Symmetry Elements MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Symmetry Elements - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

घन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें छह समान वर्गाकार फलक होते हैं। इसमें निम्नलिखित सममिति अक्ष होते हैं:

1. C₁ अक्ष: तत्समक अवयव, जो घन के अभिविन्यास को नहीं बदलता है।

2. C₂ अक्ष: एक द्वि-गुना घूर्णन अक्ष जो घन के विपरीत फलकों के केंद्र से होकर गुजरता है। यह अक्ष अक्ष के चारों ओर घन के 180⁰ घूर्णन उत्पन्न करता है।

3. C₃ अक्ष: चार C₃ अक्ष हैं, जिनमें से प्रत्येक घन के दो विपरीत किनारों के केंद्रों से होकर गुजरता है। ये अक्ष अक्ष के चारों ओर घन के 120⁰ घूर्णन उत्पन्न करते हैं।

4. C₄ अक्ष: एक चतुष्-गुना घूर्णन अक्ष जो घन के विपरीत फलकों के केंद्रों से होकर गुजरता है। यह अक्ष अक्ष के चारों ओर घन के 90⁰ घूर्णन उत्पन्न करता है।

5. C₆ अक्ष: अणु के केंद्र से लंबवत गुजरता है।

व्याख्या:

→ घन में तीन विभिन्न प्रकार के सममिति अक्ष होते हैं: तीन 4-गुना अक्ष, जिनमें से प्रत्येक दो विपरीत फलकों के केंद्रों से होकर गुजरता है, चार 3-गुना अक्ष, जिनमें से प्रत्येक दो विपरीत शीर्षों से होकर गुजरता है, और छह 2-गुना अक्ष, जिनमें से प्रत्येक दो विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरता है अर्थात्C2, C₃, C₄ अक्ष मौजूद हैं लेकिन C₆ अक्ष अनुपस्थित है_.

निष्कर्ष:
सही उत्तर विकल्प 4 है।

अतिरिक्त जानकारी

संकल्पना:

• Cn कोटि n की घूर्णन सममिति अक्ष को निरूपित करता है, और \(\frac{360^0}{n}\) से घुमाने के बाद भी अणु नहीं बदलता है।
• \(\sigma \) सममिति तल है। \(\sigma\) सममिति रखने वाला कोई भी अणु, समतल सममिति संक्रिया लागू होने पर प्रतिबिम्ब या द्विभाजन दर्शाता है।
• अपरिवर्तित परमाणुओं की संख्या उस सममिति का लक्षण देती है जो अपरिनीय निरूपण में लागू हो रही है।
• लक्षण की गणना उस सममिति संक्रिया के लिए बने आव्यूह के विकर्ण पदों को जोड़कर की जाती है।

• Cn कोटि n की घूर्णन सममिति अक्ष को निरूपित करता है, और \(\frac{360^0}{n}\) से घुमाने के बाद भी अणु नहीं बदलता है।
• \(\sigma \) सममिति तल है। \(\sigma\) सममिति रखने वाला कोई भी अणु, समतल सममिति संक्रिया लागू होने पर प्रतिबिम्ब या द्विभाजन दर्शाता है।

व्याख्या:

\(C_4\) के लिए लक्षण:

\(C_n\) संक्रिया के लक्षण का आव्यूह इस प्रकार दिया गया है;

\(\begin{vmatrix} cos\theta \;\;\;sin\theta \;\;0\\-sin\theta \;cos\theta \;0\\0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1 \end{vmatrix}\)

यह देता है, \(\chi_{C_n}=2cos\theta +1 \)

\(C_4\) सममिति के लिए, \(\theta \)= 90°

\(\chi _{C_4}=2cos90 ^0+1 \)

\(\chi _{C_4}=1\)

\(\sigma \) के लिए लक्षण:

\(\sigma \) सममिति के लिए, लक्षण = 1

निष्कर्ष:

इसलिए, अपरिनीय निरूपण में C₄ और \(\sigma \) में प्रत्येक अपरिवर्तित परमाणु के लिए लक्षण क्रमशः 1 और 1 है।

अवधारणा:

• Sn सममितीय अक्ष को निरूपित करता है जिसमें घूर्णन सममिति के अनुप्रयोग के बाद परावर्तन या इसके विपरीत शामिल होता है।
• इसलिए, हम लिख सकते हैं, \(S_n=C_n\times\sigma \)। यहाँ C_n घूर्णन सममिति के अक्ष (क्रम n का) को निरूपित करता है। \(\frac{360^0}{n}\) से घूर्णन, समान व्यवस्था (तत्समक) देता है। \(\sigma\) परावर्तन तल है।

व्याख्या:

\(S_{6}^{3}\) की समतुल्य सममिति

\(S_{6}^{3}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(S_{6}^{3} = C_{6}^{3}\times \sigma^{3} \)

तल सममिति के सम संख्या में अनुप्रयोग तत्समक देते हैं और विषम संख्या में अनुप्रयोग \(\sigma\) स्वयं देते हैं।

\(\sigma^{even}=E\;\; और\; \;\sigma^{odd} =\sigma \)

इसलिए, \(S_{6}^{3}\) को फिर से लिखा जा सकता है:

\(S_{6}^{3} = C_{6}^{3}\times \sigma \)

\(S_{6}^{3} = C_{2}^{1}\times \sigma \)

\( C_{2}^{1}\times \sigma \) \(C_2\) घूर्णन सममिति के अनुप्रयोग को दर्शाता है जिसके बाद तल सममिति का उपयोग करके परावर्तन किया जाता है, जो कि क्रम 2 की असम सममिति अक्ष के अलावा कुछ नहीं है।

\(i.e.,\; C_{2}^{1}\times \sigma =S_2 \)

इसके अलावा, \(S_2 \) अणु के प्रतिलोमन (अर्थात, \(S_2 =i\) ) में परिणाम देता है

\(\therefore C_{2}^{1}\times \sigma =S_2 =i \)

\(S_{3}^{6}\) की समतुल्य सममिति

\(S_{3}^{6}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(S_{3}^{6} = C_{3}^{6}\times \sigma^{6} \)

C_n सममिति के अनुप्रयोग, इसके क्रम के गुणज के रूप में समान संख्या में बार तत्समक (E) में परिणाम देते हैं। इसलिए हम लिख सकते हैं:

\(S_{3}^{6}=C_{3}^{6}\times E\;\;\;\;(\because\sigma^{even}=E) \)

\(S_{3}^{6}=C_{1}^{1}\times E \)

(यहाँ, \(C_{1}^{1}\) तत्समक (E) लिखने का एक और तरीका है क्योंकि \(\frac{360^0}{1}\) से घूर्णन अणु का समान अभिविन्यास देता है।)

\(S_{3}^{6}=E\times E =E\)

निष्कर्ष:

\(S_{6}^{3}\) और \(S_{3}^{6}\) की समतुल्य सममिति क्रमशः i और E है।

अवधारणा:-

• एक क्रिया जो किसी वस्तु को उसके क्रियान्वयन के बाद भी समान दिखने देती है, उसे सममिति संक्रिया कहा जाता है।
• सममिति संक्रियाओं में घूर्णन, परावर्तन और प्रतिलोमन शामिल हैं।
• तत्समक संकारक (E) संपूर्ण वस्तु से मेल खाता है। एक n-गुना संक्रिया सममिति के n-गुना अक्ष (Cn) के बारे में \({{{{360}^ \circ }} \over n}\) के माध्यम से एक घूर्णन है, जो एक आणविक अक्ष के संबंध में अणु को एक समतुल्य संरचना में परिवर्तित करता है।
• यदि किसी अणु में कई घूर्णन अक्ष होते हैं, तो n का सबसे अधिक मान वाला अक्ष प्रमुख अक्ष कहलाता है।
• जब सममिति संकारक का दो-गुना (C2) घूर्णी अक्ष किसी विशेष अक्ष x के संबंध में बिंदु (x1, y1, z1) पर संचालित होता है, तो यह बिंदु को (x1, - y1, - z1) पर स्थानांतरित करता है। इसी प्रकार, जब C2(y) और C2(z) बिंदु (x1, y1, z1) पर संचालित होता है, तो यह बिंदु को (- x1, y1, - z1) और

(- x1, - y1, z1) पर क्रमशः स्थानांतरित करता है।

• एक परावर्तन \(\left( \sigma \right)\) तल या दर्पण तल एक अणु का एक ऐसा तल होता है जो अणु को द्विभाजित करता है इस तरह से कि तल के एक तरफ का प्रत्येक परमाणु, जब तल के माध्यम से परावर्तित होता है, तो दूसरी तरफ एक समतुल्य परमाणु का प्रतिरूपण करता है।
• जब एक परावर्तन संकारक \(\left( \sigma \right)\) बिंदु (x1, y1, z1) पर किसी विशेष तल xy के संबंध में संचालित होता है, तो यह बिंदु को (x1, y1, - z1) पर स्थानांतरित करता है। इसी प्रकार, जब \(\sigma (yz)\) और \(\sigma (xz)\) बिंदु (x1, y1, z1) पर संचालित होता है, तो यह बिंदु को (- x1, y1, z1) और (x1, - y1, z1) पर क्रमशः स्थानांतरित करता है।

व्याख्या:-

• मान लीजिए कि σv' एक विशेष तल xz के संबंध में परावर्तन संकारक \(\left( \sigma \right)\) है और σv" एक विशेष तल yz के संबंध में परावर्तन संकारक \(\left( \sigma \right)\) है।
• मूल रूप से (1, 1, 1) पर स्थित बिंदु, बिंदु पर स्थानांतरित हो जाता है

(1, - 1, 1) जब एक परावर्तन संकारक \(\left( \sigma \right)\) बिंदु (1, 1, 1) पर एक विशेष तल xz के संबंध में संचालित होता है।

• फिर (1, - 1, 1) पर स्थित बिंदु, बिंदु पर स्थानांतरित हो जाता है

​(- 1, - 1, - 1) जब एक परावर्तन संकारक \(\left( \sigma \right)\) बिंदु (1, - 1, 1) पर एक विशेष तल yz के संबंध में संचालित होता है।

• इसके अलावा, मूल रूप से (1, 1, 1) पर स्थित बिंदु, बिंदु पर स्थानांतरित हो जाता है।

(-1, 1, - 1) जब सममिति संकारक का दो-गुना (C2) घूर्णी अक्ष बिंदु (x1, y1, z1) पर एक विशेष अक्ष z के संबंध में संचालित होता है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, दो परावर्तनों, σv'σv", का एक प्रतिच्छेदन दर्पण तल के बारे में संयोजन Cn के समतुल्य है।

सही उत्तर (2), (1). है।

​संप्रत्यय:

• Cn क्रम n की घूर्णन सममिति के अक्ष को दर्शाता है, और \(\frac{360^0}{n}\) से घुमाने के बाद अणु नहीं बदलता है।
• \(\sigma \) सममिति का समतल है। किसी भी अणु में \(\sigma\) सममिति होने पर, समतल सममिति संक्रिया लागू होने पर या तो परावर्तन या द्विभाजन दिखाता है।
• अपरिवर्तित परमाणुओं की संख्या उस सममिति का लक्षण देती है जो लागू की जा रही है, अप्रकरणीय निरूपण में।
• लक्षण की गणना उस सममिति संक्रिया के लिए बनाए गए आव्यूह के विकर्ण पदों को जोड़कर की जाती है।

• Cn क्रम n की घूर्णन सममिति के अक्ष को दर्शाता है, और \(\frac{360^0}{n}\) से घुमाने के बाद अणु नहीं बदलता है।
• \(\sigma \) सममिति का समतल है। किसी भी अणु में \(\sigma\) सममिति होने पर, समतल सममिति संक्रिया लागू होने पर या तो परावर्तन या द्विभाजन दिखाता है।

व्याख्या:

\(C_4\) के लिए लक्षण:

\(C_n\) संक्रिया के लक्षण का आव्यूह इस प्रकार दिया गया है;

\(\begin{vmatrix} cos\theta \;\;\;sin\theta \;\;0\\-sin\theta \;cos\theta \;0\\0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1 \end{vmatrix}\)

यह देता है, \(\chi_{C_n}=2cos\theta +1 \)

\(C_6\) सममिति के लिए, \(\theta \)= 60°

\(\chi _{C_6}=2cos60 ^0+1 \)

\(\chi _{C_6}=2\)

\(\sigma \) के लिए लक्षण:

\(\sigma \) सममिति के लिए, लक्षण = 1

निष्कर्ष:

इसलिए, अप्रकरणीय निरूपण में C6 और \(\sigma \) में प्रत्येक अपरिवर्तित परमाणु के लिए लक्षण क्रमशः 2 और 1 हैं।

संप्रत्यय:

घन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें छह समान वर्गाकार फलक होते हैं। इसमें निम्नलिखित सममिति अक्ष होते हैं:

1. C₁ अक्ष: तत्समक अवयव, जो घन के अभिविन्यास को नहीं बदलता है।

2. C₂ अक्ष: एक द्वि-गुना घूर्णन अक्ष जो घन के विपरीत फलकों के केंद्र से होकर गुजरता है। यह अक्ष अक्ष के चारों ओर घन के 180⁰ घूर्णन उत्पन्न करता है।

3. C₃ अक्ष: चार C₃ अक्ष हैं, जिनमें से प्रत्येक घन के दो विपरीत किनारों के केंद्रों से होकर गुजरता है। ये अक्ष अक्ष के चारों ओर घन के 120⁰ घूर्णन उत्पन्न करते हैं।

4. C₄ अक्ष: एक चतुष्-गुना घूर्णन अक्ष जो घन के विपरीत फलकों के केंद्रों से होकर गुजरता है। यह अक्ष अक्ष के चारों ओर घन के 90⁰ घूर्णन उत्पन्न करता है।

5. C₆ अक्ष: अणु के केंद्र से लंबवत गुजरता है।

व्याख्या:

→ घन में तीन विभिन्न प्रकार के सममिति अक्ष होते हैं: तीन 4-गुना अक्ष, जिनमें से प्रत्येक दो विपरीत फलकों के केंद्रों से होकर गुजरता है, चार 3-गुना अक्ष, जिनमें से प्रत्येक दो विपरीत शीर्षों से होकर गुजरता है, और छह 2-गुना अक्ष, जिनमें से प्रत्येक दो विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरता है अर्थात्C2, C₃, C₄ अक्ष मौजूद हैं लेकिन C₆ अक्ष अनुपस्थित है_.

निष्कर्ष:
सही उत्तर विकल्प 4 है।

अतिरिक्त जानकारी

संकल्पना:

• Cn कोटि n की घूर्णन सममिति अक्ष को निरूपित करता है, और \(\frac{360^0}{n}\) से घुमाने के बाद भी अणु नहीं बदलता है।
• \(\sigma \) सममिति तल है। \(\sigma\) सममिति रखने वाला कोई भी अणु, समतल सममिति संक्रिया लागू होने पर प्रतिबिम्ब या द्विभाजन दर्शाता है।
• अपरिवर्तित परमाणुओं की संख्या उस सममिति का लक्षण देती है जो अपरिनीय निरूपण में लागू हो रही है।
• लक्षण की गणना उस सममिति संक्रिया के लिए बने आव्यूह के विकर्ण पदों को जोड़कर की जाती है।

• Cn कोटि n की घूर्णन सममिति अक्ष को निरूपित करता है, और \(\frac{360^0}{n}\) से घुमाने के बाद भी अणु नहीं बदलता है।
• \(\sigma \) सममिति तल है। \(\sigma\) सममिति रखने वाला कोई भी अणु, समतल सममिति संक्रिया लागू होने पर प्रतिबिम्ब या द्विभाजन दर्शाता है।

व्याख्या:

\(C_4\) के लिए लक्षण:

\(C_n\) संक्रिया के लक्षण का आव्यूह इस प्रकार दिया गया है;

\(\begin{vmatrix} cos\theta \;\;\;sin\theta \;\;0\\-sin\theta \;cos\theta \;0\\0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1 \end{vmatrix}\)

यह देता है, \(\chi_{C_n}=2cos\theta +1 \)

\(C_4\) सममिति के लिए, \(\theta \)= 90°

\(\chi _{C_4}=2cos90 ^0+1 \)

\(\chi _{C_4}=1\)

\(\sigma \) के लिए लक्षण:

\(\sigma \) सममिति के लिए, लक्षण = 1

निष्कर्ष:

इसलिए, अपरिनीय निरूपण में C₄ और \(\sigma \) में प्रत्येक अपरिवर्तित परमाणु के लिए लक्षण क्रमशः 1 और 1 है।

संकल्पना:-

• एक बिंदु समूह रसायन विज्ञान के क्षेत्र में उपयोग किया जाने वाला एक शब्द है जो किसी अणु या क्रिस्टल की सममिती का वर्णन करता है।
• यह सममिती संक्रियाओं के समूह को संदर्भित करता है जो अणु या क्रिस्टल को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। इन संक्रियाओं में घूर्णन, परवर्तन और उत्क्रमण शामिल हैं। बिंदु समूह अणु या क्रिस्टल के आकार के साथ-साथ उसके परमाणुओं की स्थिति से निर्धारित होता है।

• समूह सिद्धांत किसी अणु में तत्वों के समूह का अध्ययन है, जिससे इसकी सममिती निर्धारित होती है। समूह सिद्धांत में सममिती , सममिति तत्वों और बिंदु समूहों का अध्ययन किया जाता है।

सममिती: यह 3D अंतरिक्ष में द्रव्यमान या परमाणुओं का वितरण प्रतिरूप है

सममिती तत्व: ज्यामितीय प्रतिरूप जिनका उपयोग परमाणुओं या अणुओं के वितरण प्रतिरूप को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। 3 तत्व हैं

• सममिती अक्ष
• सममिती का तल
• सममिती का केंद्र

• सममिती के प्रत्येक तत्व में एक विशिष्ट संक्रिया होती है (जो तत्व पर लागू होती है ताकि उसकी सममिती को परिभाषित किया जा सके) जो हैं:

  सममिती के तत्व	सममिती तत्वों की संक्रियाएँ
  सममिती अक्ष (Cn)	घूर्णन
  सममिती का तल (σ )	प्रतिबिंब
  सममिती का अनुचित अक्ष (Sn)	घूर्णन-प्रतिबिंब
  सममिती का केंद्र (i)	उत्क्रमण
  पहचान (E)	कुछ नहीं करना

• ये समूह सिद्धांत में विभिन्न बिंदु समूह आवंटित हैं।

  C-प्रकार या Cn-प्रकार	D-प्रकार या Dn-प्रकार	S-प्रकार	उच्च सममिती
  Cn	Dn	Sn	Oh (अष्टफलकीय)
  Cs	Dnd		Td (चतुष्फलकीय)
  Cnv	Dnh		Ih (विंशतिफलक)
  Cnh

जहां,

Cnv = Cn + σv

Cnh = Cn + σh

Dn = Cn + nC2

Dnd = Cn + nC2 + nσv + σd

Dnh = Cn + nC2 + nσv + σh

व्याख्या:-

• एक C₂ सममिती अक्ष एक घूर्णन सममिती अक्ष है जो किसी अणु को 180 डिग्री घुमाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अणु बनता है जो अपने मूल अभिविन्यास से अप्रभेद्य है।
• C₂ सममिती अक्ष होने के लिए, किसी अणु में एक केंद्रीय परमाणु के विपरीत दिशाओं में दो समान प्रतिस्थापन होने चाहिए।
• BH₂Cl में C₂ सममिती अक्ष होता है क्योंकि दो H परमाणु समान हैं और केंद्रीय B परमाणु के विपरीत दिशाओं में हैं, जबकि Cl परमाणु एक अलग तल पर है।

• एक बार C2 ‘B’ और ‘Cl’ परमाणुओं से होकर गुजरता है, दो हाइड्रोजन अपनी स्थिति बदलते हैं लेकिन वही अणु रहते हैं।
• CH₃Cl, NH₂Cl और HOCl में C₂ सममिती अक्ष नहीं होता है क्योंकि उनके पास एक केंद्रीय परमाणु के विपरीत दिशाओं में दो समान प्रतिस्थापन नहीं होते हैं।
• CH₃Cl में तीन H परमाणु और एक Cl परमाणु होता है, जो समान नहीं होते हैं।
• NH₂Cl में दो H परमाणु और एक Cl परमाणु होता है, लेकिन N परमाणु सममिती को तोड़ता है।
• HOCl में एक H परमाणु, एक O परमाणु और एक Cl परमाणु होता है, जो समान नहीं होते हैं और सममिती अक्ष नहीं बनाते हैं।

निष्कर्ष:-

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

BH₂Cl, जिसमें केंद्रीय B परमाणु के विपरीत दिशाओं में दो समान H परमाणुओं के कारण C₂ सममिती अक्ष होता है।

अवधारणा:

• Sn सममितीय अक्ष को निरूपित करता है जिसमें घूर्णन सममिति के अनुप्रयोग के बाद परावर्तन या इसके विपरीत शामिल होता है।
• इसलिए, हम लिख सकते हैं, \(S_n=C_n\times\sigma \)। यहाँ C_n घूर्णन सममिति के अक्ष (क्रम n का) को निरूपित करता है। \(\frac{360^0}{n}\) से घूर्णन, समान व्यवस्था (तत्समक) देता है। \(\sigma\) परावर्तन तल है।

व्याख्या:

\(S_{6}^{3}\) की समतुल्य सममिति

\(S_{6}^{3}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(S_{6}^{3} = C_{6}^{3}\times \sigma^{3} \)

तल सममिति के सम संख्या में अनुप्रयोग तत्समक देते हैं और विषम संख्या में अनुप्रयोग \(\sigma\) स्वयं देते हैं।

\(\sigma^{even}=E\;\; और\; \;\sigma^{odd} =\sigma \)

इसलिए, \(S_{6}^{3}\) को फिर से लिखा जा सकता है:

\(S_{6}^{3} = C_{6}^{3}\times \sigma \)

\(S_{6}^{3} = C_{2}^{1}\times \sigma \)

\( C_{2}^{1}\times \sigma \) \(C_2\) घूर्णन सममिति के अनुप्रयोग को दर्शाता है जिसके बाद तल सममिति का उपयोग करके परावर्तन किया जाता है, जो कि क्रम 2 की असम सममिति अक्ष के अलावा कुछ नहीं है।

\(i.e.,\; C_{2}^{1}\times \sigma =S_2 \)

इसके अलावा, \(S_2 \) अणु के प्रतिलोमन (अर्थात, \(S_2 =i\) ) में परिणाम देता है

\(\therefore C_{2}^{1}\times \sigma =S_2 =i \)

\(S_{3}^{6}\) की समतुल्य सममिति

\(S_{3}^{6}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(S_{3}^{6} = C_{3}^{6}\times \sigma^{6} \)

C_n सममिति के अनुप्रयोग, इसके क्रम के गुणज के रूप में समान संख्या में बार तत्समक (E) में परिणाम देते हैं। इसलिए हम लिख सकते हैं:

\(S_{3}^{6}=C_{3}^{6}\times E\;\;\;\;(\because\sigma^{even}=E) \)

\(S_{3}^{6}=C_{1}^{1}\times E \)

(यहाँ, \(C_{1}^{1}\) तत्समक (E) लिखने का एक और तरीका है क्योंकि \(\frac{360^0}{1}\) से घूर्णन अणु का समान अभिविन्यास देता है।)

\(S_{3}^{6}=E\times E =E\)

निष्कर्ष:

\(S_{6}^{3}\) और \(S_{3}^{6}\) की समतुल्य सममिति क्रमशः i और E है।

संकल्पना:

• Sn सममिति के अशुद्ध अक्ष को निरूपित करता है जिसमें घूर्णन सममिति के अनुप्रयोग के बाद परावर्तन या इसके विपरीत शामिल है।
• इसलिए, हम लिख सकते हैं,

​\(S_n=C_n\times\sigma \).

Cn यहाँ घूर्णन सममिति के अक्ष (कोटि n का) को निरूपित करता है और \(\frac{360^0}{n}\) द्वारा घूर्णन, समान व्यवस्था (तत्समक) देता है।

\(\sigma\) परावर्तन तल है।​

• एक परावर्तन \(\left( \sigma \right)\) तल या दर्पण तल एक अणु का एक ऐसा तल होता है जो अणु को इस तरह द्विभाजित करता है कि तल के एक तरफ का प्रत्येक परमाणु, तल के माध्यम से परावर्तित होने पर दूसरी तरफ एक तुल्यांक परमाणु का प्रतिरूप बनाता है।
• जब एक परावर्तन संकारक \(\left( \sigma \right)\) बिंदु (x1, y1, z1) पर एक विशेष तल xy के संबंध में संचालित होता है, तो यह बिंदु को (x1, y1, - z1) में स्थानांतरित करता है।
• इसी प्रकार, जब \(\sigma (yz)\) और \(\sigma (xz)\) बिंदु (x1, y1, z1) पर संचालित होते हैं, तो यह बिंदु को क्रमशः (- x1, y1, z1) और (x1, - y1, z1) में स्थानांतरित करता है।

व्याख्या :

• \(S_{4}^{2}\) की तुल्यांक सममिति

\(S_{4}^{2}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(S_{4}^{2} = C_{4}^{2}\times \sigma^{2} \)

तल सममिति के सम संख्या में अनुप्रयोग तत्समक देते हैं और विषम संख्या में अनुप्रयोग \(\sigma\) स्वयं देते हैं।

\(\sigma^{even}=E\;\; and\; \;\sigma^{odd} =\sigma \)

इसलिए, \(S_{4}^{2}\) को फिर से लिखा जा सकता है:

\(S_{4}^{2} = C_{4}^{2}\times \sigma^{2} \)

या, \(S_{4}^{2} = C_{2}\times E\)

या, \(S_{4}^{2} = C_{2}\)

इसलिए, विकल्प 1: \(S_{4}^{2} = C_{2}\times E\) गलत है।

• जब \(\sigma (xz)\) बिंदु (x1, y1, z1) पर संचालित होता है, तो यह बिंदु को (x1, - y1, z1). में स्थानांतरित करता है। इसके बाद σ(yz)" id="MathJax-Element-49-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">σ(yz)σ(yz) $\sigma (yz)$ का संचालन (x1, - y1, z1), बिंदु को (- x1, - y1, z1). में स्थानांतरित करता है।
• अब, C₂ (x) बिंदु (x1, y1, z1) पर संचालित होता है, तो यह बिंदु को (x1, - y1, - z1). में स्थानांतरित करता है।

​इसलिए, विकल्प 2: \(\sigma(x z) \sigma(y z)=C_2(x)\) गलत है।

\(S_{4}^{3}\) की तुल्यांक सममिति

\(S_{4}^{3}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(S_{4}^{3} = C_{4}^{3}\times \sigma^{3} \)

\(S_{4}^{3}=C_{4}^{3}\times \sigma\;\;\;\;(\because\sigma^{odd}=\sigma) \)

इसलिए, विकल्प 3: \(S_4^3=C_4^3\) गलत है।

\(S_{6}^{3}\) की तुल्यांक सममिति

\(S_{6}^{3}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(S_{6}^{3} = C_{6}^{3}\times \sigma^{3} \)

तल सममिति के सम संख्या में अनुप्रयोग तत्समक देते हैं और विषम संख्या में अनुप्रयोग \(\sigma\) स्वयं देते हैं।

\(\sigma^{even}=E\;\; and\; \;\sigma^{odd} =\sigma \)

इसलिए, \(S_{6}^{3}\) को फिर से लिखा जा सकता है:

\(S_{6}^{3} = C_{6}^{3}\times \sigma \)

\(S_{6}^{3} = C_{2}^{1}\times \sigma \)

\( C_{2}^{1}\times \sigma \) कोटि 2 की सममिति के अशुद्ध अक्ष को निरूपित करता है।

\(i.e.,\; C_{2}^{1}\times \sigma =S_2 \)

साथ ही, \(S_2 \) अणु के प्रतिलोमन (अर्थात, \(S_2 =i\) ) में परिणाम देता है

\(\therefore C_{2}^{1}\times \sigma =S_2 \)

इसलिए, विकल्प 4: \(S_6^3=S_2\) सही है।

निष्कर्ष:

इसलिए, सममिति संक्रियाओं से संबंधित सही संबंध है

\(S_6^3=S_2\)