Total Acceleration of Fluid MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Total Acceleration of Fluid - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

संवहनीय त्वरण:

• द्रव गतिकी में संवहनीय त्वरण प्रवाह दिशा के अनुदिश वेग में स्थानिक परिवर्तन के कारण होता है।

वेग सदिश $\overrightarrow{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}$ के लिए

जहाँ u, v और w क्रमशः x, y और z दिशा के अनुदिश वेग घटक हैं

तब इसका त्वरण

x-दिशा के अनुदिश $a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial t}$

y-दिशा के अनुदिश $a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial t}$

z-दिशा के अनुदिश $a_z=u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial t}$

तब कुल त्वरण का परिमाण $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

त्वरण के दो घटक हैं

• $u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$ इस समूह को संवहनीय या संवहन त्वरण कहा जाता है और
• $\frac{\partial u}{\partial t}$ इस समूह को कालिक त्वरण कहा जाता है।

विभिन्न स्थिति और संबंधित प्रकार के प्रवाह का वर्णन नीचे दी गई तालिका में किया गया है।

व्याख्या:

द्रव यांत्रिकी में, विशेष रूप से असंपीड्य द्रवों के घूर्णी प्रवाह के अध्ययन में, द्रव कणों के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए त्वरण के विभिन्न घटकों को समझना आवश्यक है। विभिन्न प्रकार के त्वरण घटकों में से, एक विशिष्ट घटक घूर्णी प्रवाह की स्थिति के तहत शून्य रहता है।

घूर्णी प्रवाह:

• घूर्णी प्रवाह, जिसे भंवर प्रवाह के रूप में भी जाना जाता है, एक केंद्रीय अक्ष के चारों ओर द्रव कणों की वृत्ताकार गति की विशेषता है। इस तरह के प्रवाह में, द्रव कण घुमावदार पथों के साथ घूमते हैं, जिनकी गति घूर्णन के केंद्र से उनकी त्रिज्यीय दूरी के आधार पर भिन्न होती है। एक घूर्णी प्रवाह में वेग क्षेत्र को आम तौर पर ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) में वर्णित किया जाता है, जहाँ 'r' घूर्णन के केंद्र से त्रिज्यीय दूरी है, और 'θ' कोणीय स्थिति है।

घूर्णी प्रवाह में त्वरण के घटक:

घूर्णी प्रवाह में, एक द्रव कण के त्वरण को कई घटकों में विघटित किया जा सकता है:

• अभिकेंद्र त्वरण: यह वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण है, जो द्रव कण को उसके वृत्ताकार प्रक्षेप पथ में रखने के लिए जिम्मेदार है। यह समीकरण द्वारा दिया गया है:
  a_c = ω²r, जहाँ 'ω' कोणीय वेग है, और 'r' त्रिज्यीय दूरी है।
• स्पर्शीय त्वरण: यह वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा दिशा में त्वरण है। एक असंपीड्य और स्थिर घूर्णी प्रवाह के लिए, स्पर्शीय त्वरण घटक शून्य होता है क्योंकि कोणीय वेग स्थिर होता है, और द्रव कणों के स्पर्शीय वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इसलिए, a_t = 0।
• संवहनी त्वरण: यह वेग क्षेत्र के माध्यम से गति करते समय द्रव कणों के वेग में परिवर्तन के कारण त्वरण को संदर्भित करता है। घूर्णी प्रवाह में, त्रिज्यीय दूरी के संबंध में वेग में भिन्नता के कारण संवहनी त्वरण मौजूद हो सकता है।
• त्रिज्य त्वरण: यह त्रिज्यीय दिशा में त्वरण है, जो त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाले दाब प्रवणता या अन्य बलों के कारण मौजूद हो सकता है।

स्पर्शीय त्वरण शून्य क्यों है:

• एक असंपीड्य द्रव के घूर्णी प्रवाह में, स्पर्शीय त्वरण घटक शून्य होता है क्योंकि गति पूरी तरह से वृत्ताकार होती है जिसमें स्थिर कोणीय वेग होता है। इसका तात्पर्य है कि द्रव कणों का स्पर्शीय वेग समय के साथ अपरिवर्तित रहता है, जिसके परिणामस्वरूप शून्य स्पर्शीय त्वरण होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

a_t = dv_t/dt = 0

जहाँ 'v_t' स्पर्शीय वेग है।

संकल्पना:

एक वेग सदिश के लिए 

$\overrightarrow{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}$

जहाँ u, v और w क्रमशः x, y और z दिशाओं के अनुदिश वेग घटक हैं

फिर उसका त्वरण

X- दिशा के अनुदिश:

$a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial t}$

Y- दिशा के अनुदिश:

$a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial t}$

Z- दिशा के अनुदिश:

$a_z=u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial t}$

गणना:

दिया हुआ:

V = (3x)i + (2y)j

u = 3x and v = 2y

Along y-direction:

$a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial t}$

$a_y=(3x)\times 0+2y\times (2)=4y$

संकल्पना:

निर्वहन, Q = A × V

जहां Q = निर्वहन, A = अनुप्रस्थ काट क्षेत्र, V = प्रवाह का वेग

त्वरण का सामान्य घटक, $a_n=\frac{V^2}{R}$

गणना​:

दिया गया:

Q = 8 m3/s, A = 1 × 0.5, R = 4 m

वेग, $V=\frac{Q}{A}=\frac{8}{1\times 0.5}=16m/s$

त्वरण का सामान्य घटक,

अवधारणा:

संवहनी त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

$a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$

$a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}$

$a_z=u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}$

संवहनी त्वरण को एक तरल के प्रवाह में तरल के कणों की स्थिति में बदलाव के कारण वेग के बदलाव की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक दिशा में संवहन त्वरण इस प्रकार दिया गया है:

$a_x=u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

जहाँ, u = प्रारंभिक वेग, du = वेग में परिवर्तन

गणना:

दिया हुआ,

u = 1.5 m/s और du = 15 - 1.5 = 13.5 m/s

dx = 0.375 m

∵ $a_x=u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

⇒ $a_x=1.5\times \frac{13.5}{0.375}$

ax = 54 m/s2

धारणा:

धारा रेखा के अनुदिश प्रवाह के लिए त्वरण निम्न रूप में दिया जाता है

यदि V = f(s, t)

तो $dV=\frac{\partial V}{\partial s}ds+\frac{\partial V}{\partial t}dt$

$a=\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial s}\times \frac{ds}{dt}+\frac{\partial V}{\partial t}$ 

स्थिर प्रवाह के लिए $\frac{\partial V}{\partial t}=0$

फिर $a=\frac{\partial V}{\partial s}\times \frac{ds}{dt}$ 

चूँकि V = f(s) केवल स्थिर प्रवाह के लिए इसलिए $\frac{\partial v}{\partial s}=\frac{dv}{ds}$

इसलिए $a=V\times \frac{dV}{ds}$

गणना:

दिया हुआ, V_A = 2 m/s, V_B = 5 m/s, और दूरी s = 1 m

$\frac{dV}{ds}=\frac{\left(5-2\right)}{1}=3$

तो B पर द्रव का त्वरण है

$a_B=V_B\times \frac{dV}{ds}=5\times 3=15$

वर्णन:

वेग सदिश के लिए

$\overrightarrow{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}$

जहाँ u, v और w क्रमशः x, y और z-दिशा के साथ वेग घटक हैं। 

तो इसका त्वरण 

x - दिशा के साथ $a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial t}$

y - दिशा के साथ $a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial t}$

z - दिशा के साथ $a_z=u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial t}$

तो कुल त्वरण का परिमाण$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

तो त्वरण के दो घटक निम्न हैं

• $u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$ इस समूह को संवहनी या अभिवाही त्वरण कहा जाता है और 
• $\frac{\partial u}{\partial t}$ यह समूह को अस्थायी त्वरण कहा जाता है। 

प्रवाह की विभिन्न स्थिति और संबंधित प्रकार नीचे दी गयी तालिका में वर्णित है। 

∴ यदि अस्थायी और संवहनी त्वरण शून्य होगा जो स्थिर और एकसमान प्रवाह की स्थिति है, तो कुल त्वरण शून्य होगा। 

अवधारणा:

संवहनी त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

$a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$

$a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}$

$a_z=u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}$

संवहनी त्वरण को एक तरल के प्रवाह में तरल के कणों की स्थिति में बदलाव के कारण वेग के बदलाव की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक दिशा में संवहन त्वरण इस प्रकार दिया गया है:

$a_x=u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

जहाँ, u = प्रारंभिक वेग, du = वेग में परिवर्तन

गणना:

दिया हुआ,

u = 1.5 m/s और du = 15 - 1.5 = 13.5 m/s

dx = 0.375 m

∵ $a_x=u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

⇒ $a_x=1.5\times \frac{13.5}{0.375}$

ax = 54 m/s2

संकल्पना:

निर्वहन, Q = A × V

जहां Q = निर्वहन, A = अनुप्रस्थ काट क्षेत्र, V = प्रवाह का वेग

त्वरण का सामान्य घटक, $a_n=\frac{V^2}{R}$

गणना​:

दिया गया:

Q = 8 m3/s, A = 1 × 0.5, R = 4 m

वेग, $V=\frac{Q}{A}=\frac{8}{1\times 0.5}=16m/s$

त्वरण का सामान्य घटक,

त्रिज्य त्वरण $a_r=\frac{V^2}{r}=\frac{3^2}{9}=1\frac{m}{s^2}$

स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t=\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\times \frac{ds}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot V$

$=\frac{1}{3}\times 3=1\frac{m}{s^2}$

अपरूपण वेग: 

• इसे घर्षण वेग के रूप में भी जाना जाता है, जो काल्पनिक राशि है और यह सीमा पर अपरूपण को वर्गीकृत करता है।
• अपरूपण वेग अशांत दृढ़ता और पर्णदलीय उप-परत की मोटाई को वर्गीकृत करता है।
• यह वेग के संदर्भ में अपरूपण प्रतिबल से संबंधित है और यह निम्न दिया गया है $\sqrt{\frac{{\tau }_o}{\rho }}$
• ∴ अपरूपण वेग $u\ast =\sqrt{\frac{{\tau }_o}{\rho }}$ .

संकल्पना:

संवहनी त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

$a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$

$a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}$

$a_z=u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}$

गणना:

दिया हुआ:

u = 2x2 + y2 और v = -4xy

इसे प्राप्त करने के लिए, $a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$

बिंदु (1, 2) पर

$u\frac{\partial u}{\partial x}=\left(2x^2+y^2\right)\times \frac{\partial \left(2x^2+y^2\right)}{\partial x}=\left(2x^2+y^2\right)\times \left(4x\right)$

अब उपरोक्त समीकरण में x और y के निर्देशांक डालते हुए (x = 1, y = 2)

$u\frac{\partial u}{\partial x}=\left(2x^2+y^2\right)\times \left(4x\right)=\left(2\times 1^2+2^2\right)\times \left(4\times 1\right)=24units$

वही

$v\frac{\partial u}{\partial y}=-4xy\times \frac{\partial \left(2x^2+y^2\right)}{\partial y}=-8x{y}^2$

अब उपरोक्त समीकरण में x और y के निर्देशांक डालते हुए (x = 1, y = 2)

$v\frac{\partial u}{\partial y}=-8x{y}^2=-8\times 1\times 2^2=-32$

$w\frac{\partial u}{\partial z}=0Since,uisindependentofz$

इसलिए,

अवधारणा:

संभावित प्रवाह के लिए

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$                 -----1)

u = λxy³ – x²y

$\begin{array}{l}v=x{y}^2-\frac{3}{4}{y}^4\\ \frac{\partial u}{\partial x}=\lambda y^3-2xy\\ \frac{\partial v}{\partial y}=2xy-3y^3\end{array}$

समीकरण (i) से

λy³ – 2xy + 2xy – 3y³ = 0

y³(λ - 3) = 0

धारणा:

धारा रेखा के अनुदिश प्रवाह के लिए त्वरण निम्न रूप में दिया जाता है

यदि V = f(s, t)

तो $dV=\frac{\partial V}{\partial s}ds+\frac{\partial V}{\partial t}dt$

$a=\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial s}\times \frac{ds}{dt}+\frac{\partial V}{\partial t}$ 

स्थिर प्रवाह के लिए $\frac{\partial V}{\partial t}=0$

फिर $a=\frac{\partial V}{\partial s}\times \frac{ds}{dt}$ 

चूँकि V = f(s) केवल स्थिर प्रवाह के लिए इसलिए $\frac{\partial v}{\partial s}=\frac{dv}{ds}$

इसलिए $a=V\times \frac{dV}{ds}$

गणना:

दिया हुआ, V_A = 2 m/s, V_B = 5 m/s, और दूरी s = 1 m

$\frac{dV}{ds}=\frac{\left(5-2\right)}{1}=3$

तो B पर द्रव का त्वरण है

$a_B=V_B\times \frac{dV}{ds}=5\times 3=15$

वर्णन:

वेग सदिश के लिए

$\overrightarrow{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}$

जहाँ u, v और w क्रमशः x, y और z-दिशा के साथ वेग घटक हैं। 

तो इसका त्वरण 

x - दिशा के साथ $a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial t}$

y - दिशा के साथ $a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial t}$

z - दिशा के साथ $a_z=u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial t}$

तो कुल त्वरण का परिमाण$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

तो त्वरण के दो घटक निम्न हैं

• $u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$ इस समूह को संवहनी या अभिवाही त्वरण कहा जाता है और 
• $\frac{\partial u}{\partial t}$ यह समूह को अस्थायी त्वरण कहा जाता है। 

प्रवाह की विभिन्न स्थिति और संबंधित प्रकार नीचे दी गयी तालिका में वर्णित है। 

∴ यदि अस्थायी और संवहनी त्वरण शून्य होगा जो स्थिर और एकसमान प्रवाह की स्थिति है, तो कुल त्वरण शून्य होगा।