Vector Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\vec{d}_1\) और \(\vec{d}_2\) के लिए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल  \(\frac{1}{2}\left|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\right|\)है

गणना​:

\(​\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j} \)
 और \(\vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+\hat{k}+2 \hat{j}-\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j} \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(=\frac{1}{2}|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \hat{2}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|\) 
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|\hat{i}(0-0)-j(0-0)+\hat{k}(2-3)| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|-\hat{k}|=\frac{1}{2}\)

अवधारणा -

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का उपयोग करें।

\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}\)

समाधान -

\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1& -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}\)

= \(2\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}\)

\(|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=\sqrt{4+4+1} =3\)

तो \(|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|^2=8\) 8

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|^2 -2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{a}|^2=8\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|^2 -2|\overrightarrow{c}|+9=8\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|^2 -2|\overrightarrow{c}|+1=0\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|=1\)

\(|\left ( \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right )\times \overrightarrow{c}|=|\left ( \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right ) \overrightarrow{c}|sin30^\circ ={\frac{3}{2}}\)

अतः अंतिम उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है, \(( \vec a- \vec b) \times (\vec a + \vec b)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec a) + ( \vec a \times \vec b) - ( \vec b \times \vec a ) - ( \vec b \times \vec b)\)

हम जानते हैं कि,\(\vec a \times \vec a = 0\;, \vec b \times \vec b = 0\; and, \vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec b) - (\vec b \times \vec a)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec b) -[ -(\vec a \times \vec b)]\)

\(= ( \vec a \times \vec b) + ( \vec a \times \vec b) = 2 (\vec a \times \vec b)\)

व्याख्या:

किसी सदिश \(\mathbf{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}\) के परिमाण \(|\mathbf{v}|\) की गणना निम्न प्रकार से की जाती है:

\(|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)

यहाँ, सदिश \(3\hat{j} + 4\hat{k}\) है, इसलिए \(a = 0\), b = 3, और c = 4. परिमाण

होगा \(|\mathbf{v}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\)

किसी दिए गए सदिश की दिशा में इकाई सदिश प्राप्त करने के लिए, सदिश को उसके परिमाण से विभाजित किया जाता है. इसलिए, \(3\hat{j} + 4\hat{k}\) की दिशा में इकाई सदिश \(\hat{u}\) होगा

\(\hat{u} = \frac{1}{5}(3\hat{j} + 4\hat{k}).\)

सही विकल्प विकल्प 1 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\vec{d}_1\) और \(\vec{d}_2\) के लिए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल  \(\frac{1}{2}\left|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\right|\)है

गणना​:

\(​\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j} \)
 और \(\vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+\hat{k}+2 \hat{j}-\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j} \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(=\frac{1}{2}|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \hat{2}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|\) 
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|\hat{i}(0-0)-j(0-0)+\hat{k}(2-3)| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|-\hat{k}|=\frac{1}{2}\)

अदिश राशि: जिन भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण की आवश्यकता होती है, उन्हें अदिश राशि कहा जाता है।

• उदाहरण: द्रव्यमान, दूरी, समय, गति, आयतन, तापमान, घनत्व, आयतन, चुंबकीय अभिवाह, चुंबकीय विभव, विद्युत धारा, कार्य, शक्ति, आपेक्षिक पारगम्‍यता आदि।

सदिश राशि: भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, उन्हे सदिश राशि कहा जाता है।

• उदाहरण: विस्थापन, भार, वेग, त्वरण, बल, संवेग, आवेग, विद्युत क्षेत्र, चुंबकीय क्षेत्र घनत्व, चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता आदि।

Additional Information

• चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता: उस सामग्री की प्रति इकाई लंबाई से एक विशेष सामग्री के भीतर एक निश्चित अभिवाह घनत्व (B) बनाने के लिए आवश्यक MMF के अनुपात को चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता कहा जाता है।
• चुंबकत्व की तीव्रता (I): यह किसी पदार्थ के चुंबकत्व ग्रहण करने की कोटि है जब उस पदार्थ को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है।
• इसे पदार्थ के प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल में ध्रुवीय सामर्थ्य या प्रति इकाई आयतन में प्रेरित द्विध्रुवीय आघूर्ण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

इसलिये,\(I = \frac{m}{A} = \frac{M}{V}\)

• यह एक सदिश राशि है,
• इसकी S.I. इकाई A/m है।

अवधारणा:

दो सदिशों का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: 

a.b = |a||b| cosθ 

गणना:

दिया गया है, |a| = 9 एवं |b| = 5\(\sqrt{2}\) और θ = 45°.

a.b = 9 × 5\(\sqrt{2}\) × cos 45° 

a.b = 45

Additional Informationदो सदिशों का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: 

a x b = |a||b| sinθ 

Concept:

अदिश या बिंदु गुणनफल:

दो सदिशों का अदिश या बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(\vec{A}\vec{B}=|A||B|cosθ\)

जहाँ, cos θ = सदिश A और B के बीच का कोण

|A| = सदिश A का परिमाण

|B| = सदिश B का परिमाण

\(\vec{B}=|A|cos\theta\)

अतः, अदिश या बिंदु गुणनफल एक सदिश का दूसरे सदिश पर प्रक्षेपण भी है।

संकल्पना-

सदिश की लंबाईr \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}= \sqrt{(a)^{2}+(b)^{2}+(c)^{2}} \)

मान लीजिए सदिश का प्रारंभिक बिंदु A(x₁, y₁, z₁) और अंतिम बिंदु B(x₂, y2, z2) है तब 

\(|\vec{AB}|=(x_{2}- x_{1})\hat{i}+(y_{2}- y_{1})\hat{i}+(z_{2}- z_{1})\hat{i} \)

गणना​-

प्रारंभिक बिंदु P(2,-3,4) और अंतिम बिंदु Q(-2, 1, 1) है 

 सदिश \(|\vec{PQ}|\) = (-2 - 2)\(\hat{i}\) + (1 - (-3))\(\hat{j}\)+ (1 - 4)\(\hat{k}\)

 सदिश \(|\vec{PQ}| \) = -4\(\hat{i}\) + 4\(\hat{j}\) - 3\(\hat{k}\)

अब सदिश की लंबाई  \(|\vec{PQ}| \) निम्न  द्वारा दी गई है

\(|\vec{PQ}| =\sqrt{(-4)^2+(4)^2+(-3)^2}\)

\(|\vec{PQ}| =\sqrt{16+16+9}\)

\(|\vec{PQ}|= \sqrt{41} \)

∴ सदिश \(|\vec{PQ}| \) की लंबाई\(~ \sqrt{41}\) है 

प्रकरण :

सदिश गुणनफल को दिए गए मान द्वारा दर्शाया जाता है :

a x b = \(\begin{vmatrix} \widehat{i} &\widehat{j} & \widehat{k}\\ a_1&a_2 & a_3\\ b_1& b_2 & b_3 \end{vmatrix}\)

गणना :

a x b = \(\begin{vmatrix} \widehat{i} &\widehat{j} & \widehat{k}\\ 3&-1 & 2\\ 1& -2 & 3 \end{vmatrix}\)

a x b = \( 1\widehat{i}-7 \widehat{j}-5 \widehat{k} \)

Additional Informationअदिश गुणनफल को दिए गए मान द्वारा दर्शाया जाता है :

a.b = \( (a_1b_1)\widehat{i}+(a_2b_2) \widehat{j}+(a_3b_3) \widehat{k} \)

अवधारणा:

दो सदिशों A और B का सदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| | \vec{B}| sin\theta\space \widehat{n} \)

 \(\widehat{i},\widehat{j}\space और \space \widehat{k}\) का सदिश गुणनफल

\(\widehat{i}\times\widehat{j}=\widehat{k}\) और \(\widehat{j}\times\widehat{i}=-\widehat{k}\)

\(\widehat{j}\times\widehat{k}=\widehat{i}\) और \(\widehat{k}\times\widehat{j}=-\widehat{i}\)

\(\widehat{k}\times\widehat{i}=\widehat{j}\) और \(\widehat{i}\times\widehat{k}=-\widehat{j}\)

व्याख्या:

सदिश गुणन क्र्मविनिमेय नहीं होता है: 

\(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\)

\((\widehat{i}\times\widehat{j})=-(\widehat{j}\times\widehat{i})\)

\(\widehat{k}=-(-\widehat{k})\)

\(\widehat{k}=\widehat{k}\)

संकल्पना:

शून्य सदिश:​

• शून्य के बराबर परिमाण वाले सदिश को शून्य सदिश कहा जाता है। यह आम तौर पर O द्वारा दर्शाया जाता है।
• शून्य सदिश में प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। अतः लम्बाई शून्य है
• एक बिंदु को आमतौर पर एक शून्य सदिश के रूप में लिया जाता है।
• \(\left| {\vec A} \right| = 0\)

Additional Informationदो सदिशों का अदिश गुणनफल या सदिश इस प्रकार दिया गया है:

\(D = \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B} = \left |\overrightarrow{A} \right |.\left | \overrightarrow{B} \right |~cosθ \)

दो सदिश का सदिश गुणनफल या सदिश गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:

\(\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}\)

गणना:

दिया गया है, \(( \vec a- \vec b) \times (\vec a + \vec b)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec a) + ( \vec a \times \vec b) - ( \vec b \times \vec a ) - ( \vec b \times \vec b)\)

हम जानते हैं कि,\(\vec a \times \vec a = 0\;, \vec b \times \vec b = 0\; and, \vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec b) - (\vec b \times \vec a)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec b) -[ -(\vec a \times \vec b)]\)

\(= ( \vec a \times \vec b) + ( \vec a \times \vec b) = 2 (\vec a \times \vec b)\)

अवधारणा:

• अदिश राशियाँ: वे भौतिक मात्राएँ जिनमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है, जिन्हें अदिश राशि या अदिश कहा जाता है।
  • एक अदिश की राशि उचित संख्या के साथ एक एकल संख्या द्वारा निर्दिष्ट की जा सकती है।
  • उदाहरण: द्रव्यमान, आयतन, घनत्व, समय, तापमान, विद्युत प्रवाह, दिप्त तीव्रता, वोल्टेज आदि।
• सदिश राशियाँ: जिन भौतिक राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और सदिश जोड़ के नियमों का पालन करते हैं उन्हें सदिश राशियाँ या सदिश कहा जाता है।
  • एक सदिश राशि एक इकाई और इसकी दिशा के साथ एक संख्या द्वारा निर्दिष्ट की जाती है।
  • विस्थापन, वेग, बल, संवेग आदि।

विश्लेषण:

1. चूंकि विद्युत धारा (I) सदिश जोड़ नियम का पालन नहीं करती है। धारा को कई घटकों में जोड़ा या विभाजित किया जा सकता है। तो विद्युत प्रवाह एक अदिश राशि है।
2. एक विद्युत क्षमता एक संदर्भ बिंदु से क्षेत्र के अंदर एक विशिष्ट बिंदु तक धनात्मक आवेश की एक इकाई को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक कार्य की मात्रा है।
   यह एक अदिश राशि है क्योंकि कार्य एक सदिश राशि नहीं है। हालांकि, सदिश को ऋणात्मक होने की अनुमति है। संभावित पर हटाव चिन्ह सदिश राशि को इंगित नहीं करता है। एक ऋणात्मक क्षमता को एक धनात्मक क्षमता द्वारा आकर्षित किया जा सकता है और दूसरी ऋणात्मक क्षमता द्वारा प्रतिकर्षण किया जा सकता है।
3. प्रतिरोध चालक द्वारा दिया गया विपक्ष है जिसमें इसके माध्यम से प्रवाह होता है। बिजली की SI इकाई एम्पीयर (A) है और यह एक अदिश राशि है।
4. विद्युत क्षेत्र विद्युत आवेश के आसपास का क्षेत्र है जिसमें एक और आवेश बल को महसूस कर सकता है। यह एक सदिश राशि है।