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मान ज्ञात हो सकें।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..​

यदि बॉक्स में कण की ऊर्जा शून्य है, तो यह कुंड के अंदर विराम में होगा और यह हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करेगा। इस प्रकार, कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा शून्य के बराबर नहीं है।

इस प्रकार, बॉक्स के अंदर कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा इस प्रकार दी गई है-

$E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$

इसलिए, विकल्प-2 सही उत्तर है।

सही विकल्प-3

अवधारणा:

बॉक्स में एक कण की समस्या श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है जो एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल के लिए एक सरलीकृत प्रणाली है जिसमें एक कण क्षैतिज रूप से एक अनंत गहरे कुएं के भीतर चल रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

इस समस्या के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल संभावित मान देते हैं जो अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ हैं जो कण के पास हो सकते हैं।

• एक आयामी बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमें कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मानों को खोजने के लिए दिए गए \(0 के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..

• संबंधित अनुमत तरंग फलन इस प्रकार दिया गया है-

${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$

अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर एक दिए गए ऊर्जा स्तर पर कण को खोजने की संभावना देता है।

व्याख्या:

1-आयामी बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्षण के अलावा कुछ नहीं है जो एकल कण के अनुवादक गति का वर्णन करता है जो एक अनंत गहरे कुएं के अंदर सीमित है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

1-आयामी में दीवारों की सीमाओं पर अर्थात x = 0 और x = a पर, दो बिल्कुल कठोर, अभेद्य अनंत ऊँचाई की क्षमता हैं।

इसका अर्थ है

$V=\mathrm{\infty }$ for $x\le 0$ & $x\ge a$

$V=0$ for \(0

जहां V दीवार की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है

इसलिए, हम कह सकते हैं कि विभव x = 0 और x = a पर अधिकतम है।

इसलिए, विकल्प-3 सही उत्तर है।